come disegnare una parabola - TED
Transcript
come disegnare una parabola - TED
COME DISEGNARE UNA PARABOLA Come possiamo disegnare una parabola dalla conoscenza della sua equazione y = ax 2 + bx + c ? Innanzitutto dobbiamo ricavare le coordinate di alcuni punti particolari della parabola, posizionarli nel piano cartesiano e unirli poi con una linea arrotondata. I passi da seguire sono i seguenti: ∆ b ;− 1. calcolare le coordinate del vertice con le formule V − 4a 2a 2. calcolare le coordinate delle eventuali 2 intersezioni A e B tra la parabola e l’asse delle ascisse risolvendo il sistema delle loro equazioni: y = 0 y = ax 2 + bx + c 3. calcolare le coordinate del punto di intersezione C tra la parabola e l’asse delle ordinate risolvendo il sistema delle loro equazioni: x = 0 y = ax 2 + bx + c 4. posizionare il punto C’ simmetrico del punto C rispetto all’asse di simmetria della parabola 5. calcolare le coordinate di eventuali altri punti dando diversi valori ad x e calcolando dall’equazione della parabola i corrispondenti valori di y 6. posizionare i punti ottenuti nel piano cartesiano e unirli con una linea arrotondata I punti 1-2-3-4-6 sono SEMPRE da eseguire, il punto 5 serve per dare al disegno una precisione migliore. ………………………………………………………………………………………………………………. ESEMPIO: disegniamo la parabola di equazione y = x 2 − 6 x + 8 xV = − 1. Calcolo del vertice V: yV = − −6 b =− =3 2a 2 ⋅1 2 ∆ b − 4ac 36 − 32 =− =− = −1 4a 4a 4 2. Calcolo di A e B, intersezioni con l’asse delle ascisse: y=0 y = x 2 − 6 x + 8 quindi → x 2 − 6x + 8 = 0 Risolviamo l’equazione di 2° grado: 4 =2 − b ± b − 4ac 6 ± 36 − 32 6 ± 2 2 = = = = 8 2a 2 2 x2 = = 4 2 x1 = 2 x1,2 Abbiamo quindi 2 punti di intersezione: A ( 2 ; 0) e B ( 4 ; 0) Disegnare una parabola pag.1 di 1 Vertice → V ( 3 ; -1) 3. Calcolo di C, intersezione con l’asse delle ordinate: x=0 y = x 2 − 6 x + 8 quindi → punto C → C ( 0 ; 8) y =8 4. punto C’ simmetrico del punto C rispetto all’asse di simmetria della parabola L’asse di simmetria ha equazione x = 3 , inoltre x C = 0 per simmetria quindi avremo x C' = 3 + 3 = 6 e y C' = y C = 8 quindi C’ ( 6 ; 8) 5. per il momento non calcoliamo altri punti 6. ora viene il momento finale: riportare i cinque punti ottenuti nel piano cartesiano e unirli con una linea arrotondata. V ( 3 ; -1) A ( 2 ; 0) B ( 4 ; 0) C ( 0 ; 8) C’ ( 6 ; 8) grafico ottenuto y x 0 2 3 4 6 y = x 2 − 6x + 8 9 8 y 8 0 -1 0 8 7 6 5 4 3 2 1 0 -2 -1 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 -2 -3 -4 Il calcolo di altri punti può migliorare la precisione del grafico. Ad esempio : x =1 y = x 2 − 6 x + 8 quindi → x =5 y = x 2 − 6 x + 8 quindi → punto D → D(1;3) y =1− 6 + 8 = 3 punto D' → D’ ( 5 ; 3 ) y = 25 − 30 + 8 = 3 Nella pagina seguente vediamo come sia migliorato il grafico con l’aggiunta dei punti D e D’ Disegnare una parabola pag.2 di 2 x TABELLA E GRAFICO SENZA I PUNTI D E D’ grafico ottenuto y x 0 2 3 4 6 9 y 8 0 -1 0 8 8 7 6 5 4 3 2 1 0 -2 -1 -1 0 1 2 3 4 5 6 x 7 -2 -3 -4 TABELLA E GRAFICO CON I PUNTI D E D’ x 0 1 2 3 4 5 6 y 8 3 0 -1 0 3 8 grafico ottenuto y 9 8 7 6 5 4 3 2 1 0 -2 -1 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 x -2 -3 -4 è abbastanza evidente che posizionando un maggior numero di punti si otterranno grafici sempre più accurati. Questo è proprio il modo in cui dei software come Excel o Derive procedono per costruire dei grafici precisi. Il programma calcola in tempi brevissimi un numero enorme di punti e li unisce tracciando il grafico con precisione. Nella pagina seguente è riportato il grafico tracciato da Derive 5 Disegnare una parabola pag.3 di 3 GRAFICO TRACCIATO CON DERIVE 5 y = x 2 − 6x + 8 ………………………………………………………………………………………………………………. Esercizi per lo studente diligente Tracciare nel piano cartesiano i grafici delle seguenti parabole: a) y = − x 2 + 6 x − 8 b) y = x 2 − 5 x + 6 c) y = − x 2 + 5 x − 6 d) y = x 2 − 2 x e) y = − x 2 + 2 x f) y = x2 +1 ………………………………………………………………………………………………………………. Disegnare una parabola pag.4 di 4