La parabola - Mimmo Corrado

La Parabola
La parabola è il luogo geometrico dei punti del piano equidistanti da un punto fisso F, detto fuoco, e da una retta fissa
d, detta direttrice.
Parabola con il vertice nell’origine e asse coincidente con l’asse y
Consideriamo una parabola con il vertice nell’origine degli assi cartesiani e con il fuoco in 0 ; 0 ; ) = −)
.
= Dalla definizione di parabola come luogo geometrico si ha : − 0 + − = | + |
− 0 + − = + + + − 2 = + + 2 = = Infatti dalla relazione
Matematica
=
"0 ; 0
:
#0 ;
1
%
4
4 = = 0
= si ottiene: = ( .
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& &'
=−
1
4
1
Parabola con asse parallelo all’asse y (dimostrazione 1)
Consideriamo la parabola = con il vertice nell’origine e asse coincidente con l’asse .
Trasliamo la parabola portando il vertice nel punto "* ; y* .
Le equazioni della traslazione sono : +
′ = + * ′ = + *
" * ; * *
*
= ′ − * nell’equazione della parabola = si ottiene
Sostituendo le equazioni inverse: +
= ′ − *
l’equazione della parabola con vertice nel punto " * ; * .
′ − * = . − * ;
Ponendo:
+
1 = −2* ' = * + *
′ − * = / . + * − 2* . 0 ;
′ = . − 2* ′ + * + *
si ottiene l’equazione : ′ = . + 1′ + ' .
Dalla relazione: 1 = −2* si ricava :
Essendo il fuoco e il vertice appartenenti
entrambi all’asse risulta :
Dalla relazione: ' = * + *
1
2
1
= −
2
* = −
=−
1
2
si ha:
1
∆
1
1
% + ' = − + ' = −
+' =−
4
2
4
4a
Dall’equazione della traslazione ′ = + *
si ha:
∆
1−∆
1
+ #− % =
′ = + * =
4
4
4
∆
1+∆
1
′7 = 7 + * = −
+ #− % = −
4
4
4
23 = −* + ' = − #−
Riassumendo : = + 1 + '
è l'equazione di una parabola con :
Matematica
1
∆
;− %
2
4
1 1−∆
#−
;
%
2
4
" #−
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1
2
1+∆
& &': = −
4
: = −
2
Parabola con asse parallelo all’asse y (dimostrazione 2)
Consideriamo nel sistema di riferimento 8 una parabola con il vertice nel punto " * ; * e con asse
di simmetria parallelo all’asse y .
" * ; * *
*
La parabola, nel sistema di riferimento "9: con l’origine coincidente con il vertice V della parabola e gli assi
paralleli ed equiversi ai vecchi assi, ha equazione: ; = 6 <=
1
1
%
& &': : = −
: 9 = 0
'
"0 ; 0
#0 ;
4
4
Per trovare l’equazione della parabola nel vecchio sistema di riferimento 8 operiamo una traslazione di
9 = − * assi di equazione: +
: = − *
− * = − * − * = + * − 2* = − 2* + * + *
Ponendo:
+
1 = −2* ' = * + *
si ottiene l’equazione : = + 1 + ' .
1
∆
;− %
2
4
1 1−∆
#−
;
%
2
4
= + 1 + '
è l' equazione di una parabola con :
Infatti, dalla relazione: 1 = −2* si ricava:
* = −
1
2
= −
Dalla relazione: ' = * + *
1
2
si ricava:
Dall’equazione della traslazione : = − *
1
∆
1−∆
= : + * =
−
=
4 4
4
1
∆
1+∆
7 = :7 + * = −
−
=−
4 4
4
Matematica
1
2
1+∆
& &': = −
4
" #−
=−
1
2
: = −
?
?A
?A
∆
23 = −* + ' = − >− (@ + ' = − (A + ' = − ( + ' = − 56
si ha: = : + *
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dalla quale si ottiene:
3
Parabola con asse parallelo all’asse y (dimostrazione 3)
La parabola è il luogo geometrico dei punti del piano equidistanti da un punto fisso, detto fuoco, e da una retta fissa,
detta direttrice.
Siano: F (xF ; y F ) il fuoco,
y = d la direttrice e P (x ; y ) un punto della parabola.
Dalla definizione si ha: PF = PH .
(x − xF )2 + (y − y F )2
= y −d ;
(x − xF )2 + (y − y F )2 = (y − d )2 ;
x 2 − 2 xF x + xF + y 2 + y F − 2 y F y = y 2 − 2 dy + d 2 ;
2
2
x 2 − 2 xF x + xF + y F − 2 y F y = d 2 − 2dy ;
2
2
2dy − 2 y F y = − x 2 + 2 xF x − xF − y F + d 2 ;
2
2
2 y F y − 2 dy = x 2 − 2 xF x + xF + y F − d 2 ;
2
2
2 (y F − d ) ⋅ y = x 2 − 2 xF x + xF + y F − d 2 ;
2
y=
1
2 (y F − d )
x2 −
2
xF
x + yF − d 2
x+ F
yF − d
2 (y F − d )
2

