Soluzione degli esercizi di Calcolo delle Probabilitá del 21 Febbraio

Soluzione degli esercizi di Calcolo delle Probabilitá del 21 Febbraio 2012
Esercizio n.1 La password di una carta bancaria é una successione ordinata di 4
cifre prese a caso nell’insieme {0, . . . , 9}. Calcolare la probabilitá che una password
scelta a caso:
1. sia formata da cifre distinte,
2. sia formata da una successione strettamente crescente.
Soluzione.Analisi dell’enunciato.Ω = {0, . . . , 9} e la cardinatá dell’universo in
questione é Card(Ω) = 104 . Poiché (Ω) é finito e si ha equiprobabilitá, l’algrebra
di probabilitá é {Ω, P (Ω), P } dove P denota la probabilitá uniforme.
1. Per determinare la probabilitá dell’evento B =”le cifre della password sono
distinte” si noti che la Card(B) = 10 × 9 × 8 × 7, di conseguenza
P (B) =
10 × 9 × 8 × 7
= 0, 504
104
2. Per la probabilitá dell’evento C =”le cifre della password formano una successione crescente” si noti che si hanno 4 successioni crescenti su 10 numeri allora
( )
10
Card (C) =
4
dunque
(10)
P (C) =
4
104
=
10!
4!(10−4)!
104
=
10 × 3 × 7
= 0, 021.
104
Esercizio n.2 La probabilitá che una certa malattia colpisca una persona che
vive in Europa é 0.33, mentre se vive in Madagascar é 0.42. Da un gruppo di 30
persone delle quali 17 europee e 13 malgasce, si sceglie a caso una persona. Qual é
la probabilitá che questa sia colpita dalla malattia? Sapendo che la persona scelta
é colpita da quella malattia, qualé la probabilitá che sia europea? E malgascia?
Soluzione
Denotiamo gli eventi:
M : la malattia colpisce una persona,
EU : la persona vive in Europa,
M A : la persona vive in Madagascar.
Sappiamo che
P (M |EU ) = 0.33 e P (M |M A) = 0.42.
Inoltre
13
17
= 0.43 e P (EU ) =
= 0.57.
30
30
Poiché EU e M A sono eventi mutuamente esclusivi,
P (M A) =
P (M ) = P (EU ) · P (M |EU ) + P (M A) · P (M |M A) =
1
2
0.57 · 0.33 + 0.43 · 0.42 = 0.19 + 0.18 = 0.37,
dunque la probabilitá che una persona tra le 30 sia colpita dalla malattia é del 37%.
Per calcolare P (EU |M ) usiamo il Teorema di Bayes:
P (EU |M ) =
P (EU ) · P (M |EU )
0.57 · 0.33
=
= 0.51,
P (M )
0.37
e analogamente calcoliamo
P (M A|M ) =
P (M A)P (M |M A)
=
P (M )
0.43 · 0.42
= 0.49.
0.37
=
Esercizio n.3 Sia (X, Y ) una v.a. bidimensionale dove X é una v.a. uniforme
su (0, 0.2), Y é una v.a. esponenziale con parametro 5, X e Y sono indipendenti.
1. Si determini la funzione di densitá congiunta di (X, Y ).
2. Si calcoli P (Y ≤ X).
1
5
abbiamo che
{
5, se x ∈ (0, 51 )
fX (x) =
0, altrove.
Soluzione 1. Poiché 0, 2 =
{
fy (y) =
5 e−5y , se y > 0
0,
altrove.
essendo X e Y indipendenti avremo
{
fXY (x, y) = fX (x)fY (y) =
25 e−5y , se 0 < x < 51 , y > 0
0,
altrove.
2.
∫
∞
P (Y ≤ X) =
1
5
x=0
∫
x
x
fXY (x, y) dx dy =
x=−∞
∫
∫
y=−∞
25e−5y dx dy =
y=0
∫
1
5
5[−e−5y ]xy=0 dx =
0
∫
5
=1−
5e−5x dx = e−1 ≈ 0, 368.
0
Esercizio n.4 Un’ officina fabbrica delle barre di metallo di 2 metri di lunghezza
in media. Sia X la lunghezza esatta (in metri) di una barra che esce dall’officina,
si ammetta che X segua una legge normale di parametri m e σ. Si supponga che
E(X 2 ) = 4, 01,
1. Determinare m e σ.
3
2. Qual é la probabilitá che una barra che esce dall’officina, misuri tra 1, 98 e
2, 02 metri?
Soluzione 1.
E(X) = 2 ⇒ m = 2,
E(X ) − (E(X))2 = E(X 2 ) − m2 = 0.01
σ 2 = 0, 01 ⇒ σ = 0, 1.
2
2.
(
)
X −m
P (1, 98 ≤ X ≤ 2, 02) = P − 0, 2 <
< 0, 2
σ
= ϕ(0, 2) − ϕ(−0, 2) = 2ϕ(0, 2) − 1 ≃ 0, 15852.