Corso di Laurea in Informatica Elementi di Probabilit`a

Docente, F. Morandin
21 dicembre 2005
Corso di Laurea in Matematica – Corso di Laurea in Informatica
Elementi di Probabilità
Esercizi per casa 10
Esercizio 1. Si tirano 10 dadi non truccati. Determina approssimativamente quanto vale la probabilità che la somma dei loro punteggi sia compresa
tra 30 e 40 inclusi.
Esercizio 2. Calcola approssimativamente la probabilità che la somma di
16 variabili aleatorie indipendenti e uniformi su [0; 1] sia superiore a 10.
Esercizio 3. Un normale dado da gioco non truccato viene tirato ripetutamente, fino a che la somma di tutti i punteggi ottenuti non superi 400.
Determina in maniera approssimata la probabilità che siano necessari più di
140 lanci.
Esercizio 4. Una squadra di basket ha di fronte una stagione con 60 incontri. Di queste partite, 32 sono con squadre di livello A e 28 con squadre
di livello B. I risultati delle partite sono tutti indipendenti; le probabilità
di vittoria sono del 50% con una squadra di livello A, e del 70% negli altri
casi. Sia X il numero totale di vittorie ottenute durante la stagione. La
distribuzione di X è binomiale?
Siano XA e XB il numero di vittorie contro squadre di livello A e B
rispettivamente. Che tipo di variabili aleatorie sono XA e XB ? Quale relazione lega XA , XB e X? Quanto vale approssimativamente la probabilità
che vi siano almeno 40 vittorie?
Esercizio 5. La roulette di un casinò ha 38 settori, numerati con 0, 00, e
da 1 a 36. Scommettendo 1 su un certo numero, si vince 35 se quel numero
esce, e si perde 1 altrimenti. Supponendo di continuare a scommettere in
questo modo, determina approssimativamente la probabilità di stare vincendo: dopo 34, dopo 1000, e dopo 100000 scommesse. Puoi assumere che tutti
i 38 risultati escano con la stessa probabilità, e che quelli di giocate diverse
siano indipendenti.
Esercizio 6. Il 12% della popolazione mondiale è mancina. Trova la probabilità che in un campione aleatorio di 100 persone vi sia un numero di
mancini tra i 10 e i 14.
Esercizio 7. Il vettore aleatorio (X, Y ) è distribuito uniformemente sul
cerchio di raggio 1 e centro nell’origine. Si determini la densità congiunta di
(X, Y ). Si calcoli la covarianza di X e Y . Si dica se X e√
Y sono indipendenti.
Si determini la speranza della distanza dall’origine E( X 2 + Y 2 ).
Esercizio 8. Sia X una variabile aleatoria esponenziale di intensità λ. Sia
poi Y una variabile aleatoria discreta con densità che, condizionata a X,
risulta di Poisson di media X. Qual è la distribuzione finale di Y ? Si tratta
di una legge nota?
Esercizio 9. Siano X1 , X2 e X3 v.a. uniformi su [0; 1] e indipendenti. Si
determini esattamente la legge di X1 + X2 e quella di X1 + X2 + X3 .
Esercizio 10. Sia Z ∼ N (0; 1). Si determini la densità di Z 2 , la sua
speranza e la sua varianza.
Problemi avanzati.
Esercizio 11. Siano S1 , S2 , . . . , Sn v.a. esponenziali i.i.d. Si definisce per
j = 0, 1, . . . , n:
T0 = 0,
Tj+1 = inf{Si |Si > Tj },
in modo che T1 è il minimo tra tutti gli Si , T2 è il secondo più piccolo,
eccetera. Si determini la legge di T1 , quindi per ogni j si determinino le
leggi di Tj+1 − Tj e si calcoli E(Tj ).
Esercizio 12. Sia {Xi }i una successione di v.a. uniformi su [0; 1] tutte
indipendenti tra loro. Sia N il più piccolo intero per cui la somma X1 +
X2 + · · · + XN supera 1. Quanto vale la speranza di N ?
Esercizio 13. Generiamo una variabile aleatoria U uniforme sull’intervallo
[0; 1]. Generiamo successivamente una v.a. X, con distribuzione condizionata a U , binomiale di parametri (n, U ). Qual è la speranza di X? Qual è la
distribuzione di X?
Esercizio 14 (Grandi deviazioni). Sia Xn una variabile aleatoria binomiale di parametri n e p. Si stimi accuratamente
¶
µ
Xn
> p + ε = 0,
P
n
in modo da determinare quanto vale
µ
¶
1
Xn
lim log P
>p+ε =0
n→∞ n
n