Foglio di esercizi di riepilogo

Esercizi di Metodi Statistici per la Biologia
Francesco Caravenna
Esercizi di riepilogo
Esercizio 1. Una compagnia di assicurazioni ritiene che una donna in Italia abbia
il 24% di probabilità di fare almeno un incidente in un anno, mentre per un uomo
tale probabilità vale il 29%. Gli assicurati della compagnia sono uomini e donne in
egual misura.
a) Preso un assicurato a caso, qual è la probabilità che l’anno scorso abbia avuto
almeno un incidente? [ 12 (0.29 + 0.24) = 0.265]
b) Sappiamo che un assicurato ha avuto un incidente. Qual è la probabilità che
sia uomo? [ 0.29·0.5
≈ 0.547]
0.265
c) Si prende un campione di 85 donne a Padova e si osserva che 33 di esse hanno
avuto almento un incidente lo scorso anno. si può concludere che le donne
padovane siano più inclini ad avere incidenti della media italiana? (Eseguire
un test al 5%) [Il p-value per l’ipotesi H0 : p ≤ 0.24 vale α = 1 − Φ(z) con
z = √33/85−0.24 ≈ 3.20. Quindi α = 1 − Φ(3.2) ≈ 0.0007 e H0 è rifiutata.]
0.24∗0.76/85
Esercizio 2. Il numero di persone che in un’ora entrano in un ufficio postale di
medie dimensioni è distribuito approssimativamente come Po(40).
a) Si considerino 75 di tali uffici. Qual è la probabilità che il numero totale di
clienti sia al più 2900? (Si usi la correzione di continuità) [P (Po(3000) ≤
√
2900) ≈ P (N(3000, 3000) ≤ 2900.5) = P (N(0, 1) ≤ 2900.5−3000
) ≈ Φ(−1.82) =
3000
1 − Φ(1.82) ≈ 0.034]
b) Sempre su 75 uffici, qual è la probabilità che il numero medio empirico di clienti
75 −40
√
√ ) ≈ P (N(0, 1) >
> √43−40
sia maggiore di 43? [P (X 75 > 43) = P ( √X40/
75
40/ 75
4.11) = 1 − Φ(4.11) ≈ 0]
Esercizio 3. Gioco i numeri 3 e 15 sulla ruota di Venezia.
a) Qual è la probabilità che alla prossima estrazione del
Lotto
faccia ambio, cioè
90
che vengano estratti entrambi i numeri giocati? [ 88
/
≈ 0.0025]
3
5
b) Supponiamo di giocare gli stessi numeri (3 e 15) per 500 estrazioni consecutive.
Quante volte in media farò ambo? [X ∼ B(500, 0.0025) per cui E(X) = 500 ·
0.0025 = 1.25]
c) Con riferimento alla domanda precedente, si calcoli la probabilità di fare ambo
almeno 3 volte. (Si usi l’approssimazione di Poisson) [P (X ≥ 3) = 1 − P (X ≤
2) ≈ 1 − P (Po(1.25) ≤ 2) ≈ 0.13]
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