Foglio di esercizi n. 2

Esercizi di Metodi Statistici per la Biologia
Francesco Caravenna
Foglio 2. (7–11 maggio 2007)
Richiamo delle formule più importanti:
• Formule basilari:
P (E ∪ F ) = P (E) + P (F ) − P (E ∩ F )
P (E c ) = 1 − P (E)
• Formula delle probabilità totali:
P (E) = P (E|F )P (F ) + P (E|F c )P (F c )
• Formula di Bayes:
P (F |E) =
P (E|F )P (F )
P (E|F )P (F )
=
P (E)
P (E|F )P (F ) + P (E|F c )P (F c )
Esercizio 1. Si lanciano due dadi regolari a sei facce. Per tutti i valori di i ∈
{1, . . . , 6} si calcoli il valore della probabilità condizionata
P (il primo dado dà come risultato i | la somma dei due dadi vale 9) .
[0 per i ∈ {1, 2} e
1
4
per i ∈ {3, 4, 5, 6}]
Esercizio 2. Si lancia per due volte una moneta equilibrata. Si considerino gli eventi
A := “nel primo lancio esce testa”
B := “nel secondo lancio esce testa”
C := “nei due lanci, presi insieme, esce esattamente una testa” .
Naturalmente gli eventi A e B sono indipendenti.
a) Si dimostri che gli eventi A e C sono indipendenti, cosı̀ come anche gli eventi
B e C.
b) Si dimostri che i tre eventi {A, B, C} non sono indipendenti.
Esercizio 3. Si lanciano due dadi regolari a sei facce.
a) Si dimostri che gli eventi A := “il primo dado dà come risultato 2” e B := “la
somma dei due dadi vale 7” sono indipendenti.
b) Si dimostri che gli eventi A := “il primo dado dà come risultato 2” e B := “la
somma dei due dadi vale 5” non sono indipendenti.
c) Si mostri che entrambe le precedenti affermazioni restano vere se, nella definizione
dell’evento A, si sostituisce il valore 2 con qualunque altro valore i ∈ {1, . . . , 6}.
Esercizio 4. Dati tre eventi indipendenti A, B, C tali che P (A) = 21 , P (B) =
P (C) = 14 , si calcoli il valore di P (A ∩ (B ∪ C)). [ 41 ]
Suggerimento: si usi la formula A ∩ (B ∪ C) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C).
1
1
3
e
2
Esercizio 5. Una coppia ha due figli(e). Assumiamo che il sesso dei due figli possa
essere descritto dallo spazio campionario S = {(M M ), (M F ), (F M ), (F F )} (dove
(ab) indica che il primogenito è di sesso a e il secondogenito di sesso b) munito della
probabilità uniforme, cioè P (M M ) = P (M F ) = P (F M ) = P (F F ) = 14 .
a) Se sappiamo che il primogenito è maschio, qual è la probabilità che il secondogenito sia maschio? [ 21 ]
b) Se sappiamo che il secondogenito è maschio, qual è la probabilità che il primogenito sia maschio? [ 12 ]
c) Se sappiamo che almeno un figlio è maschio, qual è la probabilità che anche
l’altro sia maschio? [ 13 ]
Esercizio 6 (Paradosso di Monty Hall). Vi propongo di scegliere tra tre buste
chiuse, una delle quali contiene un premio mentre le altre due sono vuote. Una volta
effettuata la scelta, io guardo di nascosto il contenuto delle due buste rimaste e ve
ne mostro una vuota (tra le mie due buste ce n’è almeno una vuota, dunque lo posso
sempre fare). A questo punto vi propongo di cambiare la busta che avete scelto con
quella che mi è rimasta in mano. Vi conviene cambiare? [Sı̀, la prob. 13 → 23 ]
Esercizio 7. Da un mazzo di 52 carte da poker si estraggono a caso una dopo l’altra
5 carte.
a) Qual è la probabilità di fare colore, cioè che tutte ecinque
le carte siano dello
13
52
stesso seme (5 cuori, oppure 5 quadri, ecc.)? [4 · 5 / 5 ≈ 0.00198]
b) Qual è la probabilità di fare poker, cioè che tra le
5 carte ce ne siano 4 dello
52
stesso tipo (4 assi, oppure 4 re, ecc.)? [13 · 48/ 5 ≈ 0.00024]
Esercizio 8. Viene effettuato uno screening test a un individuo per rivelare la
presenza di una malattia. Definiamo gli eventi
A := “l’individuo risulta positivo allo screening test”
B := “l’individuo è affetto dalla malattia” .
La sensibilità del test è definita dai valori
P (A|B) = 0.96
P (A|B c ) = 0.02 .
Indichiamo col parametro p ∈ (0, 1) l’incidenza della malattia nella popolazione,
cioè la frazione di persone affette dalla malattia, per cui vale p = P (B).
Si determinino le probabilità condizionate P (B|A) e P (B|Ac ) (che descrivono la
preddittività del test) in funzione di p e se ne calcoli il valore per p = 4%, p = 0.4%
e p = 0.04%. [0.96p/(0.94p + 0.02) → 66.7%, 16.1%, 1.9%]
Esercizio 9. Ho due monete distinte, che indico con α e β. La moneta α è regolare,
mentre la moneta β è “truccata”: la probabilità di ottenere testa vale 0.7. Scelgo
una delle due monete a caso e la lancio.
a) Qual è la probabilità di ottenere testa? [0.6]
b) Se ottengo testa, qual è la probabilità che la moneta lanciata sia stata α? [0.42]