3 - UniFI

STATISTICA (II modulo - Inferenza Statistica)
Esercitazione 3 – 9/05/2008
A. Si supponga che il 40% dei guidatori italiani indossi regolarmente le cinture di sicurezza in città.
Estratto un campione casuale di 500 guidatori, calcolare:
1. la probabilità che tra 180 e 230 guidatori indossino le cinture di sicurezza (si includano gli estremi);
2. la probabilità che meno di 175 guidatori indossino le cinture di sicurezza.
B. Sia X una variabile casuale che si distribuisce come una Poisson con λ = 3. Calcolare:
1. E(X), Var(X), E(X 2 );
2. P (X = 2), P (X = 0), P (X ≤ 3).
Date le costanti a = 2 e b = 3,
3. calcolare E(aX + b) e Var(aX + b).
C.
Sia Z una variabile casuale che si distribuisce come una normale standardizzata. Calcolare:
1. P (Z > 1,55), P (−0,5 < Z < 0,5);
2. i quantili z della distribuzione definiti dalle equazioni P (Z > z) = 0,1788 e P (Z < z) = 0,0668.
1
X+
2
Y , tali che: E(X) = 5, Var(X) = 2,
D.
Si definisca la v.c. W =
1
Y , ottenuta come combinazione lineare della v.c. indipendenti X e
2
E(Y ) = 8 e Var(Y ) = 4. Determinare E(W ) e Var(W ).
E. La durata di funzionamento (in mesi) di un componente di un dato macchinario industriale può
essere descritta da una v.c. χ2 con 30 gradi di libertà. Assumendo di utilizzare in maniera continua il
macchinario, determinare:
1. la probabilità che il componente risulti funzionante per almeno 40 mesi;
2. il primo quartile e il 95-esimo centile;
3. la media e la deviazione standard della durata.
F. Si assuma che per un determinato tipo di lampadine la durata di funzionamento, espressa in giorni,
possa considerarsi come una v.c. χ2 con 90 gradi di libertà.
1. Si calcoli la probabilità che si riesca ad illuminare ininterrottamente una stanza per un periodo di
almeno 2 mesi.
2. Si calcoli la probabilità di cui al punto precedente utilizzando l’approssimazione normale alla
distribuzione chi-quadrato.
G. Sia X una v.c. binomiale con n = 28 e p = 0,6. Si calcolino le probabilità degli eventi: X = 19,
12 ≤ X ≤ 24, 15 < X < 22, usando l’approssimazione normale. Si confrontino, poi, i risultati con le
probabilità fornite dalla binomiale (per i calcoli relativi alla binomiale, si consiglia di utilizzare Excel o
altro programma).
H. La durata del battistrada dei pneumatici di una data marca è distribuita normalmente con media
42.300 chilometri e deviazione standard 5.300. Si effettuino le elaborazioni di seguito indicate.
1. Si calcoli la probabilità che la durata di battistrada sia superiore a 43.000 chilometri.
2. Qual è la probabilità che la durata di battistrada sia compresa tra 37.000 e 45.000 chilometri?