1
=a

 2 (y F − d )

xF
=b
Ponendo: −
 yF − d
x 2 + y 2 − d2
F
 F
=c
 2 (y F − d )
2
si ottiene:
y = ax 2 + bx + c
con
∆ 
 b
V −
;−

4a 
 2a
 b 1−∆
F −
;

 2 a 4a 
1+ ∆
d: y =−
4a
b
a: x =−
2a
Infatti, ricavando le formule inverse si ha:
1

y F − d = 2 a

−
−


 xF
− 1 = b

 2a
 2
2
2
 xF + y F − d = c

1
2⋅

2a

b

 xF = − 2 a
 2
 xF + y F 2 − d 2
=c

1

a

2
b

 xF = − 2 a

x 2 + y 2 − d 2 = c
F
 F
a
− b 2 + 4 ac
;
4 a2
1

y F − d = 2 a
∆
1
(y F + d ) ⋅ (y F − d ) = − 2
ma
⇒
yF − d =

2a
4a
(y + d ) ⋅ 1 = − ∆
 F
2a
4 a2
1
∆
1−∆
Sommando membro a membro si ha: 2 y F =
; yF =
−
4a
2a 2 a
∆
1
1+∆
Sottraendo membro a membro si ha: 2 d = −
; d=−
−
2a 2a
4a
c
 b 
2
2
−
 + yF − d = ;
a
 2a 
yF − d 2 = −
2
b2
c
+ ;
2
a
4a
yF − d 2 =
2
a
sostituendo xF nella II
yF − d 2 = −
2
∆
4a 2
1

y F − d = 2 a

y + d = − ∆
 F
2a
;
L’ascissa del vertice è uguale all’ascissa del fuoco.
b 2 b2
b 2 − 2 b 2 + 4 ac − b 2 + 4 ac
∆
 b 
 b 
−
+c =
=
=−
.
L’ordinata del vertice è: yV = a −
 + b ⋅−
+c =
4 a 2a
4a
4a
4a
 2a 
 2a 
2
Matematica
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4
Parabola con asse parallelo all’asse x
Con procedimento analogo seguito per la parabola con asse parallelo all’asse y si ottiene l’equazione della parabola
con asse parallelo all’asse x.
x = ay 2 + by + c
Matematica
con
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b 
 ∆
V −
;−

4
a
2
a

b 
1 − ∆
F
;−

2a 
 4a
1+ ∆
d: x=−
4a
b
a: y =−
2a
5
Parabola con il vertice nell’origine e asse coincidente con l’asse y
y = ax 2 a < 0
y = ax 2 a > 0
y
y
y=−
d
·V(0; 0)
1 

F  0 ;·

1 

F 0;

4a 

·
·
V(0 ;0)

1
4a
x
4a 
x
d
y=−
1
4a
Parabola con il vertice nell’origine e asse coincidente con l’asse x
y
d
·
Matematica
y
d
V(0;0)
x=−
x = ay 2 a < 0
x = ay 2 a > 0
· 1

F
;0 
4
a


·
 1

F
;0 
4
a


x
·V(0;0)
x=−
1
4a
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x
1
4a
6