Esercizi Svolti di Probabilit`a - UniFI

Esercizi Svolti di Probabilità
Esercizio 1
1. Si considerino due eventi A e B. Cosa vuol dire che i due eventi sono incompatibili?
2. Quali sono gli assiomi (postulati) del calcolo delle probabilità?
3. Si considerino due eventi A e B. Cosa vuol dire che i due eventi sono indipendenti?
4. Applicazione della definizione di eventi incompatibili
Si considerino tre eventi A, B e C a due a due incompatibili e sia E l’evento A∪B ∪C.
(a) Conoscendo le probabilità di A e di B come si può determinare quella di C?
(b) Conoscendo le probabilità di A, di B e di C si può determinare quella di E?
5. Siano A Applicazione della definizione di eventi indipendenti
e B due eventi indipendenti, con P r(A) = 0.4 e P r(B) = 0.5. Quanto vale la
probabilita dell’evento unione, P r(A ∪ B)?
Soluzione
Definizione di eventi incompatibili
Due eventi A e B si dicono incompatibili se non possono verificarsi contemporaneamente,
in simboli
A e B incompatibili ⇐⇒ A ∩ B = ∅
Assiomi del calcolo delle probabilità
Sia Ω lo spazio campione di una prova e A la σ− algebra di Boole su Ω. La probabilità è
una funzione che associa ad ogni evento E ∈ A un numero reale, che si indica con P r(E)
e si legge “probabilità di E”. Tale funzione soddisfa i seguenti postulati:
Assioma 1 La probabilità di un qualsiasi evento E ⊂ Ω è un numero reale non negativo:
P r(E) ≥ 0 ∀ E ⊂ Ω
1
Assioma 2 L’evento certo Ω ha probabilità 1:
P r(Ω) = 1
Assioma 3 La probabilità di due eventi incompatibili è uguale alla somma delle probabilità dei singoli eventi:
Ei ∩ Ej = ∅ ∀ i 6= j =⇒ P r(Ei ∪ Ej ) = P r(Ei ) + P r(Ej )
Definizione di eventi indipendenti
Due eventi A e B si dicono indipendenti se
P r(A ∩ B) = P r(A) · P r(B).
Intuitivamente, due eventi A e B, inclusi in Ω (l’evento certo), si dicono indipendenti se
il verificarsi di uno dei due eventi (ad esempio il verificarsi dell’evento A) non modifica la
probabilità del verificarsi dell’altro evento (evento B).
Se A e B sono eventi indipendenti e P r(A) > 0 e P r(B) > 0, allora
P r(B|A) = P r(B) e P r(A|B) = P r(A).
Ad esempio, supponendo che si sia verificato l’evento A , per poter affermare che B e
indipendente da A dove aversi che P r(B|A) = P r(B).
Osservazione
• L’incompatibilità è una relazione tra eventi che ha come conseguenza che la probabilità dell’unione di eventi tra loro incompatibili è uguale alla somma delle singole
probabilità:
A e B eventi incompatibili =⇒ P r(A ∪ B) = P r(A) + P r(B)
A e B eventi NON incompatibili =⇒ P r(A ∪ B) = P r(A) + P r(B) − P r(A ∩ B)
• L’indipendenza è una relazione tra le probabilità degli eventi che ha come conseguenza
che la probabilità dell’intersezione di eventi tra loro indipendenti è uguale al prodotto
delle singole probabilità:
A e B eventi indipendenti =⇒ P r(A ∩ B) = P r(A) · P r(B)
A e B eventi NON indipendenti, P r(A) > 0 =⇒ P r(A ∩ B) = P r(A)P r(B|A)
Applicazione della definizione di eventi incompatibili
Siano A, B e C tre eventi a due a due incompatibili e sia E l’evento A ∪ B ∪ C.
2
Conoscendo le probabilità di A e di B come si può determinare quella di C?
Dalla condizione che A, B e C siano tre eventi a due a due incompatibili, applicando la
proprietà distributiva dell’intersezione rispetto all’unione, segue che gli eventi C e (A ∪ B)
sono incompatibili:
(A ∪ B) ∩ C = (A ∩ C) ∪ (B ∩ C) = ∅ ∪ ∅ = ∅.
