Parabola. Risoluzione grafica disequazione II grado.

La parabola è una particolare conica definita come
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è una curva aperta, nel senso che non può essere contenuta in alcuna superficie
finita del piano;
è simmetrica rispetto ad una retta, detta ASSE della parabola, che è
perpendicolare alla direttrice, passa per il fuoco e interseca la parabola in un
punto detto VERTICE;
“si allarga indefinitamente”, nel senso che qualunque retta parallela all’asse di
simmetria la interseca in uno ed uno solo punto;
volge la concavità sempre dalla stessa parte.
Una parabola è il luogo dei punti Pi equidistanti tra il punto F (fuoco) e la retta L(direttrice). Nel
disegno, i segmenti FPi e PiQi hanno la stessa lunghezza (per i=1,2,3.. ).
Fissando nel piano della parabola un sistema di assi cartesiani con asse delle ascisse
parallelo alla direttrice, e quindi asse di simmetria parallelo all’asse delle ordinate,
l’equazione della curva suddetta è quella di una funzione quadratica, cioè di una
funzione polinomiale di II grado: y=ax2+bx+c.
I coefficienti a, b e c del trinomio di II grado a secondo membro dell’equazione esplicita
soprascritta sono legati alle caratteristiche geometrico-grafiche della parabola:
1.
il verso cui è rivolta la concavità (detta anche apertura) dipende dal
valore di a: verso l’alto (ordinate crescenti) se a>0, verso il basso (ordinate
decrescenti) se a<0;
2.
la posizione dell’asse di simmetria nel piano cartesiano dipende da a e
b: l’equazione di tale retta parallela all’asse y è
;
3.
l’ascissa del vertice dipende da a e b: il suo valore si può ottenere
utilizzando la relazione
;
4.
l’ordinata del vertice dipende da a, b e c e si può ottenere utilizzando la
relazione
5.
il punto d’intersezione della parabola con l’asse y dipende da c: il
valore dell’ordinata di tale punto è proprio c;
6.
la mutua posizione di parabola e asse x dipende da a, b e c, più
precisamente dalla loro combinazione espressa dal cosiddetto discriminante
: se ∆>0 l’asse x è secante rispetto alla parabola, se ∆=0 l’asse x è
tangente rispetto alla parabola, se ∆<0 l’asse x è esterno alla parabola.
Data l’equazione di una parabola, per esempio y = x2–2x–3, per tracciarne il grafico
approssimato si può procedere nel modo seguente:
•
determinare il valore dell’ascissa del vertice utilizzando la relazione 3.
soprascritta, che nel caso in esame fornisce
•
determinare il valore dell’ordinata utilizzando l’equazione stessa della parabola
con la sostituzione alla variabile x del valore per xV trovato al punto precedente:
yV = 12–2·1–3 = –4; è possibile anche utilizzare la relazione 4. del precedente
elenco, che applicata al caso in esame diventa
•
disegnare l’asse di simmetria tracciando una retta verticale passante per il vertice,
la cui equazione sarà quella indicata al punto 2. del precedente elenco;
•
individuare le coordinate di un altro punto fissando a piacere l’ascissa, cioè
assegnando un valore arbitrario alla variabile x, e determinando la rispettiva
ordinata procedendo per sostituzione nell’equazione della parabola;
•
individuare graficamente il punto simmetrico, rispetto all’asse, di quello
precedentemente trovato;
•
ripetere gli ultimi due passaggi più volte a seconda del grado di approssimazione
con cui si vuole tracciare la curva.
vertice: V(1,–4)
asse di simmetria: x = 1
RISOLUZIONE GRAFICA DI UNA DISEQUAZIONE DI II GRADO
Ricordando che:
2
i.tutti i punti della parabola di equazione y=ax +bx+c hanno coordinate della
forma (x;ax2+bx+c): le loro ordinate, infatti, si ottengono sostituendo alla
variabile x i valori numerici scelti per le ascisse;
2
ii.quando si risolve una disequazione di II grado quale ax +bx+c>0 si cercano quei
valori reali che, sostituiti alla variabile x nell’espressione a primo membro,
danno un risultato positivo;
si deduce che per risolvere una disequazione di II grado del tipo ax2+bx+c>0 (o
ax2+bx+c<0) è possibile procedere graficamente nel modo seguente:
1. disegnando la parabola grafico dell’equazione y=ax2+bx+c,
2. individuando tutti quei valori di ascissa dei punti della parabola che hanno
ordinata positiva (o negativa).
Le situazioni che si possono presentare sono le seguenti:
dove con x1 e x2 sono stati indicati i valori delle ascisse dei punti (eventualmente
coincidenti) in cui la parabola interseca l’asse x, detti anche ZERI della funzione
quadratica.
La dimostrazione analitica dei vari casi sopra riportati si ottiene usando la seguente
fattorizzazione:
y=ax2+bx+c = a(x-x1)(x-x2) dove x1 , x2 sono le soluzioni dell’equazione associata
ax2+bx+c= 0
detti anche zeri della funzione quadratica come è stato fatto nella Dispensa n.1.
I diversi casi dipendono dai seguenti elementi:
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il segno del coefficiente a, che determina se la parabola associata alla
disequazione rivolge la concavità verso l’alto (a>0) o verso il basso (a<0);
il segno del discriminante ∆ che determina se il trinomio ha due zeri reali e
distinti (∆>0), due zeri reali coincidenti (∆ =0) oppure nessuno zero reale
(∆<0);
il simbolo di disuguaglianza > o < che determina quali punti della parabola si
devono prendere in considerazione per individuare le soluzioni: quelli con
ordinata positiva se compare il simbolo >, quelli con ordinata negativa se
compare il simbolo <.
Considerando il caso a>0, sono qui di seguito rappresentate tutte le situazioni possibili: