6_7_2010 - Dipartimento di Matematica

Università degli Studi di Pavia
Dipartimento di Matematica
Prova di Probabilità e Statistica
6 Luglio 2010
Problema 1. Sia (X, Y ) un vettore aleatorio con densità congiunta
f (x, y) =
c
I{x > 0, y > 1}.
(x + y)3 (1 + x)
(1) Si determini esplicitamente c.
(2) Si determini la densità (marginale) di X.
(3)X e Y sono stocasticamente indipendenti? Si determini la densità condizionale di Y dato X.
(4) Per quali β > 0 il valore atteso E[X β ] è ben definito?
Problema 2. Siano U e V due variabili aleatorie indipendenti con distribuzione uniforme su [0, 1].
(1) Si calcoli la funzione di ripartizione di X := U/(1 + U ).
(2) Si calcoli la funzione di ripartizione di Z = I{U ≤ 0.3}V + (1 − V )I{U > 0.3}.
Problema 3. Una compagnia di assicurazioni assicura un egual numero di automobilisti uomini e donne.
In un dato anno la probabilità che un automobilista uomo abbia un incidente è α (indipendentemente per
ogni anno). L’analoga probabilità per la donna è β. Si scelga con probabilità uniforme un automobilista.
(1) Qual è la probabilità che l’automobilista scelto abbia un incidente?
(2) Qual è la probabilità che l’automobilista scelto abbia un incidente per due anni consecutivi?
(3) Sia A1 l’evento 00 l’automobilista scelto ha un incidente il primo anno00 e A2 00 l’automobilista scelto ha
un incidente il secondo anno00 . Calcolare P (A2 |A1 ) e dimostrare che P (A2 |A1 ) ≥ P (A1 ).
Problema 4. Si osservino n tempi intercorrenti fra le chiamate ad un centralino telefonico. I risultati
delle osservazioni siano rappresentati da n numeri aleatori indipendenti e identicamente distribuiti con legge
esponenziale negativa di denistà
f (x; σ) = σe−σx I{x > 0}
essendo σ un parametro incognito strettamente positivo.
(1) Fissato un numero a > 0, calcolare
Z
θ = θ(σ) =
+∞
σe−σx dx
a
e dire qual è il significato probabilistico di θ.
(2) Scrivere la funzione di verosimilglianza di σ sulla base del campione X1 , . . . , Xn .
(3) Usando la relazione fra θ e σ determinata nel punto (1), riscrivere la funzione di verosimiglianza per
θ.
(4) Trovare lo stimatore di massima verosimiglianza per θ basato su (X1 , . . . , Xn ).
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