Quindi per il terzo postulato del calcolo delle probabilità si ha
P r((A ∪ B) ∪ C) = P r(A ∪ B) + P r(C) = P r(A) + P r(B) + P r(C).
Da tale relazione segue che
P r(C) = P r(A ∪ B ∪ C) − P r(A) − P r(B).
Si può dunque concludere che per determinare la probabilità dell’evento C non basta
conoscere le probabilità di A e B, ma è necessario conoscere anche la probabilità dell’evento
A ∪ B ∪ C.
Conoscendo le probabilità di A, di B e di C si può determinare quella di E?
Per quanto appena dimostrato
P r(E) = P r(A ∪ B ∪ C) = P r(A) + P r(B) + P r(C)
e quindi si può concludere che si può determinare la probabilità di E se sono note le
probabilità di A, di B e di C.
Osservazione Se A, B e C fossero eventi anche necessari allora l’evento E coinciderebbe
con l’evento certo, la cui probabilità è uguale ad 1 (Assioma 2 del calcolo delle probabilità).
In tal caso anche la probabilità richiesta al punto precedente sarebbe determinabile, e
uguale a 1 − P r(A) − P r(B).
Applicazione della definizione di eventi indipendenti
Siano A e B due eventi indipendenti, con P r(A) = 0.4 e P r(B) = 0.5.
Quanto vale la probabilità dell’evento unione, P r(A ∪ B)?
Utilizzando i postulati del calcolo delle probabilità si può dimostrare che vale il seguente
teorema:
La probabilità dell’unione di due eventi qualsiasi, non necessariamente incompatibili, è
uguale alla somma delle singole probabilità meno la probabilitá della loro intersezione:
P r(A ∪ B) = P r(A) + P r(B) − P r(A ∩ B)
3
Inoltre, per definizione di eventi indipendenti, se A e B sono due eventi indipendenti, si
ha
P r(A ∩ B) = P r(A) · P r(B)
Si conclude, quindi che nell’ipotesi che A e B due eventi indipendenti,
P r(A ∪ B) = P r(A) + P r(B) − P r(A ∩ B)
= P r(A) + P r(B) − P r(A) · P r(B)
= 0.4 + 0.5 − 0.4 · 0.5 = 0.4 + 0.5 − 0.2 = 0.7
Esercizio 2
Un’urna contiene 7 palline bianche e 3 nere. Si supponga di estrarre due palline dall’urna
senza reintroduzione.
1. Calcolare la probabilità che alla seconda estrazione si verifichi una pallina nera.
2. Calcolare la probabilità che alla prima estrazione si verifichi una pallina bianca e alla
seconda estrazione una pallina nera.
Soluzione
L’esercizio ipotizza una prova rappresentata dall’estrazione da un’urna - contenente 10
palline tutte uguali tra loro eccetto per il colore (7 bianche e 3 nere) - di due palline secondo
lo schema dell’estrazione in blocco, ovvero senza reinserire la pallina estratta alla prima
prova nell’urna. Si ricorda che in questa tipologia di estrazione, la struttura probabilistica
dell’esperimento si modifica ad ogni estrazione: la prova consta infatti di due sottoprove
non indipendenti.
L’insieme dei possibili risultati (ovvero lo spazio campione Ω) di tale prova è formato
dai seguenti quattro eventi:
Ω = {(B1 ∩ B2 ), (B1 ∩ N2 )(N1 ∩ B2 )(N1 ∩ N2 )} .
Tali eventi costituiscono una partizione (non equi-probabile) di Ω aventi le seguenti probabilità:
7 6
· = 0.467
10 9
7 3
P r(B1 ∩ N2 ) = P r(B1 ) · P r(N2 |B1 ) =
· = 0.233
10 9
3 7
· = 0.233
P r(N1 ∩ B2 ) = P r(N1 ) · P r(B2 |N1 ) =
10 9
3 2
P r(N1 ∩ N2 ) = P r(N1 ) · P r(N2 |N1 ) =
· = 0.067
10 9
P r(B1 ∩ B2 ) = P r(B1 ) · P r(B2 |B1 ) =
4
Probabilità che la seconda pallina estratta sia una nera
Sia A l’evento La seconda pallina estratta è nera. L’evento A è un evento composto, definito
dall’unione degli eventi (B1 ∩ N2 ) e (N1 ∩ N2 ):
A = (B1 ∩ N2 ) ∪ (N1 ∩ N2 )
I due eventi (B1 ∩ N2 ) e (N1 ∩ N2 ) sono tra loro incompatibili, quindi per l’assioma 3 del
calcolo delle probabilità
P r(A) = P r((B1 ∩ N2 ) ∪ (N1 ∩ N2 ))
= P r(B1 ∩ N2 ) + P r(N1 ∩ N2 )
7 3
3 2
=
· +
· = 0.233 + 0.067 = 0.3
10 9 10 9
Probabilità che alla prima estrazione si verifichi una pallina bianca e alla seconda estrazione una pallina nera
Sia B l’evento La prima pallina estratta è bianca e la seconda pallina estratta è nera.
