Cognome Nome Anno imm. Matricola Compito di MS per SAN e VE

Cognome
Anno imm.
Nome
Matricola
Compito di MS per SAN e VE
9 settembre 2014
Se il compito deve essere valutato solo per la parte di Matematica o di Statistica, e/o solo per un
certo numero di crediti (a causa di riconoscimenti parziali, trasferimento da altri corsi di studio, ecc),
indicatelo nei righi successivi, dando gli estremi dei rilevanti provvedimenti del Consiglio di Corso di
Studi o della Segreteria Studenti.
Svolgete gli esercizi direttamente sul testo a penna, negli spazi previsti, scrivendo chiaramente in
buon italiano. “Scrivere” significa dare solamente il risultato finale, mentre “calcolare”, “risolvere”,
“determinare” significa fornire anche il procedimento, almeno in forma schematica. Dovete consegnare
solo il foglio del testo: nessun foglio di brutta.
Per ogni domanda è indicato il relativo punteggio. Se la risposta è corretta tale punteggio viene
aggiunto al totale, inizialmente pari a 0; se la risposta è errata viene sottratto un punto. L’assenza di
risposta non influisce sul punteggio totale.
Potete usare una calcolatrice (non il cellulare) e la tavola della funzione degli errori di Gauss; niente
libri, appunti o altro. Tenete il libretto universitario sul banco. La durata della prova è di 3 ore (se deve
essere valutato tutto il compito), o di 90 minuti (se deve essere valutata solo la parte di Matematica o
di Statistica).
Calcolate preliminarmente i parametri a e b da usare negli esercizi: α è la penultima cifra del numero
di matricola e β l’ultima.
a = 2 cos
απ 3
= ......,
βπ b = 5 + 2 cos
= ......
3
*********************** MATEMATICA ***********************
Esercizio 1. Sia f la funzione definita da
f (x) =
ax
.
cos ax
1. Scrivere il dominio di f .
1pt
2. Calcolare l’equazione della tangente a f nel punto di ascissa −π (sul retro).
2pt
3. Dire se esiste il limite di 1/f (x) per x tendente a +∞; se esiste, calcolarlo.
2pt
4. Disegnare il grafico di f .
2pt
Esercizio 2. Sia f : R → R una funzione. Scrivere la definizione rigorosa della frase “f (x) è continua
nel punto x = 5”. Analogamente per la frase “1/f è una funzione limitata”.
4pt
Esercizio 3. Calcolare (sul retro) l’integrale indefinito
Z
t−2 log(b2 t) dt
4pt
*********************** STATISTICA ***********************
Esercizio 4. Un dado viene lanciato 6 volte. Sia A l’evento “compare almeno un 6”, B l’evento “compare
esattamente un 6”.
1. Calcolare P (A), P (B), P (B|A).
3pt
2. Il dado viene truccato in modo che sia il 5 che il 6 hanno adesso probabilità p di uscire, mentre gli
altri numeri hanno tutti probabilità q. Quanto vale q in funzione di p?
1pt
Esercizio 5. Sia f : R≥0 → R la funzione di distribuzione di probabilità definita da f (x) = 1/(1 + |b|)
per 2 ≤ x ≤ 3 + |b|, e 0 altrimenti.
1. Calcolare la funzione di distribuzione cumulativa (o “funzione di ripartizione”) F , e disegnare i
grafici di f e di F .
2pt
2. Calcolare la media e la varianza di una variabile aleatoria avente distribuzione f (sul retro).
3pt
Esercizio 6. Un campo di grandi dimensioni viene seminato con una media di 4 semi per metro quadro.
Fissato uno specifico quadrato di 1mq, calcolare la probabilità che vi vengono a cadere almeno 6 semi
(sul retro).
3pt
Esercizio 7. Sia X : (Ω, P ) → [0, 7] una variabile aleatoria continua con funzione di distribuzione
di probabilità f . Scrivere cosa significano esattamente le seguenti frasi: “La media di X è 3,2”, “La
mediana di X è 6,5”, “La moda di X è 4”.
3pt