come disegnare una parabola - TED

Commenti

Transcript

come disegnare una parabola - TED
COME DISEGNARE UNA PARABOLA
Come possiamo disegnare una parabola dalla conoscenza della sua equazione y = ax 2 + bx + c ?
Innanzitutto dobbiamo ricavare le coordinate di alcuni punti particolari della parabola, posizionarli nel
piano cartesiano e unirli poi con una linea arrotondata. I passi da seguire sono i seguenti:
∆
 b
;− 
1. calcolare le coordinate del vertice con le formule V  −
4a 
 2a
2. calcolare le coordinate delle eventuali 2 intersezioni A e B tra la parabola e l’asse delle ascisse
risolvendo il sistema delle loro equazioni:
 y = 0

 y = ax 2 + bx + c
3. calcolare le coordinate del punto di intersezione C tra la parabola e l’asse delle ordinate
risolvendo il sistema delle loro equazioni:
 x = 0

 y = ax 2 + bx + c
4. posizionare il punto C’ simmetrico del punto C rispetto all’asse di simmetria della parabola
5. calcolare le coordinate di eventuali altri punti dando diversi valori ad x e calcolando
dall’equazione della parabola i corrispondenti valori di y
6. posizionare i punti ottenuti nel piano cartesiano e unirli con una linea arrotondata
I punti 1-2-3-4-6 sono SEMPRE da eseguire, il punto 5 serve per dare al disegno una precisione migliore.
……………………………………………………………………………………………………………….
ESEMPIO: disegniamo la parabola di equazione y = x 2 − 6 x + 8
xV = −
1. Calcolo del vertice V:
yV = −
−6
b
=−
=3
2a
2 ⋅1
2
∆
b − 4ac
36 − 32
=−
=−
= −1
4a
4a
4
2. Calcolo di A e B, intersezioni con l’asse delle ascisse:
 y=0


 y = x 2 − 6 x + 8 quindi
→

x 2 − 6x + 8 = 0
Risolviamo l’equazione di 2° grado:
4
=2
− b ± b − 4ac 6 ± 36 − 32 6 ± 2
2
=
=
=
=
8
2a
2
2
x2 = = 4
2
x1 =
2
x1,2
Abbiamo quindi 2 punti di intersezione: A ( 2 ; 0) e B ( 4 ; 0)
Disegnare una parabola
pag.1 di 1
Vertice
→ V ( 3 ; -1)
3. Calcolo di C, intersezione con l’asse delle ordinate:
 x=0


 y = x 2 − 6 x + 8 quindi
→

punto C


→ C ( 0 ; 8)
y =8
4. punto C’ simmetrico del punto C rispetto all’asse di simmetria della parabola
L’asse di simmetria ha equazione x = 3 , inoltre x C = 0
per simmetria quindi avremo x C' = 3 + 3 = 6 e y C' = y C = 8
quindi C’ ( 6 ; 8)
5. per il momento non calcoliamo altri punti
6. ora viene il momento finale: riportare i cinque punti ottenuti nel piano cartesiano e unirli con una
linea arrotondata.
V ( 3 ; -1)
A ( 2 ; 0)
B ( 4 ; 0)
C ( 0 ; 8)
C’ ( 6 ; 8)
grafico ottenuto
y
x
0
2
3
4
6
y = x 2 − 6x + 8
9
8
y
8
0
-1
0
8
7
6
5
4
3
2
1
0
-2
-1
-1 0
1
2
3
4
5
6
7
-2
-3
-4
Il calcolo di altri punti può migliorare la precisione del grafico. Ad esempio :
 x =1


 y = x 2 − 6 x + 8 quindi
→

 x =5


 y = x 2 − 6 x + 8 quindi
→

punto D


→
D(1;3)
y =1− 6 + 8 = 3
punto D'

→ D’ ( 5 ; 3 )
y = 25 − 30 + 8 = 3
Nella pagina seguente vediamo come sia migliorato il grafico con l’aggiunta dei punti D e D’
Disegnare una parabola
pag.2 di 2
x
TABELLA E GRAFICO SENZA I PUNTI D E D’
grafico ottenuto
y
x
0
2
3
4
6
9
y
8
0
-1
0
8
8
7
6
5
4
3
2
1
0
-2
-1
-1 0
1
2
3
4
5
6
x
7
-2
-3
-4
TABELLA E GRAFICO CON I PUNTI D E D’
x
0
1
2
3
4
5
6
y
8
3
0
-1
0
3
8
grafico ottenuto
y
9
8
7
6
5
4
3
2
1
0
-2
-1
-1
0
1
2
3
4
5
6
7
x
-2
-3
-4
è abbastanza evidente che posizionando un maggior numero di punti si otterranno grafici sempre più
accurati. Questo è proprio il modo in cui dei software come Excel o Derive procedono per costruire dei
grafici precisi. Il programma calcola in tempi brevissimi un numero enorme di punti e li unisce
tracciando il grafico con precisione.
Nella pagina seguente è riportato il grafico tracciato da Derive 5
Disegnare una parabola
pag.3 di 3
GRAFICO TRACCIATO CON DERIVE 5
y = x 2 − 6x + 8
……………………………………………………………………………………………………………….
Esercizi per lo studente diligente
Tracciare nel piano cartesiano i grafici delle seguenti parabole:
a) y = − x 2 + 6 x − 8
b) y = x 2 − 5 x + 6
c) y = − x 2 + 5 x − 6
d) y = x 2 − 2 x
e) y = − x 2 + 2 x
f)
y = x2 +1
……………………………………………………………………………………………………………….
Disegnare una parabola
pag.4 di 4