L’evento B coincide con l’evento (B1 ∩ N2 ) avente probabilità
P r(B1 ∩ N2 ) = P r(B1 ) · P r(N2 |B1 ) =
7 3
· = 0.233.
10 9
Esercizio 3
Un collettivo di 200 studenti è stato classificato secondo il corso di laurea e l’anno di corso
come segue:
Corso di Laurea
Scienze Politiche
Giurisprudenza
Anno di corso
In corso Fuori corso
50
50
40
60
Sia A l’evento “lo studente è iscritto al corso Scienze Politiche” e B l’evento “lo studente
è in corso”. Supponiamo di estrarre casualmente dal collettivo un individuo.
1. Calcolare P (B), P (A ∪ B) e P (B|A)
2. Gli eventi A e B sono eventi tra loro indipendenti? Giustificare la risposta.
3. Gli eventi A e B sono eventi tra loro incompatibili? Giustificare la risposta.
5
Soluzione
Al fine di poter effettuare una estrazione casuale di una unità statistica del collettivo si
può pensare di associare a ciascuna di esse una pallina sulla quale sono annotate “corso di
laurea” e “anno di corso”.
Le 200 palline cosı̀ costruite vengono inserite in una scatola e mescolate accuratamente.
La prova consiste nell’estrarre una sola pallina dalla scatola. In queste condizioni
ciascuna pallina ha la stessa probabilità di essere estratta.
Lo spazio campione di tale prova è formato dalle 200 palline che costituiscono una
partizione equiprobabile dello spazio, infatti
• le 200 palline rappresentano una collezione di eventi necessari: certamente una delle
200 palline (individui) viene estratta
• le 200 palline rappresentano una collezione di eventi incompatibili: ogni pallina individua univocamente un’unità
• la probabilità di estrarre una pallina è la stessa per ogni pallina e pari a 1/200
Corso di Laurea
Scienze Politiche
Giurisprudenza
Totali
Anno di corso
In corso Fuori corso
50
50
40
60
90
110
Totali
100
100
200
La probabilità di estrarre una pallina con una particolare annotazione, per esempio “studente in giurisprudenza”, si ottiene considerando tale annotazione (“studente in giurisprudenza”) come un evento composto dall’unione di un numero k (le 100 (60 + 40) palline
etichettate “studente in giurisprudenza”) di eventi incompatibili ed equi-probabili. Quindi,
la probabilità di estrarre una pallina con una particolare annotazione sarà data dalla somma
1
delle probabilità di questi k eventi equi-probabili cioè k · 200
; in altri termini la probabilità
dell’evento “essere uno studente in giurisprudenza” è 100/200 = 0.5), ovvero dal rapporto
fra il numero di casi favorevoli (le 100 palline etichettate “studente in giurisprudenza”) e
il numero di casi possibili (le 200 palline).
Dalle considerazioni esposte si può concludere che la frequenza relativa di una modalità
di un carattere può essere vista come la probabilità di un evento: quello individuato dalla
modalità fissata.
