Ottobre2015 - Iac-Cnr

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Ottobre2015 - Iac-Cnr
Corso di Laurea in Ingegneria Informatica e Automatica (A-O)
Università di Roma ‘La Sapienza’
CALCOLO DELLE PROBABILITÀ E STATISTICA
ESAME DEL 20/10/2015
NOME:
Esercizio 1
Se supponiamo che tutte le
servito:
COGNOME:
(52)
5
MATRICOLA:
mani di poker siano equiprobabili, qual é la probabilitá che venga
a) Un colore? (una mano si definisce un colore se tutte e 5 le carte hanno lo stesso seme).
b) una coppia? (questo capiterá quando le carte saranno a,a,b,c,d, con a,b,c,d distinte tra loro)
c) un tris? (questo capiterá quando le carte saranno a,a,a,b,c, con a,b,c distinte tra loro)
d) un pocker? (questo capiterá quando le carte saranno a,a,a,a,b, con a,b distinte tra loro)
N.B. tutti i passaggi devono essere opportunamente giustificati
Soluzione:
Nel caso considerato come si evince dal testo la probabilitá degli eventi puó essere calcolata utilizzando la formula cosi favorevoli su casi possibili
a)
fissato uno dei 4 colori si hanno
( )
4 13
P (A) = (525)
(13)
5
5
modi diversi di scegliere 5 carte dallo stesso colore.
b)
( )( ) 3
13 42 12
4
(52)3
P (A) =
5
()
fisato un numero da 1 a 13 ho 42 modi di estrarre due carte con lo stesso numero, per ognuna di
( )
queste scelte posso scegliere tra i 12 numeri restanti 3 numeri diversi in 12
3 modi e ciascuno di
loro con 43 combinazioni diverse di semi.
c)
( )( ) 2
13 43 12
4
(52)2
P (A) =
5
con raginamento analogo al punto b)
d)
( )( ) 1
13 44 12
4
13 12 4
(52)1
P (A) =
= (52)
5
5
con ragionamento analogo al punto b)
1
2
CALCOLO DELLE PROBABILITÀ E STATISTICA
ESAME DEL 20/10/2015
Esercizio 2
Sia (X, Y ) una coppia di variabili casuali con funzione densitá di probabilitá
{
c(y − x) 0 < x < 2, 2 < y < 4
fX,Y (x, y) =
0
altrove
a) Determinare il valore della costante c.
b) Determinare x0 tale che P (X < x0 ) = 1/2.
c) Stabilire se X e Y sono indipendenti.
N.B. tutti i passaggi devono essere opportunamente giustificati
Soluzione:
a)
Nel dominio di definizione la f.d.p. é positiva essendo y > x e quindi resta da imporre c > 0, inoltre
deve valere la seguente proprietá
∫ +∞ ∫ +∞
∫ 2 ∫ 4
f(X,Y ) (x, y)dxdy = c
dx
(y − x)dy = ... = c8 = 1 → c = 1/8
−∞
−∞
0
2
b)
valutiamo prima la funzione densitá marginale della X
{
{ 1 ∫4
(3 − x)/4 0 < x < 2
8 2 (y − x)dy 0 < x < 2 =
fX (x) =
0
altrove
0
altrove
ed imponiamo poi la seguente uguaglianza
∫
1 x0
3x0
x2
1
P (X < x0 ) =
(3 − x)dx = ... =
− 0 =
4 0
4
8
2
↕
x20 − 6x0 + 4 = 0
delle due soluzioni reali dell’equazione di secondo grado l’unica accettabile é x0 = 3 −
si trova nel dominio di esistenza della variabile casuale X.
c)
Ricaviamo la funzione densitá di probabilitá marginale della Y
{ 1 ∫2
{
(y − 1)/4
(y − x)dx 2 < y < 4
8
0
fY (y) =
=
0
0
altrove
2<y<4
altrove
e verifichiamo che non vale l’indipendenza essendo f(X,Y ) (x, y) ̸= fX (x)fY (y),
∀x, y
√
5 perché
CALCOLO DELLE PROBABILITÀ E STATISTICA
ESAME DEL 20/10/2015
3
Esercizio 3
La variabile casuale che descrive la generica misurazione eseguita da uno strumento ha distribuzione
normale di media µ (la misura vera della grandezza) e deviazione standard σ = 0.1. Con lo
strumento appena descritto di eseguono 20 misurazioni {xi }i=1,...,20 della stessa grandezza per le
∑20
∑20
quali vengono forniti i seguenti due valori i=1 xi = 60.11 e i=1 x2i = 180.85.
a) determinare una stima di µ.
b ) determinare un intervallo di confidenza per µ al 95%.
c ) stabilire la precisone della stima ottenuta al punto precedente.
d ) stabilire quante altre misurazioni sono necessarie per poter dimezzare la precisone della stima
mantenedo la confidenza al 95%.
N.B. tutti i passaggi devono essere opportunamente giustificati
Soluzione:
Notiamo che il dato
∑20
i=1
x2i é superfluo conoscendo giá la varianza non avremo bisogno di stimarla.
a)
Una stima della media della popolazione (cioé la misura vera della grandezza) é data dalla media
campionara X̄ = 3.0055
b)
Si applica la formula per l’intervallo di confidenza per la media di una popolazione normale con
varianza nota, prendendo dalla tavola fornita il valore di zα/2 = z0.25 = 1.96
σ
σ
[x̄ − zα/2 √ , x̄ − zα/2 √ ] = [2.9616, 3.0493]
n
n
c)
per precisione della stima si intende l’ampiezza dell’intervallo di confidenza ottenuto :
σ
2zα/2 √ = 3.0493 − 2.9616 = 0.0877
n
d)
per dimezzare la precisone della stima mantenedo la confidenza invariata al 95% dovremmo imporre:
σ
σ
2zα/2 √ < zα/2 √
↔ n > 80
n
20
bisogna dunque quadruplicare il numero delle misurazioni per dimezzare l’ampiezza dell’intervallo
di confidenza.
4
CALCOLO DELLE PROBABILITÀ E STATISTICA
Domanda 1 Si enuncino gli assiomi della probabilitá.
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CALCOLO DELLE PROBABILITÀ E STATISTICA
ESAME DEL 20/10/2015
Domanda 2 Si discuta il concetto di covarianza tra due variabili casuali.
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CALCOLO DELLE PROBABILITÀ E STATISTICA
ESAME DEL 20/10/2015
Domanda 3 Si definisca un test di ipotesi e si enunci la differenza tra errore di primo tipo e di
secondo tipo.

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