06/06 - Eurekamat

SCHEDA CON ESERCIZI INTEGRATIVI (per le vacanze)
Le funzioni e i problemi lineari
1. Un negozio noleggia biciclette applicando la seguente tariffa:
• una quota fissa di 1 euro da versare al momento del noleggio;
• una quota variabile in base alla durata del noleggio (2 euro all’ora) da versare al momento della restituzione della
bicicletta.
Il negozio affitta le biciclette a ore. Esprimi il costo complessivo del noleggio in funzione del numero x di ore. Qual è
il dominio della funzione che resta cosı̀ definita, in relazione al problema? Traccia il grafico della funzione.
2. Ai piedi della montagna c’è una temperatura di 19 ◦ C. Salendo, la temperatura cala di 1 ◦ C ogni 200 m. Esprimi la
temperatura in funzione della quota x e traccia un grafico della funzione. A che quota la temperatura scende a 0 ◦ C?
3. Un oggetto è in vendita ad un prezzo di 80 euro. Il suo prezzo viene scontato dell’x%. Esprimi in funzione di x il prezzo
dell’oggetto scontato e traccia un grafico della funzione. Che sconto deve essere applicato perchè il prezzo raggiunga i
30 euro?
4. Un contadino deve costruire, con un filo spinato, un recinto quadrato di lato x. Il costo del filo spinato, al metro, è di
2 euro. Inoltre il contadino deve pagare 1 euro per ogni metro quadro di terreno recintato. Esprimi, in funzione di x:
(a) il costo del filo spinato;
(b) il costo del terreno recintato;
(c) il costo totale del recinto.
Il contadino spende di più per comprare il filo spinato o per il terreno?
5. I lati di un quadrato di lato 1 vengono prolungati di una lunghezza x. Esprimi in funzione di x l’aumento del perimetro
e l’aumento dell’area del quadrato, e traccia il grafico delle due funzioni.
6. Per il noleggio di un’automobile, una compagnia di noleggio applica una tariffa in base al numero di giorni.
• 25 euro al giorno fino al settimo giorno;
• 15 euro al giorno dall’ottavo giorno in poi.
La compagnia affitta le auto a giorni. Esprimi il costo complessivo del noleggio in funzione del numero x di giorni.
Qual è il dominio della funzione che resta cosı̀ definita, in relazione al problema? Traccia il grafico della funzione.
7. Spedire un pacco per posta ha un costo che dipende dal peso del pacco:
• Se il pacco pesa meno di 5 kg, si paga un costo fisso di 1 euro più 1 euro al kg.
• Se il pacco pesa più di 5 kg, ma meno di 20 kg, si paga un costo fisso di 6 euro più 0,50 euro al kg.
• Se il pacco pesa più di 20 kg, si paga un costo fisso di 16 euro.
Esprimi il costo complessivo in funzione del peso x del pacco. Quanto devo pagare se il pacco pesa 16 kg?
8. Marco vuole iscriversi in palestra. La palestra A costa 50 euro di iscrizione, più 10 euro all’ora. La palestra B chiede
80 euro di iscrizione, più 8 euro di iscrizione. Traccia il grafico delle due funzioni. Determina in che caso conviene
iscriversi alla palestra A, e in che caso conviene iscriversi alla palestra B. Quando pagherà Marco, nelle due palestre,
se le utilizza per 10 ore?
9. Si vuole costruire un recinto rettangolare utilizzando un filo metallico di 10 m. Detta x la parte di filo destinata a
formare una delle due basi del recinto, determinare l’area racchiusa dal recinto in funzione di x. Qual è il dominio della
funzione? In che caso l’area è massima?
10. Vuoi incorniciare con una cornice rettangolare di spessore x cm una foto di dimensioni 10 cm x 5 cm. Esprimi in
funzione di x l’area della cornice e traccia il grafico della funzione.
Problemi lineari
1. Oggi ho comperato 2 DVD e 5 CD, spendendo 72 euro. Il mese scorso, a prezzi invariati, avevo pagato 80 euro per 3
DVD e 4 CD. Quanto costa un DVD? E quanto un CD?
