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Esercizi di Probabilità e Statistica
Samuel Rota Bulò
16 luglio 2006
V.a. discrete e distribuzioni discrete
Esercizio 1 Dimostrare la proprietà della mancanza di memoria della legge
geometrica, ovvero posto X ∼ Geom(p) e m ≥ 0, P {X = m + k|X ≥ k} =
P {X = m}.
Soluzione
Sia X ∼ Geom(p).
P {X ≥ k} =
∞
X
(1 − p)i · p = (1 − p)k ·
∞
X
(1 − p)i · p = (1 − p)k
i=0
i=k
|
{z
=1
}
dove
P {X = m + k|X ≥ k} =
P {X ≥ k|X = m + k} · P {X = m + k}
=
P {X ≥ k}
(1 − p)m+k · p
=
= (1 − p)m · p = P {X = m}
(1 − p)k
Esercizio 2 Esiste una tecnica nel lotto che consiste nel giocare i numeri che
non sono stati estratti da molte settimane. I giocatori che usano questa tecnica sostengono che vi siano scarse probabilità che un numero in ritardo di
100 settimane non venga estratto nemmeno alla 101-esima settimana. In effetti la probabilità di un simile ritardo è bassa, ma qual è l’errore in questo
ragionamento?
Soluzione
Una v.a. che modella il ritardo nell’estrazione di un numero segue una legge
geometrica. Sia X questa v.a. . Se io al tempo t calcolo la probabilità di avere
un ritardo di almeno 101 giorni (P {X ≥ 101}), questa è effettivamente molto
bassa.
Se p è la probabilità che il numero venga estratto
(1 − p) =
C89,5
17
=
C90,5
18
P {X ≥ 101} = (1 − p)101 = 0.0031104
1
Il problema di questo ragionamento è che quando vado a vedere la probabilità
che ha il numero di uscire, non mi trovo più al tempo t, ma al tempo t + 100,
quindi in realtà la probabilità che devo calcolare è condizionata dal fatto che il
numero è in ritardo da 100 giorni.
P {X ≥ 101|X ≥ 100} = P {X ≥ 1} = (1 − p) = 0.94444
Esercizio 3 Verificare che la funzione di probabilità legata alla legge di Poisson
sia una densità discreta.
Soluzione
La funzione cui ci riferiamo è
(
e−λ ·
pλ (x) =
0,
λx
x! ,
x = 0, 1, 2, . . . , n
altrimenti
Questa funzione è nulla ad eccezione di un’infinità numerabile di x. Quindi
la prima proprietà di una densità discreta è soddisfatta.
Verifichiamo la seconda proprietà ovvero che la somma delle probabilità di
ogni x da’ 1.
∞
X
λk
= eλ
k!
k=0
∞
X
k=0
pλ (k) =
∞
X
k=0
∞
e−λ ·
X λk
λk
= e−λ ·
= e−λ · eλ = 1
k!
k!
k=0
Esercizio 4 Dimostrare che per n → +∞, una variabile di Poisson si distribuisce come una binomiale di parametri n e nλ .
Soluzione
λ
n
λx
lim
· (1 − )n−x =
·
n→+∞ x
n
n
n −k
λ
λ
n · (n − 1) · · · (n − x + 1) λx
·
·
1
−
·
1
−
=
n→+∞
nx
x!
n
n
λx −λ
=1·
· e · 1 = pλ (x)
x!
= lim
Esercizio 5 Sia X una v.a. di Poisson di parametro λ. Sapendo che P {X =
1} = P {X = 2} calcolare P {X = 4}.
[0.090224]
Soluzione
P {X = 1} = P {X = 2}
λ1
λ2
= e−λ ·
e−λ ·
1!
2!
λ2
λ =
2
λ = 2
2
P {X = 4} = e−2 ·
24
= 0.090224
4!
Esercizio 6 Si lancia una moneta equa. Assumendo che i lanci siano tra loro
indipendenti, qual è la probabilità di dover aspettare 5 lanci prima di vedere la
prima croce, avendo già visto l’esito dei primi due lanci che hanno dato due
teste?
[ 18 ]
Soluzione
Sia X una v.a. che indica il numero di lanci che bisogna fare prima di
ottenere la prima croce (esclusa quella che ha successo). Allora X è una v.a.
che si distribuisce con legge geometrica.
P {X = 5|X ≥ 2} = P {X = 3} =
2
1
1
1
· =
2
2
8
Esercizio 7 Una compagnia aerea dispone di due tipi di aerei, uno da 20 e uno
da 10 posti. Poichè si sa che i passeggeri che prenotano poi non si presentano
con probabilità 0.1, vengono sempre accettate 22 prenotazioni sui voli da 20 posti
e 11 su quelli da 10. In quale dei due aerei è maggiore il rischio di lasciare a
terra almeno un passeggero che ha regolarmente prenotato, per un volo in cui si
è accettato il massimo di prenotazioni?
