Simulazione matematica 1 esami di stato

LICEO SCIENTIFICO STATALE G.GALILEI – CATANIA – A.S. 2006/2007
SIMULAZIONE DI II PROVA - A
Tempo a disposizione: cinque ore
E’ consentito l’uso della calcolatrice non programmabile.
Non è consentito uscire dall’aula prima di due ore dall’inizio della prova.
Il candidato risolva uno dei due problemi e 5 dei 10 quesiti in cui si articola il questionario.
PROBLEMA 1
L'equazione y = ax 2 + bx + c rappresenta in un sistema di coordinate cartesiane ortogonali delle
parabole con asse parallelo all'asse delle y.
a) determinare in funzione del coefficiente a, i coefficienti b e c che individuano la famiglia Γ
delle parabole passanti per i punti A(1;1) e B(2;0).
b) Determinare e rappresentare nel piano cartesiano il luogo dei vertici delle parabole
della famiglia Γ .
c) Calcolare l’area della parte finita di piano compresa tra la retta y=2 e la curva α precedentemente
rappresentata.
d) Trovare le due parabole γ 1 e γ 2 della famiglia Γ aventi vertici rispettivamente in A e in B.
e) calcolare il rapporto tra l'area S della regione di piano racchiusa tra le due parabole γ 1 e γ 2 e
l'area R del quadrilatero determinato dalle tangenti in A e in B alle due parabole.
Simulazione matematica
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f) Calcolare il volume del solido che si ottiene ruotando attorno all'asse delle x la superficie
delimitata, oltre che dall'asse x stesso, dall'arco OA (essendo O l'origine degli assi cartesiani)
della parabola γ 1 e dall'arco AB della parabola γ 2 .
PROBLEMA 2
Se il polinomio f(x) si divide per ( x − 1) 2 si ottiene x come quoziente e
−x
come resto.
a) Determinare f(x).
f ( x)
e disegnarne il grafico G in un piano riferito ad un sistema
( x − 1) 2
di assi cartesiani ortogonali (Oxy).
b) Studiare la funzione y =
c) Per il punto P di G avente ascissa 2 condurre l’equazione della retta t tangente a G e
l’equazione della retta s parallela all’asintoto obliquo di G.
d) Determinare l’area del triangolo PQR essendo Q l’ulteriore punto di intersezione tra t e G ed
R l’ulteriore punto di intersezione tra s e G.
e) Calcolare l’area della parte finita di piano compresa tra l’asintoto obliquo, la curva G , e le
rette x=2 e x=3.
f) Dopo aver determinato la parabola di vertice P e asse di simmetria coincidente con l’asse x e
passante per il punto T di intersezione tra i due asintoti, calcolare il volume del solido
ottenuto facendo ruotare l’arco di parabola PT intorno all’asse x.
QUESTIONARIO
1) Determinare i parametri a e b della funzione y =
obliquo la retta y = 3 − x .
ax 2 + x − 3
affinché abbia come asintoto
bx + 1
2) La parabola di equazione 9 y = 2 x 2 interseca la circonferenza x 2 + y 2 = 100 in due punti A e B.
AB e
Determinare il volume che si ottiene ruotando la superficie delimitata dal minore degli archi p
dalla parabola attorno all’asse y.
1
3) Sapendo che
∫
0
⎛ x⎞
f ⎜ ⎟ dx = 5 e
⎝2⎠
2
∫
0
⎛ x⎞
f ⎜ ⎟ dx = 7 dire se è possibile calcolare
⎝2⎠
1
∫ f ( x ) dx
e, in caso
1
2
affermativo, calcolarlo.
4) Determinare il numero delle soluzioni reali dell’equazione x − 2 x 2 + e x = 0 e trovare un intervallo
che le contiene.
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0 ≤ x ≤1
⎧x
⎪
5) Data la funzione f ( x ) = ⎨ 1
⎪⎩ x a
con a > 1 , stabilire per quali valori di a
x >1
+∞
risulta
∫ f ( x ) dx = 1 .
0
6) Due sfere S1 e S2 sono rispettivamente inscritta e circoscritta ad un cubo di lato l ; qual è il
rapporto A fra le due superfici e quello B fra i volumi di S1 e S2 ?
7) Su una funzione f ( x ) si hanno le seguenti informazioni:
f "( x ) =
Qual è l’espressione di f ( x ) ?
x −1
x
f ' (1) = 0
f (1) =
1
.
2
8) Qual è il valore di x ∈ ` per il quale x ! = 2 ⋅ ( x − 2 ) !
1 1
9) Considerata la funzione f ( x ) = + 2
x x
x
∫ ( sent − 1)dt , calcolare il seguente limite: lim f ( x )
0
x →0
2n − 3
, verificare che si tratta di una
2
successione crescente e determinare il più piccolo valore di n per il quale risulta an ≥ 104
10) Considerata la successione il cui termine generale è an =
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LICEO SCIENTIFICO STATALE G.GALILEI – CATANIA – A.S. 2006/2007
SIMULAZIONE DI II PROVA - B
Tempo a disposizione: cinque ore
E’ consentito l’uso della calcolatrice non programmabile.
Non è consentito uscire dall’aula prima di due ore dall’inizio della prova.
Il candidato risolva uno dei due problemi e 5 dei 10 quesiti in cui si articola il questionario.
