Esercizio 4 Un saltatore di bungee jumping di massa m = 75 kg si

Matricola
Cognome e nome
Fisica Generale per Tecnologie dei Beni Culturali
Prova scritta
20 / 06 / 2016
Esercizio 4
Un saltatore di bungee jumping di massa m = 75 kg si lancia da un’altezza di
h = 30 m, l’elastico a cui è legato ha lunghezza a riposo `0 = 10 m. Durante la
caduta, l’elastico si tende rallentando il saltatore, in modo che quando raggiunge
il suolo sia fermo. Quanto deve valere la sua costante elastica k? Qual è
l’accelerazione che il saltatore subisce in fondo alla caduta?
Ogni risultato va espresso sia come formula che come valore numerico, completo
di unità di misura. Se si usano simboli diversi da quelli che compaiono nei quesiti,
occorre definirli.
Soluzione
Agiscono due forze, quella gravitazionale e — non appena l’elastico comincia a
tendersi — quella elastica: entrambe conservative. Quindi possiamo utilizzare la
conservazione dell’energia meccanica, E = E + Ug + Uel . Inizialmente, E = 0 e
Uel = 0, quindi E = Ug = mgh = 22.0635 kJ. In fondo alla caduta, Ug = 0
k
e di nuovo E = 0, quindi E = Uel = (` − `0 )2 . Ora, ` = 30 m, quindi
2
2E
` − `0 = 20 m. Si ricava quindi che k =
= 110.3 N/m. In fondo alla
(` − `0 )2
caduta, il saltatore sente una forza totale data da F = Fel − Fg = k(` − `0 ) − mg,
k(` − `0 )
F
=
− g = 19.6 m/s2 .
dunque un’accelerazione a =
m
m
Esercizio 1
Gli astronauti della NASA, prima di andare nello spazio, si devono abituare
all’assenza di peso grazie ad un’esercitazione su un particolare aereo, che ha la
capacità di scendere in picchiata, per un tempo di 30 s, con un’accelerazione pari
a g. In questo modo, gli astronauti all’interno “cadono con la stessa accelerazione
dell’aereo” e hanno la sensazione di galleggiare.
Se all’inizio della picchiata l’aereo non ha velocità verticale, quanto dislivello h
viene percorso durante la picchiata? Che velocità verticale assume alla fine?
Soluzione
È un problema di moto uniformemente accelerato nella direzione verticale. Il
g
moto orizzontale è del tutto ininfluente. Quindi, h = (∆t)2 = 4413 m — non
2
poco, eh? La sua velocità verticale finale è v = g ∆t = 294.2 m/s = 1059 km/h.
Pas mal. . .
Esercizio 2
Esercizio 3
Il famigerato transatlantico Titanic aveva motori che potevano erogare una
potenza massima totale di Wmax = 38 MW (3.8 · 107 W), fornendo una velocità
massima vmax = 48 km/h. Considerando la lunghezza del viaggio Southampton New York di 5500 km, quanta energia sarebbe stata necessaria per compiere tutto
il viaggio alla massima velocià e potenza?
Calcolando la forza di attrito con l’acqua come Fattr = η 0 v 2 , quanto vale il
coefficiente η 0 ?
In una famosa canzone, De Gregori parla di “un motore da un milione di cavalli”
(ovviamente è una licenza poetica. . . ) che corrisponderebbero circa a 7.5 · 108 W.
Considerando che la forza di attrito con l’acqua segue la legge Fattr = η 0 v 2 (con η 0
da determinare), quanto sarebbe stata la velocità massima del Titanic, se avesse
avuto davvero quel motore?
Una palla da biliardo (1), di massa m = 250 g e dotata di velocità iniziale
v0 = 1.3 m/s, ne colpisce un’altra (2) di ugual massa. Dopo l’urto, la palla
(1) ha velocità v1 = 0.4 m/s ed è diretta ad un angolo θ1 = 43◦ rispetto alla
direzione iniziale. Calcolare velocità v2 e angolo θ2 della palla (2) dopo l’urto.
(Suggerimento: se serve, potete usare assi cartesiani x, y sul piano del biliardo,
con x diretto lungo la direzione iniziale della palla (1) e y ortogonale ad esso.)
Come è cambiata l’energia cinetica totale, da prima dell’urto a dopo? Che cosa
possiamo commentare?
Soluzione
L’energia totale è pari al lavoro reogato dai motori: chiamando L = 5.5 · 106 m
il percorso totale, e ponendo vmax = 13.333 m/s, si trova: L = Wmax ∆t =
L
= 1.568 · 1013 J.
Wmax
vmax
A velocità costante, la potenza totale (motore+attrito) deve essere nulla:
Wnave + Wattr = 0. D’altra parte, Wattr = −Fattr v = −η 0 v 3 . Quindi, a potenza
3
, con vmax = 13.333 m/s da cui
Wmax e velocità vmax deve essere Wmax = η 0 vmax
W
max
0
−2 2
= 16 023 N m s .
η = 3
vmax
s
r
WDG
WDG
3
= 3
Con il “motore di De Gregori”, si avrebbe vDG =
vmax =
0
η
Wmax
2.702 vmax = 36.03 m/s = 102.7 km/h.
Soluzione
Si applica la conservazione della quantità di moto, sia lungo la direzione x
che lungo y. Prima dell’urto, ptot
= mv0 e ptot
= 0. Dopo l’urto, ptot
=
x
y
x
tot
mv1 cos θ1 + mv2 cos θ2 e py = mv1 sin θ1 − mv2 sin θ2 . Da cui:
mv2 cos θ2 = mv0 − mv1 cos θ1
=⇒ v2,x ≡ v2 cos θ2 = v0 − v1 cos θ1 = 1.007 m/s
=⇒ v2,y ≡ v2 sin θ2 = v1 sin θ1 = 0.273 m/s
v2,y
−1
= 0.265 rad =
= 1.043 m/s, e θ2 = tan
v2,x
mv2 sin θ2 = mv1 sin θ1
Quindi v2 =
q
2 + v2
v2,x
2,y
15.17◦ .
m 2
La variazione di energia cinetica è ∆E =
v1 + v22 − v02 = −0.0553 J.
2
L’energia è diminuita, quindi l’urto ne ha dissipata una parte.
Cognome e nome
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Fisica Generale per Tecnologie dei Beni Culturali
Prova scritta
20 / 06 / 2016
Esercizio 8
Un fascio di luce uscente da una fenditura di larghezza D = 1.5 µm produce
una figura di diffrazione, in cui il primo massimo secondario si trova ad un angolo
θ = 47◦ . Quanto vale la lunghezza d’onda λ della luce, e la frequenza ν, se la
propagazione è nel vuoto? Come si modifica l’angolo θ se la propagazione avviene
in un liquido trasparente, di indice di rifrazione n = 1.2?
Ogni risultato va espresso sia come formula che come valore numerico, completo
di unità di misura. Se si usano simboli diversi da quelli che compaiono nei quesiti,
occorre definirli.
Soluzione
1 λ
, con
2 D
K = 1, 2, 3, . . . . Il primo massimo secondario si ha per K = 1, cosicché
2
c
λ = D sin θ = 0.7314 µm. La frequenza è ν = = 4.104 · 1014 .
3
λ
λ
Nel liquido, la lnghezza d’onda diventa λ0 =
= 0.6095 µm. Quindi il primo
0n
3λ
massimo secondario si osserva a θ0 = sin−1
= 37.6◦ .
2D
La formula dei massimi secondari di diffrazione è sin θ =
K+
Esercizio 5
Un gas rarefatto alla temperatura T0 = 150◦ C e alla pressione P = 1.5 Atm
viene lasciato raffreddare, a pressione costante, finché raggiunge la temperatura
T1 = 23◦ C. Inizialmente il gas occupava un volume V0 = 0.5 `. Quant’è il volume
finale V1 ? Qual è il lavoro L fatto dal gas in espansione?
Soluzione
Si deve applicare la legge dei gas P V = N kT . A pressione P costante, essa
T1
T1
V1
=
, con le temperature in Kelvin. Pertanto, V1 = V0
=
dice che
V0
T0
T0
296.15 K
5 · 10−4 m3
= 3.499 · 10−4 m3 . Il lavoro – essendo P costante – è
423.15 K
L = P (V1 − V0 ) = −22.8 J.
Esercizio 6
Esercizio 7
L’acqua di mare è salata, e pertanto ha proprietà conduttive, con una
conduttività σ = 5 Ω−1 m−1 . Un tubo, di lunghezza 1 m e sezione 1cm2 , riempito di
acqua marina, che resstenza elettrica ha? Applicando ai suoi estremi una differenza
di potenziale di 220 V, quanta corrente elettrica vi circola?
Un tokamak è un apparato in cui idrogeno ionizzato (cioè protoni) ad altissima
temperatura viene confinato mediante l’uso di campi magnetici, che costringono
gli ioni su traiettorie circolari.
Assumendo una temperatura T = 107 K, quanto vale l’energia cinetica dei
protoni? (Suggerimento: trattare i protoni come un gas di particelle puntiformi di
massa mp = 1.67 · 10−27 kg; inoltre adottare la semplificazione che tutti i protoni
abbiao la stessa energia cinetica.) Quanto vale la loro velocità? Quanto deve valere
il campo magnetico, perché le orbite dei protono abbiano raggio R = 1 mm?
Soluzione
La resistenza si calcola come R =
La corrente elettrica è I =
`
1m
=
= 2000 Ω.
−1
−1
σΣ
(5 Ω m )(10−4 m2 )
∆Φ
= 0.11 A.
R
Soluzione
3
L’energia cinetica (media) si ricava come E = kT = 2.071 · 10−16 J, la velocità
2
s
2E
mp v
5
come v =
= 4.980 · 10 m/s. Il raggio dell’orbita è dato da R =
, quindi
mp
eB
mp v
B=
= 5.15 T.
eR