[16 euro; 8 euro]
1
2. Nel campionato di calcio italiano la vittoria vale 3 punti, e 1 punto il pareggio. Dopo 20 partite, una squadra si trova a
quota 42 punti, avendo vinto un numero di partite doppio rispetto al numero delle partite pareggiate. Quante partite
ha perso quella squadra?
[2]
3. Ho in tasca 28 monete, parte da 20 centesimi e parte da 50. Ho calcolato che se le monete da 20 fossero tante quante
quelle da 50 e viceversa, il mio gruzzolo aumenterebbe di 3 euro. Quanto posseggo?
[8,30 euro]
4. In un negozio di articoli sportivi vi sono 31 scatole di palline da tennis. Alcune scatole contengono 3 palline e altre ne
contengono 4. In totale vi sono 104 palline. Quante scatole da 3 e quante da 4 palline vi sono?
[20; 11]
5. La somma delle età di due fratelli è 25 anni; fra 10 anni l’età del maggiore sarà i
età attuali dei due fratelli.
5
4
dell’età del minore. Determina le
[15; 10]
6. Una provetta, riempita fino all’orlo con un liquido di densità 0,8 kg/l, pesa 34 g, mentre se viene riempita con un
liquido di densità 1,2 kg/l pesa 46 g. Determinare il peso della provetta vuota.
[10 g]
7. Si vincono 4 gettoni per ogni risposta giusta, se ne perdono 7 per ogni risposta sbagliata. Dopo 30 domande io sto
perdendo 89 gettoni. Quante risposte ho sbagliato?
[19]
8. Un liquido A contiene il 2% di alcool, il liquido B ne contiene il 6%. Si vogliono mescolare x litri del liquido A e y del
liquido B in modo da ottenere 60 litri di liquido, che contenga il 3,2 % di alcool. Quanto devono valere x e y? [42 l;
18 l]
9. Un ricco signore ha depositato una cifra complessiva di 100 000 euro, per un anno, parte in una banca A (all’interesse
del 3% annuo) e parte in una banca B (all’interesse del 2% annuo). Sapendo che l’interesse complessivo riscosso dopo
un anno è stato di 2180 euro, stabilire quale cifra era stata depositata nella banca A e quale cifra nella banca B. [18
000; 82 000]
10. Nel polinomio p(x) = x2 + ax + b la variabile è x; le lettere a e b rappresentano due coefficienti. Determina i numeri a
e b in modo che si abbia p(2) = 10 e p(−1) = −5.
[4; -2]
11. Determina il valore di m e q affinchè la retta y = mx + q passi per i punti P (1, 1) e Q(2, 0).
[-1; 2]
12. In un supermercato si vendono confezioni di biscotti da mezzo kilogrammo a 1 euro, da un kilogrammo a 2 euro, e da
due kilogrammi a 3 euro. Calcola quante confezioni sono state vendute per ogni tipo, sapendo che sono stati incassati
in totale 46 euro, sono stati venduti in totale 24 kg di biscotti e che sono state vendute 8 confezioni in più di biscotti
da mezzo kilogrammo rispetto a quelle da due kilogrammi.
