Foglio di esercizi n. 3

Esercizi di Metodi Statistici per la Biologia
Francesco Caravenna
Foglio 3. (14–18 maggio 2007)
Esercizio 1. Vengono lanciati due dadi regolari a 6 facce. Si indichi con Z la somma
dei risultati ottenuti nei due lanci.
a) Si scriva esplicitamente uno spazio campionario S per questa situazione, mostrando che Z è una variabile casuale discreta.
b) Si determini la densità discreta di Z e si calcoli E(Z) e Var(Z). [E(Z) =
35
+ 35
= 35
≈ 2.92]
3.5 + 3.5 = 7, Var(Z) = 12
12
6
Esercizio 2. Sia Y una variabile casuale con distribuzione di Bernoulli di parametri
n ∈ N e p ∈ (0, 1), cioè Y ∼ B(n, p). Si mostri che
Var(Y ) = np(1 − p), .
E(Y ) = np
Suggerimento: si scriva Y =
Bernoulli di parametro p.
Pn
i=1
Xi con (Xi )i variabili casuali indipendenti di
Esercizio 3. Acquistiamo una confezione di 20 DVD registrabili. Se ciascun DVD
ha la probabilità dell’1% di essere guasto, indipendentemente dagli altri, qual è la
1 0 99 20
probabilità
che nella confezione ci siano almeno 2 DVD guasti? [1− 20
( 100
) ( 100 ) −
0
20
1 1 99 19
( 100 ) ( 100 ) ≈ 0.017]
1
Esercizio 4. Una coppia ha 6 figli. Si sa che il primogenito ha gli occhi azzurri, mentre entrambi i genitori hanno gli occhi castani. Qual è la probabilità che, dei restanti
5 figli, esattamente 2 abbiano gli occhi azzurri? [P (B(5, 1/4) = 2) = 52 ( 14 )2 ( 34 )3 ≈
0.26]
Suggerimento: si assuma per semplicità che il colore degli occhi sia determinato
da una coppia di geni, e che il fenotipo “occhi castani” sia dominante rispetto al
fenotipo “occhi azzurri”.
Esercizio 5. In ogni estrazione del Lotto sulla ruota di Venezia vengono scelti 5
numeri a caso tra 1 e 90.
a) Qual è la probabilità
90che
nella prossima estrazione della ruota di Venezia esca
89
il numero 79? [ 4 / 5 = 5/90 = 1/18]
b) Qual è la probabilità che nelle prossime 27 estrazioni della ruota di Venezia
17 27
non esca mai il numero 79? [P (B(27, 1/18) = 0) = ( 18
) ≈ 0.21 – si noti che
P (Po(1.5) = 0) = e−1.5 ≈ 0.22]
c) Si indichi con T il numero di estrazioni che occorre attendere prima che esca
il numero 79 sulla ruota di Venezia. Come è distribuita la variabile casuale T ?
Si ritrovi la risposta alla domanda precedente in termini di T . [T ∼ Ge(1/18);
17 27
P (T > 27) = (1 − 1/18)27 = ( 18
) ≈ 0.21]
1
2
Esercizio 6. In una fabbrica di circuiti stampati vengono prodotti 10000 pezzi al
giorno. Si sa che ciascun pezzo ha probabilità 1/2500 di essere guasto.
a) Qual è la probabilità che domani vengano prodotti al più 2 pezzi difettosi?
[P (B(10000, 1/2500) ∈ {0, 1, 2}) ≈ 0.2380]
b) Come cambierebbe la risposta al punto precedente, se l’unica informazione
sulla fabbrica fosse stata che ogni giorno vengono prodotti in media 4 pezzi
guasti? [P (Po(4) ∈ {0, 1, 2}) ≈ 0.2381]
Esercizio 7. Si sa che i libri prodotti da una certa casa editrice contengono in media
5 refusi. Qual è la probabilità che, scelto un libro a caso, questo sia esente da refusi?
[P (Po(5) = 0) = e−5 ≈ 0.0067]
Esercizio 8. Sia Z una variabile normale standard. Quanto valgono P (Z ≤ 1.55),
P (Z < −0.87), P (−0.3 ≤ Z ≤ 1.27)? [0.93942; 0.19215; 0.51587]