Probabilità dell’evento “lo studente è in corso”
Sia A l’evento “lo studente è iscritto al corso in Scienze Politiche” e sia B l’evento “lo
studente è in corso”. Allora
90
= 0.45
P r(B) =
200
6
Probabilità che lo studente estratto sia iscritto al corso in Scienze Politiche
oppure sia una studente in corso
L’evento di cui interessa calcolare la probabilità è identificato dall’unione degli eventi A e
B:
“lo studente è iscritto al corso in Scienze Politiche” o “lo studente è in corso”
m
“lo studente è iscritto al corso in Scienze Politiche” ∪ “lo studente è in corso”
m
A∪B
Quindi
P r(A ∪ B) = P r(A) + P r(B) − P r(A ∩ B)
100
90
50
+
−
=
200 200 200
= 0.5 + 0.45 − 0.25 = 0.7
Probabilità che uno studente in Scienze Politiche sia in corso
Interessa calcolare la probabilità che sia in corso, dato che frequenta il corso di laurea in
scienza politiche. Si tratta quindi di una probabilità condizionata:
Probabilità che uno studente in Scienze Politiche sia in corso
m
Probabilità(“lo studente è in corso” | “lo studente è iscritto al corso in Scienze Politiche”)
m
P r(B|A)
Quindi
P r(B|A) =
P r(A ∩ B)
50/200
50
=
=
= 0.5
P r(A)
100/200
100
Gli eventi A e B sono eventi tra loro indipendenti?
Se i due eventi A e B fossero eventi indipendenti, allora
P r(A ∩ B) = P r(A) · P r(B).
Nell’esempio in esame
50
= 0.25
200
100 90
·
= 0.5 · 0.45 = 0.225,
P r(A) · P r(B) =
200 200
si conclude quindi che gli eventi A e B NON sono eventi tra loro indipendenti.
P r(A ∩ B) =
7
Gli eventi A e B sono eventi tra loro incompatibili?
Se i due eventi A e B fossero eventi incompatibili,
A ∩ B = ∅.
Nell’esempio in esame l’evento A∩B = “Uno studente è iscritto al corso in scienze politiche
ed è in corso” non coincide con l’evento impossibile; ci sono studenti (esattamente 50
studenti) iscritti al corso in scienze politiche ed è in corso, quindi gli eventi A e B NON
sono eventi tra loro incompatibili. Si nota inoltre che se i due eventi A e B fossero eventi
incompatibili, allora
P r(A ∩ B) = P r(∅) = 0,
ma nel caso in esame
P r(A ∩ B) = 0.25 6= 0.
Esercizio 4
Un collettivo di 300 giovani è stato classificato secondo lo stato civile e la condizione
lavorativa come segue:
Condizione lavorativa
Lavora
non lavora
Stato civile
Celibe Coniugato
100
50
120
30
Si estrae dal collettivo casualmente un individuo. Sia A l’evento “non lavora” e B l’evento
“essere coniugato”. Calcolare:
1. P r(A)
2. P r(A ∩ B)
3. P r(A|B)
4. Gli eventi A e B sono eventi tra loro indipendenti? Giustificare la risposta.
Soluzione
Sia A l’evento “non lavora” e B l’evento “essere coniugato”.
Condizione lavorativa
Lavora
non lavora
Totale
Stato civile
Totale
Celibe Coniugato
100
50
150
120
30
150
220
80
300
8
Calcolare P r(A)
La probabilità dell’evento A è la probabilità che l’individuo estratto non lavori, quindi
P r(A) =
120 + 30
150
=
= 0.5
300
300
Calcolare P (A ∩ B)
La probabilità dell’evento A ∩ B è la probabilità che l’individuo estratto sia coniugato e
non lavori, quindi
30
P r(A ∩ B) =
= 0.1
300
Calcolare P (A|B)
La probabilità condizionata dell’evento A all’evento B è la probabilità l’individuo estratto
non lavori dato che è coniugato:
P r(A|B) =
P r(A ∩ B)
30/300
30
=
=
= 0.375
P r(B)
(50 + 30)/300
80
Gli eventi A e B sono eventi tra loro indipendenti?
Se i due eventi A e B fossero eventi indipendenti, allora
P r(A ∩ B) = P r(A) · P r(B).
Nell’esempio in esame
30
= 0.1
300
150 80
P r(A) · P r(B) =
·
= 0.5 · 0.267 = 0.133,
300 300
P r(A ∩ B) =
ovvero P r(A ∩ B) 6= P r(A) · P r(B); quindi gli eventi A, “Non lavorare”, e B, “Essere
coniugato”, NON sono eventi tra loro indipendenti.
Esercizio 5
Si considerino due eventi A e B tali che: A ∩ B = ∅ e A ∪ B = Ω, dove Ω è l’evento certo.