I numeri reali
• Semplifica o trasporta fuori dal segno di radice tutti i fattori possibili (poni prima le CE):
√
√
√
√
√
√
√
72
10
18
6
9
3
2) x2
3) x10
4) x3
5) x7
6) x9
7) x4
25
√
√
√
√
3
9) 16b4 c
10) a3 + 3a2 + 3a + 1
11) 9 + 6a + a2
8) 4ax4
√
√
√
4
4
2
2
3
12) a + 2a + 1
13) (a + 2a + 1)
14) 16a2 − 8a + 1
√
3 6
√
√
√
3
9 216a b
15) 10 x2 − 4xy + 4y 2
16) 3 a6 (x − y)3
17) a8 b13 c31 d3
18)
y6
√
2
√
√
√
√
8 4a
10
4 y 10
22)
20) 8x4 y 4
21)
64x
23)
81x4 y 6
19) 8x3 y 2
4
x
√
√
4
4
√
√
a
(a
−
4)
9a6
4
8
8
2
4
6
8
24) 5a bc
25) 81a b c
26)
27)
a2 + 4a + 4
b4
√
4 6
√
√
√
12 x y
4
6
3y6
30)
28) 4 16(a − 1)2
29)
x
31)
x4 + x4 b2
8
z
1)
2
32)
35)
√
√
x3 + x5
33)
(x2 − 4)(x − 2)
√
36)
x3 + 2x2 + x
√
4
34)
a17 b18 c19
37)
√
√
4
(x2 + 3x − 4)(x − 1)
a17 b18 c21
• Trasporta dentro al segno di radice tutti i fattori possibili (poni prima le CE):
√
√
√
√
√
√
3
4
39) − 2 4
40) − 2 2
41) x 2
42) x4 2
43) x x
44) x2 x
• Poni le CE delle seguenti espressioni:
√
x2
√
x
1
√
−
x2 + 1
4 − x2
x+5
√
√
√
3
1
x2 + 4
127 x − 17x + 1
49) 54
·2
−
x+2
2x − 1
(x + 1)2
47)
3
1
−
(x − 1)2
√
12
·3
38)
45) x
√
a17 b18 c19
√
x2
46) x
√
3
x2
√
√
5
1
x+1
1+x
48) 3 −4 √
+
8
x
(x2 − 1)2
x−1
√
√
√
2
2
x
(x
−
1)
x
x
55
22
50)
−
2
1 + x2
x−3
• Semplifica le seguenti espressioni. Supponi che i radicandi siano sempre maggiori o uguali a zero:
√
√ √
√
√ √
√
√
√
[8 + 3 5]
51) ( 15 + 3)2 − 5( 9 + 5 2) − 50( 2 − 5) =
√
√
√
√
√
52) (1 − 2)2 + (2 2 − 3)2 − (3 2 − 4)(4 + 3 2) =
[18 − 14 2]
√
√ √
√
√
√
√ √
√
√
53) (2 3 − 2)( 3 − 2) − ( 3 − 2)2 + 2(2 2 − 3) =
[7 − 2 6]
√
√
]
√
√
√
5 − 1 [1 − 4 3
4
√ =
54) √
·
+ ( 3 − 1)( 3 + 1) − ( 3 − 1)2 ·
[−3]
2
5+1
3− 5
√
√
√
√
]
[
2
a2 − 1
a
+
2
(a + 2)3
3 a − 4
6
6
·
·
=
55)
a2 + a − 2
a+1
a2 + 2a + 1
(a + 1)4 (a − 2)
√
√
√
[ √x − 1]
x−2 3 x−1 4 x−2
12
56)
·
:
=
x−1
x−2
x−1
x−2
√
√
√
√
[
2
2
2
2
3
y2 ]
6 (x − y)
3 x y + xy
4 x + y − 2xy
6
57)
·
:
=
4x3
x2 + y 2 + 2xy
4x3
x(x + y)
√
√(
√
√
[√ a2 + b2 ]
a b )( a b )
ab
1 4 a2 + b2
4
4 1
58)
−
+
·
·
−
·
=
b a b a
a2 − b2
b2 a2
a2 b2
a 2 b2
• Razionalizza le seguenti frazioni:
√
√
2− 2
9+ 3
59) √
60) √
2
3
65)
5
√
3 3 10
15
66) √
3
40
a2 − b2
62) √
a−b
a+b
61) √
a+b
√
√
7− 3
√
67) √
7+ 3
68)
1−
1
√
a+1
Probabilità
1. Una lotteria di paese ha emesso 100 biglietti, di cui 5 vincenti.
(a) Se compro un biglietto, che probabilità ho di vincere un premio?
(b) Se compro due biglietti, che probabilità ho di vincere due premi?
3
√
(x + y) x − y
√
63)
x2 − y 2
a−4
69) √
a+2
3ab
64) √
3
ab
b
√
70) √
a− a−b
(c) Se compro due biglietti, che probabilità ho di vincere almeno un premio?
