Esempio: Disegnare il grafico della parabola di equazione 3 2 + +

Esempio: Disegnare il grafico della parabola di equazione y = − x 2 + 2 x + 3 .
1. Dall’equazione della parabola ricavo i valori dei coefficienti: a = −1 , b = 2 , c = 3 .
(poiché a < 0 la parabola ha la concavità verso il basso)
2. Calcolo il discriminante ∆ = b 2 − 4ac = (2) 2 − 4(−1)(3) = 4 + 12 = 16 .
(poiché ∆ > 0 la parabola ha due intersezioni con l’asse x)
3. La posizione dell’asse di simmetria è
x=−
b
2
=−
= 1.
2a
2(−1)
Traccio sul grafico l’asse di simmetria tratteggiando una retta
parallela all’asse y nella posizione x = 1 .
4. Il valore x = 1 è anche l’ascissa del vetrice (che si trova sempre sull’asse di simmetria).
Per calcolare l’ordinata del vertice posso seguire uno dei due
metodi:
∆
16
· Utilizzo la formula yV = −
=−
=4
4a
4(−1)
· Sostituisco il valore di x = 1 nell’equazione della parabola
yV = −(1) 2 + 2(1) + 3 = 4
Quindi il vertice ha coordinate V=(1 ; 4).
Disegno il vertice sul grafico.
5. La parabola interseca l’asse y nel punto di ordinata c = 3 .
Disegno sul grafico il punto A(0 ; 3).
Disegno anche il punto simmetrico rispetto all’asse della parabola
A1(2 ; 3).
6. Poiché ∆ > 0 calcolo le intersezioni con l’asse x utilizzando la
formula risolutiva dell’equazione di 2° grado:
− b ± ∆ − (2) ± 16 − 2 ± 4
x1, 2 =
=
=
da cui
2a
2(−1)
−2
−2+4
−2−4
x1 =
= −1 e x 2 =
= 3.
−2
−2
Disegno sul grafico i punti B(−1 ; 0) e C(3 ; 0).
Controllo che siano simmetrici rispetto all’asse della parabola.
7. I punti sono sufficienti per disegnare la parabola con la precisione
richiesta?
In questo caso preferisco calcolare altri punti.
Scelgo di calcolare il punto di ascissa x = 4 .
Sostituisco nell’equazione della parabola:
y = −(4) 2 + 2(4) + 3 = −16 + 8 + 3 = −5 (*).
Disegno sul grafico il punto di coordinate D(4 ; −5)
Disegno anche il punto simmetrico rispetto all’asse della parabola
D1(−2 ; −5).
(*) Per calcolare i punti si può anche utilizzare una tabella come fatto con la retta.
In questo caso ho calcolato i valori:
x
y = −x 2 + 2x + 3
Vertice
1
− (1) 2 + 2(1) + 3 = 4
Punto A
0
− (0) 2 + 2(0) + 3 = 3
Punto D
4
− (4) 2 + 2(4) + 3 = −5
8. Ritengo di avere sufficienti punti, li unisco con una curva.