1 Esami del mese di Febbraio Esercizio 1 In un sacco contenente 20

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Esami del mese di Febbraio
Esercizio 1 In un sacco contenente 20 pile scariche cadono 5 pile cariche. Calcolare la probabilitá che estraendone 2 senza rimpiazzo queste siano entrambe cariche.
Calcolare la probabilitá che estrendone due senza rimpiazzo almeno una delle due sia
carica. Quante pile cariche e’ necessario aggiungere al sacco affinché la probabilitá
che, estrendone due senza rimpiazzo queste siano entrambe cariche, sia maggiore di
1
2
?
Soluzione
5 4
25 24
20 19
= 19
25 24
30
La probabilitá che entrambe siano cariche é data da
calcolare la probabilitá che entrambe siano scariche
=
1
.
30
É semplice da
; l’evento almeno una
sia carica é il complementare di questo e quindi la sua probabilitá é 1 −
19
30
=
11
.
30
Indicando con x il numero incognito di pile da aggiungere si ottiene la disuguaglianza
5+x 4+x
1
>
25 + x 24 + x
2
che diviene x2 − 31x + 560 > 0. Il polinomio ha due radici di cui una sola positiva; i
valori di x che risolvono il nostro problema sono i numeri interi maggiori della radice
positiva, quindi in definitiva x ≥ 44.
Esercizio 2. In un paese scandinavo il 70% delle ragazze ha i capelli Biondi, il
20% li ha Rossi, il 10% Mori. Risulta poi che ha gli occhi Scuri il 10% delle Bionde,
il 25% delle Rosse, il 50% delle More. Se la ragazza con cui ho fatto amicizia tramite
Internet mi fa sapere che ha gli occhi Scuri, che probabilitá c’é che sia Bionda?
Risoluzione. Con la formula di Bayes: P (B) = 0, 7 P (R) = 0, 2 P (M ) =
0, 1 P (S/B) = 0, 1 P (S/R) = 0, 25 P (S/M ) = 0, 5
P (B|S) =
P (B) · P (S|B)
P (B) · P (S|B) + P (R) · P (S|R) + P (M ) · P (S|M )
2
=
0, 7 · 0, 1
= 0, 41 = 41%
0, 7 · 0, 1 + 0, 2 · 0, 25 + 0, 1 · 0, 5
Esercizio 3. Sia X il tempo aleatorio di durata di un dispositivo con densitá
f (x) =
n kxe−2x2 , per x > 0
0,
per x ≤ 0
.
Determinare la costante k e la probabilitá dell’evento condizionato (X > 2|X > 1).
Inoltre, stabilire se X gode della proprietá di assenza di memoria (ovvero P (X >
2|X > 1) 6= P (X > 1).
Soluzione. Si ha
Z +∞
Z
k +∞
k
k
k
2
2
−2x2
kxe
dx =
4xe−2x dx = [−e−2x ]+∞
= [0 − (−1)] = = 1,
0
4 0
4
4
4
0
e quindi k = 4. Inoltre, essendo
Z +∞
2
2
P (X > 2) =
4xe−2x dx = [−e−2x ]+∞
= [0 + e−8 ] = e−8
2
2
e
Z
+∞
P (X > 1) =
1
2
2
4xe−2x dx = [−e−2x ]+∞
= [0 + e−2 ] = e−2
1
si ha
P (X > 2|X > 1) =
P (X > 2 ∩ X > 1)
P (X > 2)
e−8
=
= −2 = e−6 6= P (X > 1).
P (X > 1)
P (X > 1)
e
Esercizio 4. Irina é distratta, quando si ferma in un’area di servizio dell’autostrada
per il rifornimento di benzina, ha una possibilitá su 5 che ella riparte senza il suo
passeggero, sceso per distendersi. Sia X la variabile aleatoria uguale al numero di
tappe sull’autostrada che Irina percorre in compagnia del suo passeggero.
a. Stabilire la legge di probabilitá di X. Calcolare E(X).
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b. Determinare la funzione di ripartizione della variabile aleatoria X.
c. Qual’é il numero massimo di tappe che puó comportare il viaggio perché il
passeggero arrivi a destinazione nella vettura di Irina con probabilitá superiore a 0.6?
Soluzione. Se Irina ha dimenticato il suo passeggero alla k-ma tappa allora
³ 4 ´k−1 1
P (X = k) =
· ,
5
5
∞
∞
X
1 X ³ 4 ´k−1
E(X) =
kP (X = k) =
k
=5
5
5
k=1
k=1
b. La funzione di ripartizione é definita da
³ 4 ´k
1 X ³ 4 ´i
F (x) = P (X < x) =
=1−
.
5 i=0 5
5
k−1
c. Si tratta di risolvere l’equazione F (k) < 0, 4:
1 − 0, 8k < 0, 4 ⇔ 0, 8k > 0, 6 ⇔ k <
ln0, 6
≈ 2, 28
ln0, 8
Puó fare solo 2 tappe.
Rispondere in modo esauriente e completo alle seguenti domande:
T1 . Dire cosa si intende per disposizione, disposizione semplice, combinazione di
insiemi finiti.
T2 . Mostrare che se le v.a. ξ1 , . . . , ξn hanno rispettivamente le densitá di probabilitá f1 (x) · · · , fn (x), allora ξ1 , . . . , ξn sono indipentendi se e solo se.... (completare l’enunciato e dimostrare).
T3 . Dopo avere dato le definizioni di convergenza in legge e probabilitá, dimostrare
che se una successione di v.a. converge in probabilitá allora la successione
converge in legge. Dire e dimostrare se vale e quando vale l’implicazione inversa.
4
T4 . Sia (X1 , . . . , Xn ) é un compione normale N (0, σ). Dimostrare che
una v.a. χ2 (n, σ).
Pn
j=1
Xj2 é