[in quello da 20 posti, con proabilità 0.3392]
Soluzione
Siano X1 e X2 due v.a. che contano il numero di passeggeri che si presentano
su ciascun aereo. Queste si distribuiscono secondo una legge binomiale X1 ∼
B(22, 0.9) e X2 ∼ B(11, 0.9). Per avere che almeno un passeggero resti a terra,
è necessario che il numero di prenotazioni sia maggiore rispettivamente di 20 e
10. Quindi
P {X1 > 20} =
22 X
22
0.9k · 0.122−k = 0.33920
k
k=21
P {X2 > 10} =
11
0.911 = 0.31381
11
Quindi il volo più a rischio anche se di poco è quello da 20 posti.
Esercizio 8 Un’associazione di consumatori ha ragione di credere che un certo
produttore di olio extra vergine vende solo il 27% delle bottiglie effettivamente
di olio extra vergine, mentre le restanti 33% e 40% contengono rispettivamente
olio semplice e olio di sansa. Per pubblicizzare la frode alimentare l’associazione
acquista 4 bottiglie a caso e le fa analizzare da uun istituto indipendente. Qual
è la probabilità che almeno tre bottiglie siano di olio extra vergine?
[0.062789]
Soluzione
3
Sia X una v.a. che conta il numero di bottiglie di olio extra vergine. Questa
si distribuisce con legge binomiale B(4, 0.27). La probabilità che ci interessa
calcolare è P {X ≥ 3}.
P {X ≥ 3} =
4 X
4
k=3
k
· 0.27k · 0.734−k = 0.062789
Esercizio 9 Consideriamo un lago contenente 10 pesci rossi e 5 bianchi. Peschiamo con una rete 6 pesci. Sia X il numero di pesci pescati. Qual è la densità
di X se i pesci sono mescolati casualmente nel lago? Qual è la probabilità di
aver pescato un numero pari di pesci bianchi?
[ 39
77 ]
Soluzione
La v.a. X di distribuisce con legge ipergeometrica di parametri k=6, b=5,
n=15. La probabilità di aver pescato un numero pari di pesci bianchi equivale
alla somma delle probabilità di aver pescato 0, 2 e 4 pesci bianchi ovvero
5
10
X
X
39
k · 6−k
=
P {X è pari} =
P {X = k} =
15
77
6
k∈{0,2,4}
k∈{0,2,4}
Esercizio 10 Si lancia ripetutamente una moneta difettosa che mostra testa
con probabilità 0.55. Assumento che i lanci siano tra loro indipendenti, a) qual
è la probabilità di dover aspettare almeno 10 lanci prima di vedere la prima
croce? b) Qual è la probabilità che l’attesa sia tra 3 e 5 lanci?
[a) 0.0046054; b) 0.25217]
Soluzione
Sia p = 1 − 0.55 = 0.45 la probabilità di avere croce e sia X la v.a. che
indica il numero di lanci che hanno dato testa prima di vedere la prima croce
che si distribuisce con legge geometrica di parametro p.
a) La probabilità di dover aspettare almeno 10 lanci è P {X ≥ 9}
Ricordiamo che la probabilità che X ≥ k con X ∼ Geom(p) è per la
mancanza della memoria della legge geometrica
P {X ≥ k} = (1 − p)k
P {X ≥ 9} = 0.559 = 0.0046054
b) Per risolvere la seconda parte dell’esercizio possiamo operare in modo
P4
classico e quindi calcolarci i=2 P {X = i} (dove ricordiamo che X conta il
numero di teste prima di ottenere croce e quindi se aspettiamo 3 lanci abbiamo
X = 2, e se aspettiamo 5 lanci abbiamo X = 4) oppure determiniamo la funzione
di ripartizione FX di X per poi calcolare FX (4)−FX (1). Optiamo per la seconda
soluzione perchè più veloce.
FX (k) = P {X ≤ k} = 1 − P {X ≥ k + 1} = 1 − (1 − p)k+1
P {2 ≤ X ≤ 4} = P {1 < X ≤ 4} = FX (4) − FX (1) = 0.552 − 0.555 = 0.25217
4
Esercizio 11 Vengono trasmessi 105 bits binari e la probabilità di errore nella
trasmissione di ogni bit è 10−3 , indipendentemente dagli altri. a) Calcolare la
probabilità che 100 bits siano errati. b) Come possiamo approssimare questa probabilità in modo tale da rendere il suo calcolo (in generale) computazionalmente
meno pesante e qual è il suo valore approssimato?
[a) 0.039881; b) 0.039861]
Soluzione
a) Sia X la v.a. che indica il numero di bits errati, questa si distribuisce con
legge Binomiale di parametri 105 e 10−3 .
5
5
10
P {X = 100} =
· (10−3 )100 · (1 − 10−3 )10 −100 = 0.039881
100
b) Per semplificare la computazione di questa probabilità possiamo fare le
seguenti considerazioni. Il numero 105 di prove è particolarmente elevato, mentre la probabilità di successo (avere un bit errato) 10−3 è molto bassa, possiamo apprissimare la binomiale con la distribuzione di Poisson di parametro
λ = p · n = 10−3 · 105 = 102 .
P {X = 100} =
100100 −100
λ100 −λ
·e =
e
= 0.039861
100!
100!
5