Candidato/a................................................ Corso di Laurea

Candidato/a. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Corso di Laurea . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Esami di Calcolo delle Probabilitá del 19 Luglio 2006
É fatto assoluto divieto di usare appunti e libri di testo, il candidato che
non osserverá questo divieto avrá annullato il compito e sará allontanato dalla
prova. Si possono usare invece tabelle e calcolatrici tascabili.
Esercizio n.1. Quando si telefona tra le 18 e le 19 a casa di Gigi si hanno
9 risposte su 10 dalla sua segreteria telefonica. Egli utilizza questo mezzo elettronico quando si trova a casa per non essere importunato e ció accade 2 volte
su 3 . Quando invece é assente egli attiva sempre la segreteria telefonica.
1. Calcolare la probabilitá perché egli si trovi a casa tra le 18 e le 19.
2. Supponiamo che risponda la segreteria telefonica, calcolare la probabilitá
che egli sia presente.
Soluzione. Consideriamo gli eventi
• - A = “ Risponde la segreteria telefonica di Gigi ”
• - B = “ Gigi é presente ”.
Abbiamo le seguenti probabilitá
P (A) = 0.9, P (A|B) =
2
, P (A|B) = 1.
3
1. Per calcolare la probabilitá P (B) calcoliamo P (A) = P (A ∩ B) ∪ (A ∩ B) ;
allora
P (A) = P (B)P (A|B) + P (B)P (A|B),
per cui
9
2
1
= P (B) + 1 − P (B) = 1 − P (B)
10
3
3
da cui P (B) = 0.3.
2. Otteniamo
P (B|A) =
2
P (B)P (A|B)
0.2
= .
=
0.2
+
0.7
9
P (B)P (A|B) + P (B)P (A|B)
Esercizio n.2. Le precipitazioni annuali (in centimetri) in una certa regione
sono distribuite normalmente con µ = 40 e σ = 4 (o, equivalentemente, σ 2 =
16).
1
(a) Qual’é la probabilitá che in un generico anno si superino 50 centimenti di
precipitazioni?
(b) Qual’é la probabilitá che iniziando quest’anno, ci vogliano 10 anni prima
che in un anno si superino 50 centimetri di precipitazioni? Quali ipotesi
state facendo?
(c) Sia W la variabile aleatoria che misura in pollici le precipitazioni nella
stessa regione. Qual’é la distribuzione di W? (Si ricorda che 1 pollice
equivale a 2.54 centimetri)
Soluzione (a). Consideriamo prima quello che succede in un anno generico.
Indichiamo con X le precipitazioni e con Z = X−µ
. Sappiamo per ipotesi che
σ
X ∼ N (40; 16) e quindi Z ∼ N (0; 1). La probabilitá di superare i 50 centimetri
é
P (X > 50) = P (
X −µ
50 − 40
>
) = P (Z > 2.50) = 1−ΦZ (2.50) ' 1−0.9938 = 0.0062.
σ
4
(b). Nell’ipotesi che ci sia indipendenza tra quello che succede in anni diversi,
possiamo considerare ogni anno come una diversa prova, in cui si ha ”successo”
se si superano i 50 cm. di precipitazione (quindi con probabiliá p = 0.0062).
Siamo quindi in uno schema di prove ripetute, tutte nelle stesse condizioni,
e sappiamo che il tempo T di attesa per il primo successo ha distribuzione
geometrica di parametro p = 0.0062. Quindi la probabilitá che ci vogliano
ESATTAMENTE 10 anni prima di superare i 50 cm. di precipitazioni é
P (T = 10) = p(1 − p)9 ' 0.0058.
1
(c). Per quanto riguarda la distribuzione di W , é chiaro che W = 2.54
X
40
16
quindi, per la proprietá della distribuzione normale abbiamo che W ∼ N ( 2.54 ; 2.54
2 ).
Esercizio 3.Il numero di anni di funzionamento di un tipo di radio é distribuito esponenzialmente con parametro λ = 18 . Comprando una radio usata
di questo tipo, qualé la probabilitá che essa duri per piú di 8 anni dal momento
dell’acquisto? Considerare i due casi distinti:
(a) quando compro la radio, la radio e vecchia di un anno;
(b) quando compro la radio, la radio é vecchia di 10 anni.
Soluzione Indichiamo con X la durata della radio. Sappiamo che
0,
se x ≤ 0
FX (x) =
− 18 x
1−e
, se x > 0
La probabilitá che la radio duri piú di 8 anni dal momento che la compro é:
se al momento dell’acquisto é vecchia di un anno:
9
P (X > 1 + 8|X > 1) =
8
1 − (1 − e− 8 )
P (X > 9)
=
= e− 8 = e−1
1
P (X > 1)
1 − (1 − e− 8 )
2
se al momento dell’acquisto é vecchia di 10 anno:
P (X > 10 + 8|X > 10) =
18
=
8
P (X > 18)
1 − (1 − e− 8 )
=
= e− 8 = e−1 .
10
−
P (X > 10)
1 − (1 − e 8 )
Le due probabilitá coincidono perché l’esponenziale é senza memoria e quindi il
fatto che la radio abbia funzionato per 10 anni non altera le probabilitá di vita
residua.
Esercizio 4. Se X é uniformemente distribuita su (−1, 1), determinare
(a) P (|X| > 12 );
(b) la densitá della variabile aleatoria |X|.
Soluzione

 0,
FX (x) =
P (|X| >

se x ≤ −1;
se − 1 ≤ x ≤ 1
se x > 1
x+1
2 ,
1,
1
1
1
1
1
) = P ((X < − ) ∪ (X > )) = P (X < − ) + P (X > ) =
2
2
2
2
2
1
1
1
3
1
= FX (− ) + 1 − FX ( ) = + 1 − = .
2
2
4
4
2
La variabile aleatoria Y = |X| assume quasi certamente valori in (0; 1).
Quindi

 0 se y ≤ −1;
?? se 0 ≤ y ≤ 1
FY (y) =

1 se y > 1
e per y ∈ (0, 1] si ha
FY (y) = P (Y < y) = P (|X| < y) = P (−y < X < y) = FX (y)−FX (y + ) =
Quindi Y ∼ U (0, 1) e la sua densitá é
1
fy (y) =
0
se 0 < y ≤ 1
altrove.
3
y + 1 −y + 1
−
= y.
2
2
Rispondere un modo esauriente alle seguenti domande
T1. Dimostrare che in un’algebra finita di eventi (darne la definizione)
ogni evento si scompone in modo unico nell’unione di eventi elementari (dare la
definizione di evento composto ed elementare)
T2. Se ξ = ξ(ω) é una v.a. dimostrare che le seguenti affermazioni sono
equivalenti.
i. ∀x ∈ R {ω|ξ(ω) > x} ∈ A,
ii. ∀x ∈ R {ω|ξ(ω) ≥ x} ∈ A,
iii. ∀x ∈ R {ω|ξ(ω) < x} ∈ A,
iv. ∀x ∈ R {ω|ξ(ω) ≤ x} ∈ A,
T3. Dimostrare che se le v.a. X ed Y sono indipendenti, le linee di regressione
sono rette parallele agli assi coordinati.
T4. Dimostrare che se per ogni naturale p e se il momento assoluto βp esiste,
allora
∞
X
(it)k
ϕξ (t) =
αk .
k!
k=0
T5. Trovare la funzione caratteristica delle seguenti v.a. discrete e non: La
v.a. Binomiale, di Poisson, Uniforme sull’intervallo [a, b], Normale di parametri
m e σ, esponenziale di parametro λ.
4