PROBLEMA 1
L'equazione y = ax 2 + bx + c rappresenta in un sistema di coordinate cartesiane ortogonali delle
parabole con asse parallelo all'asse delle y.
a) determinare in funzione del coefficiente a, i coefficienti b e c che individuano la famiglia Γ
delle parabole passanti per i punti A(-1;1) e B(-2;0).
b) Determinare e rappresentare nel piano cartesiano il luogo α dei vertici delle parabole
della famiglia Γ .
c) Calcolare l’area della parte finita di piano compresa tra la retta y=2 e la curva α precedentemente
rappresentata.
d) Trovare le due parabole γ 1 e γ 2 della famiglia Γ aventi vertici rispettivamente in A e in B.
e) calcolare il rapporto tra l'area S della regione di piano racchiusa tra le due parabole γ 1 e γ 2 e
l'area R del quadrilatero determinato dalle tangenti in A e in B alle due parabole.
f) Calcolare il volume del solido che si ottiene ruotando attorno all'asse delle x la superficie
delimitata, oltre che dall'asse x stesso, dall'arco OA (essendo O l'origine degli assi cartesiani)
della parabola γ 1 e dall'arco AB della parabola γ 2 .
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PROBLEMA 2
Se il polinomio f(x) si divide per ( x + 1) 2 si ottiene x come quoziente e
− x come resto.
a) Determinare f(x).
f ( x)
e disegnarne il grafico G in un piano riferito ad un sistema
( x + 1) 2
di assi cartesiani ortogonali (Oxy).
b) Studiare la funzione y =
c) Per il punto P di G avente ascissa (-2) condurre l’equazione della retta t tangente a G e
l’equazione della retta s parallela all’asintoto obliquo di G.
d) Determinare l’area del triangolo PQR essendo Q l’ulteriore punto di intersezione tra t e G ed
R l’ulteriore punto di intersezione tra s e G.
e) Calcolare l’area della parte finita di piano (collocata nel primo quadrante) compresa tra
l’asintoto obliquo, la curva G, e la retta x=3.
f) Dopo aver determinato la parabola di vertice P e asse di simmetria coincidente con l’asse x e
passante per il punto T di intersezione tra i due asintoti, calcolare il volume del solido
ottenuto facendo ruotare l’arco di parabola PT intorno all’asse x.
QUESTIONARIO
1) Data l’equazione y = x 3 + x 2 + bx + a determinare a e b in modo che la funzione che essa
rappresenta passi per A (0,-1) ed abbia in questo punto tangente parallela alla retta
y = 2 x .Successivamente determinare la tangente alla funzione trovata nel suo punto di intersezione
con la parabola y = x 2 + 2 x .
2) Sul diametro AB di una circonferenza di raggio r è costruito un trapezio rettangolo in modo che
AB è la sua base maggiore mentre la base minore CD è contenuta in una delle due tangenti alla
circonferenza parallela ad AB. Determinare il volume del solido generato dal trapezio quando esso
ruota attorno alla base maggiore.
3) Sia f(x) una funzione di variabile reale, continua su tutto l’asse reale, tale che:
1
∫
2
f ( x)dx = 2 e
0
∫ f ( x)dx = −5.
(1)
0
⎛ x⎞
Di ciascuno dei seguenti integrali: ∫ f ⎜ ⎟dx, ∫ f (2 x)dx, dire se le condizioni (1) sono
⎝2⎠
0
0
sufficienti per calcolarne il valore e in caso di risposta affermativa qual è questo.
2
1
4) Dato il moto rettilineo di equazione s = 2t 5 − 160t 2 + t − 1 trovare in quale istante l’accelerazione
è nulla.
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5) Determinare per quali valori di k la funzione y =
x3
ha per punti stazionari soltanto dei
x 2 + kx + 1
flessi.
6) Una piramide è divisa da un piano parallelo alla base in due parti: una piramide e un tronco di
piramide. Il piano sezione divide l’altezza della piramide in due parti, di cui quella che contiene il
vertice della piramide è doppia dell’altra. Stabilire se i dati sono o no sufficienti per calcolare il
rapporto fra il volume della piramide recisa e quello del tronco di piramide e in caso affermativo
calcolare tale rapporto.
7) Sia f(x) una funzione reale di variabile reale. Si sa che:
• f(x) è derivabile su tutto l’asse reale;
• f(x)=0 solo per x=0;
• f(x) → 0 per x → ∞ ;
• f’(x)=0 soltanto per x=-2 e x=1;
• f(-2)=1 ed f(1)=-2.
Dire, dandone esauriente spiegazione, se le informazioni suddette sono sufficienti per
determinare gli intervalli in cui la funzione è definita, quelli in cui è continua, quelli in cui è
positiva, quelli in cui è negativa, quelli in cui cresce, quelli in cui decresce. Si può dire
qualcosa circa i flessi di f(x)?
8) Calcola l’area della regione illimitata di piano compresa tra la curva di equazione y =
x2
, il
1− x
suo asintoto verticale e l’asse delle ascisse.
x
∫ ( sent − t ) dt
9) Calcolare il seguente limite: lim
x →0
0
x2
10) Stabilisci per quale valore del parametro k la funzione f ( x ) =
−
x+k
ha valore medio uguale a
x2 − 4
ln 48
nell’intervallo [ 0;1] .
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