1. Conoscendo la probabilita di A si puo determinare quella di B?
2. Dato un evento C compatibile con A e con B per il quale sono note la P (C|A) e
P (C|B), conoscendo la P (A) si può calcolare P (C)?
9
Soluzione
Conoscendo la probabilita di A si puo determinare quella di B?
I due eventi, A e B, sono incompatibili, ossia A ∩ B = ∅, quindi utilizzando il terzo
postulato del calcolo delle probabilità si può scrivere:
P r(A ∪ B) = P r(A) + P r(B)
I due eventi, A e B, sono anche necessari, ossia A ∪ B = Ω, quindi il secondo postulato del
calcolo delle probabilità
P r(A ∪ B) = P r(Ω) = 1.
Per la proprietà transitiva della relazione di uguaglianza si conclude che
1 = P r(Ω) = P r(A ∪ B) = P r(A) + P r(B),
da cui segue che
P r(B) = 1 − P r(A).
Dato un evento C compatibile con A e con B per il quale sono note la P (C|A)
e P (C|B), conoscendo la P (A) si può calcolare P (C)?
Osserviamo innanzitutto che, conoscendo la probabilità di A per quanto sopra dimostrato,
si può determinare la probabilità di B. Inoltre dalle caratteristiche degli eventi dati si può
scrivere:
C = C ∩ Ω = C ∩ (A ∪ B) = (C ∩ A) ∪ (C ∩ B),
dove gli eventi (C ∩ A) e (C ∩ B) sono incompatibili. Infatti essendo A e B eventi incompatibili
(C ∩ A) ∩ (C ∩ B) = (A ∩ B) ∩ (C ∩ C) == (A ∩ B) ∩ C = ∅ ∩ C = ∅.
Quindi per il terzo postulato del calcolo delle probabilità e dalla definizione di probabilita
condizionata si ottine
P r(C) = P r ((C ∩ A) ∪ (C ∩ B)) = P r(C ∩ A) + P r(C ∩ B)
= P r(C|A) · P r(A) + P r(C|B) · P r(B)
= P r(C|A) · P r(A) + P r(C|B) · (1 − P r(A)).
Tale risultato lo si poteva ottenere come diretta applicazione del teorema delle probabilità totali:
Teorema delle probabilità totali Sia E1 , E2 , . . . una partizione di eventi di Ω. Per ogni
evento A ⊂ Ω, si ha
∞
X
P r(A) =
P r(A|Ei ) · P r(Ei ).
i=1
10
Esercizio 6
Si considerino tre eventi A , B , e C necessari ed incompatibili e si indichi con E un altro
evento dello stesso spazio campionario. Si supponga che siano note le probabilità degli
eventi A, B, e C e le probabilità condizionate P r(E|A), P r(E|B) e P r(E|C).
1. Calcolare la probabilità di A ∩ E
2. Calcolare la probabilità di E
3. Calcolare la probabilità di B ∩ E
Soluzione
Probabilità di A ∩ E
Dalla definizione di probabilità condizionata segue che
P r(E|A) =
P r(E ∩ A)
⇐⇒ P r(E ∩ A) = P r(E|A) · P r(A)
P r(A)
Probabilità di E
Gli eventi A , B , e C sono necessari, ovvero A ∪ B ∪ C = Ω, dove Ω è l’evento certo.
Quindi
P r(A ∪ B ∪ C) = P r(Ω) = 1.
Inoltre si può scrivere
E = E ∩ Ω = E ∩ (A ∪ B ∪ C) = (E ∩ A) ∪ (E ∩ B) ∪ (E ∩ C).
Poiché gli eventi A , B , e C sono a due a due incompatibili, anche gli eventi (E ∩ A),
(E ∩ B) e (E ∩ C) sono a due a due incompatibili:
(E ∩ A) ∩ (E ∩ B) = E ∩ E ∩ (A ∩ B) = E ∩ ∅ = ∅
(E ∩ A) ∩ (E ∩ C) = E ∩ E ∩ (A ∩ C) = E ∩ ∅ = ∅
(E ∩ B) ∩ (E ∩ C) = E ∩ E ∩ (B ∩ C) = E ∩ ∅ = ∅
Quindi, dal terzo postulato del calcolo delle probabilità, si ottiene
P r(E) = P r(E ∩ A) + P r(E ∩ B) + P r(E ∩ C)
= P r(E|A) · P r(A) + P r(E|B) · P r(B) + P r(E|C) · P r(C)
Tale risultato rappresenta un caso particolare del teorema delle probabilità totali.