(d) Se compro un biglietto, sapendo che ne sono stati già venduti 23 di cui 1 vincente, che probabilità ho di vincere
un premio?
2. Lanciando successivamente per 6 volte una moneta, calcolare la probabilità di ottenere: (a) tutte CROCI; (b) almeno
una CROCE; (c) CROCE le prime 3 volte, TESTA le rimanenti; (d) CROCE le prime 3 volte; (e) almeno due CROCI.
3. Considera il lancio simultaneo di due monete. Quale tra questi eventi è il più probabile?
(a)
(b)
(c)
(d)
L’uscita di due teste.
L’uscita di due croci.
L’uscita di due simboli diversi.
I tre eventi sono equiprobabili.
4. Marco sta facendo la raccolta delle figurine, e delle 100 totali da collezionare ne possiede già 65 (escludendo le doppie).
Ogni nuovo pacchetto contiene 5 figurine (estratte casualmente dalle 100 che compongono la collezione, ed è quindi
possibile trovarne di doppie nello stesso pacchetto). Qual è la probabilità che Marco, acquistando un nuovo pacchetto,
non possieda nessuna delle 5 figurine trovate?
5. Lanciando successivamente per 2 volte un dado, calcola la probabilità: (a) che dal primo dado esca 6, sapendo che è
uscito un numero maggiore di 2; (b) che escano due 6; (c) che esca almeno un 6; (d) che non esca nemmeno un 6; (e)
che esca esattamente un 6.
6. L’insegnante di storia interroga in una classe di 27 alunni, tra i quali solo 12 sono preparati. Scelti a caso due ragazzi,
(a) qual è la probabilità che siano preparati entrambi?
(b) qual è la probabilità che sia preparato almeno uno dei due?
7. Un cassetto contiene 5 set di biglie. Ogni set si compone di 3 biglie dello stesso colore (i colori dei 5 set sono bianco,
nero, verde, rosso e blu).
(a)
(b)
(c)
(d)
(e)
Estraendo una biglia, qual è la probabilità che questa sia rossa?
Estraendo due biglie, qual è la probabilità che queste siano entrambe rosse?
Estraendo due biglie, qual è la probabilità che queste siano dello stesso colore?
Estraendo tre biglie, qual è la probabilità che queste siano dello stesso colore?
Qual è il numero minimo di biglie che si devono estrarre per avere la certezza di estrarne tre dello stesso colore?
8. In un paese il 30% delle ragazze ha i capelli biondi, il 20% ha i capelli rossi e il 50% ha i capelli bruni. Se la mia amica
di penna non è bionda, che probabilità c’è che abbia i capelli rossi?
9. Anna ha acquistato tre regali per tre sue amiche, ma una volta chiuse le confezioni non riesce più a distinguerli. Se i
regali fossero consegnati a caso, qual è la probabilità che ogni amica riceva quello giusto?
10. Una scatola contiene 60 palline: alcune bianche, alcune rosse e le rimanenti nere. Sapendo che la probabilità di estrarre
una nera è 0,2 quante sono le palline nere?
11. In un gruppo di 30 bambini di una scuola elementare 9 hanno gli occhi azzurri, 15 marroni e 6 neri. Scelti a caso due
bambini, calcola la probabilità che:
(a) abbiano entrambi gli occhi azzurri;
(b) almeno uno dei due abbia gli occhi neri;
(c) abbiano gli occhi di colore diverso.
12. In un supermercato ci sono 9 barattoli di miele di acacia, 7 di miele di tiglio e 5 di miele millefiori. Presi due barattoli
a caso, calcola la probabilità che:
(a) almeno uno dei due sia di acacia;
(b) tutti e due siano millefiori;
(c) solo uno sia di tiglio.
13. Un macchinario produce alcuni pezzi elettronici, sui quali viene effettuato un controllo per individuare quelli difettosi,
che in media sono il 6%. Il controllo elimina il 90% dei pezzi difettosi ma anche il 5% dei pezzi non difettosi. Calcola
la probabilità che:
(a) un componente non difettoso sia eliminato;
(b) un pezzo che supera il controllo sia in realtà difettoso.
4