11
Probabilità di B ∩ E
Avendo determinato la probabilità di E
P r(B|E) =
P r(B ∩ E)
P r(B) · P r(E|B)
=
P r(E)
P r(E)
Tale risultato rappresenta un caso particolare del teorema di Bayes:
Teorema di Bayes Sia H1 , H2 , . . . Hm una partizione di eventi di Ω. Per ogni evento
E ⊂ Ω, si ha
P r(Hi ) · P r(E|Hi )
P r(Hi |E) = Pm
.
j=1 P r(Hj ) · P r(E|Hj )
Esercizio 7
In un ufficio le pratiche relative ad una certa procedura amministrativa vengono affidate
casualmente a tre impiegati di seguito indicati con A, B, e C. La probabilità che una pratica
venga completata entro una settimana per ciascun impiegato è indicata nella tabella che
segue:
Impiegato
Probabilità
A
B
0.4 0.8
C
0.3
Avendo ricevuto una pratica espletata entro una settimana qual è la probabilità che sia
stata affidata all’impiegato B?
Soluzione
Si definiscono i seguenti eventi:
S
A
B
C
=
=
=
=
{la
{la
{la
{la
pratica
pratica
pratica
pratica
è
è
è
è
completata entro una settimana}
affidata all’impiegato A}
affidata all’impiegato B}
affidata all’impiegato C}
Dai dati del problema, poiché la pratica viene affidata casualmente ad uno dei tre impiegati,
si ha
1
P r(A) = P r(B) = P r(C) = .
3
Inoltre,
P r(S|A) = 0.4
P r(S|B) = 0.8
P r(S|C) = 0.3.
12
Per rispondere alla domanda si deve calcolare P r(B|S). Utilizzando il teorema di Bayes
si ha:
P r(B|S) =
P r(B) · P r(S|B)
P r(B) · P r(S|B)
=
P r(S)
P r(A) · P r(S|A) + P r(B) · P r(S|B) + P r(C) · P r(S|C)
dove l’ultima uguaglianza segue dal teorema delle probabilità totali.
Calcoliamo anzitutto il denominatore della precedente espressione, ovvero P r(S)
P r(S) = P r(A) · P r(S|A) + P r(B) · P r(S|B) + P r(C) · P r(S|C)
1
1
1
=
· 0.4 + · 0.8 + · 0.3
3
3
3
1
=
· (0.4 + 0.8 + 0.3)
3
1
=
· 1.5.
3
Quindi
P r(B) · P r(S|B)
=
P r(S)
P r(B|S) =
1
3
1
3
· 0.8
= 0.533.
· 1.5
Esercizio 8
Si consideri la variabile casuale X i cui valori e rispettive probabilità sono indicati di
seguito:
X
Probabilità (P)
1
2
3
4
5
6
0.09 0.11 0.3 0.2 0.18 0.12
1. Costruire la funzione di ripartizione di X e rappresentarla graficamente
2. Calcolare P r(2 < X ≤ 5)
3. Determinare X0 : P (X ≤ X0 ) = 0.5.
Soluzione
La variabile casuale X è una v.c. discreta avente come supporto l’insieme finito SX =
{1, 2, 3, 4, 5, 6}. Si nota che
P r(X = xi ) ≥ 0 ∀xi ∈ SX
e
6
X
P r(X = xi ) = 0.09+0.11+0.3+0.2+0.18+0.12 = 1,
i=1
quindi la v.c. X è ben definita. Il grafico a sinistra nella figura sotto riportata rappresenta
la sua funzione di massa di probabibilitá, P r(X = xi ), i = 1, . . . , 6.
13
Costruire la funzione di ripartizione di X e rappresentarla graficamente
La funzione di ripartizione F (x0 ) di una v.c. X, calcolata in un punto x0 è definita dalla
seguente relazione:
F (x0 ) = P r(X ≤ x0 ).
In particolare, per una v.c. X discreta
F (x0 ) = P r(X ≤ x0 ) =
X
P r(X ≤ x0 ).
x≤x0
Quindi, per la v.c. X in esame









 0.09 + 0.11
0.09 + 0.11 + 0.3
F (x) =


0.09 + 0.11 + 0.3 + 0.2




0.09 + 0.11 + 0.3 + 0.2 + 0.18



0.09 + 0.11 + 0.3 + 0.2 + 0.18 + 0.12
=
=
=
=
=
0.20 + 0.3
0.50 + 0.2
0.70 + 0.18
0.88 + 0.12
=
=
=
=
0
0.09
0.20
0.50
0.70
0.88
1
se
se
se
se
se
se
se
x<1
1≤x<2
2≤x<3
3≤x<4
4≤x<5
5≤x<6
x≥6
In sintesi:
X
P r(X = x)
P r(X ≤ x)
1
2
3
4
5
6
0.09 0.11 0.3 0.2 0.18 0.12
0.09 0.20 0.5 0.70 0.88
1
Si nota che la funzione di ripartizione costruita soddisfa le seguenti proprietà:
• F (x) è non decrescente, ovvero x1 < x2 =⇒ F (x1 ) ≤ F (x2 );
• limx→−∞ F (x) = 0 e limx→+∞ F (x) = 1
• F (x) è continua a destra, ossia limx→x+0 F (x) = F (x0 )
La funzione di ripartizione di una v.c. X discreta è una funzione a gradini che è costante su
intervalli dell’asse reale e cresce un numero (finito o numerabile) di volte in corrispondenza
dei valori x1 , . . . , xi , . . . assunti dalla v.c. X: il gradino ha un’altezza pari alle probabilità
P r(x = x1 ), . . . , P r(X = xi ), . . . con le quali la v.c. assume quei valori.
Nell’esempio in esame la funzione di ripartizione di X è una funzione a gradini che è
costante su intervalli dell’asse reale e cresce un numero finito () di volta in corrispondenza
dei valori x1 = 1, . . . , x6 = 6 assunti dalla v.c. X: il gradino ha un’altezza pari alle
probabilità P r(x = 1) = 0.09, . . . , P r(X = 6) = 0.12, . . . con le quali la v.c. assume quei
valori.
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Funzione di ripartizione di X
0.0
0.10
0.2
0.15
0.4
F(x)
0.20
Pr(X=x)
0.6
0.25
0.8
1.0
0.30
Funzione di massa di probabilità di X
1
2
3
4
5
6
0
1
x
2
3
4
5
6
7
x
Calcolare P r(2 < X ≤ 5)
P r(2 < X ≤ 5) = P r({X = 3} ∪ {X = 4}{X = 5})
= P r(X = 3) + P r(X = 4) + P r(X = 5)
= 0.3 + 0.2 + 0.18 = 0.68
ovvero
P r(2 < X ≤ 5) = F (5) − F (2) = 0.88 − 0.20 = 0.68
Si ricorda che, per ogni x0 ∈ R,
P r(X = x0 ) = P r(x0 < X ≤ x0 ) = lim+ −F (x0 ) = F (x+
0 ) − F (x0 )
x→x0
Nel caso di v.c. discrete, essendo la funzione di ripartizione F una funzione a gradini, la
+
differenza F (x+
0 ) − F (x0 ) può non essere nulla. In particolare, la differenza F (x0 ) − F (x0 )
non è nulla nei punti di discontinuità di F coincidenti con il supporto della v.c.. In tali
punti, la differenza F (x+
0 ) − F (x0 ) è proprio la probabilità che la v.c. assuma il valore x0 .
In tutti gli altri punti, non appartenenti al supporto di X, tale differenza è zero.
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Determinare X0 : P (X ≤ X0 ) = 0.5
Determinare X0 : P (X ≤ X0 ) = 0.5 equivale a determinare la mediana della v.c. discreta
X. Dalla funzione di ripartizione sopra scritta si vede immediatamente che per 3 ≤ x < 4
P (X ≤ x) = 0.50,
quindi x0 = 3.
Osservazione
In generale si ricorda che il quantile di ordine p, p ∈ (0, 1), di una v.c. X è quel valore xp
definito da
P r(X ≤ xp ) ≥ p
e
P r(X ≥ xp ) ≤ 1 − p.
La mediana è un particolare quantile: il quantile di ordine p = 0.5.
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