Formule di Poisson Teorema delle velocit`a relative
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Formule di Poisson Teorema delle velocit`a relative
Scienza dei Materiali a.a. 2011-2012 Fisica I Velocità e Accelerazioni relative Formule di Poisson Si vuole mettere in relazione la derivata temporale di un versore e la velocità angolare con cui il versore cambia direzione nel tempo: du =ω×u dt (1) Per i versori direttori {u}i=1,2,3, degli cartesiani u1 = ux , u2 = uy , u3 = uz di un sistema di riferimento S = Oxyz si hanno le seguenti formule dette di Poisson: dui = ω × ui dt (2) Teorema delle velocità relative Sia P un punto materiale in moto lungo una generica traiettoria. Siano S = Oxyz un sistema di riferimento fisso, e S 0 = O0 x0 y 0 z 0 un sistema di 0 , la velocità riferimento in movimento. Il moto di S 0 viene descritto da vO 0 di O rispetto ad S e da ω, la velocità angolare di rotazione degli assi di S 0 −→ rispetto a quelli di S. Sia r = OP = OP la posizione di P rispetto ad S e −−→ sia r0 = O0 P = O0 P la posizione di P rispetto ad S 0 . Vale allora il seguemte risultato, detto ‘Teorema delle velocità relative’: 0 v = v + vT (3) vT = vO0 + ω × r0 (4) dove : la (4) prende il nome di velocità di trascinamento ed esprime la variazione delle velocità di P , v e v0 , misurate nei due sistemi di riderimento S ed S 0 . 1 Scienza dei Materiali a.a. 2011-2012 Fisica I Velocità e Accelerazioni relative Dimostrazione del Teorema delle velocità relative Per definizione, nel sistema fisso S: v= dr dt (5) dove: r = OP = OO0 + O0 P = OO0 + r0 (6) −−→0 e il vettore OO = OO0 , che si applica in O e punta in O0 , esprime la posizione del sistema di riferimento S 0 rispetto a S. Quindi, per le (5) e (6), si ha: d [OO0 + r0 ] (7) dt d[OO0 ] dr0 = + (8) dt dt d X 0 0 = vO0 + (xi ui ) (9) dt i P Dove r0 = x0 u0x + y 0 u0y + z 0 u0z = i x0i u0i . Si noti che nella (8) dr0 /dt 6= v0 in quanto, se gli assi sono in movimento, allora " ! # X dx0 dr0 d X 0 0 i = (xi ui ) 6= u0i = v0 dt dt i dt i v = Calcoliamo allora X dx0 X du0 d X 0 0 dr0 i 0 = (xi ui ) = ui + x0i i dt dt i dt dt i i X = v0 + x0i (ω × u0i ) (10) (11) i = v0 + ω × 0 X = v +ω×r x0i u0i i 0 dove nella (11) si è usata la formula di Poisson (2) Quindi per le (9) e (13), si ha che: 0 0 v = v + vO0 + ω × r0 = v + vT 2 (12) (13) Scienza dei Materiali a.a. 2011-2012 Fisica I Velocità e Accelerazioni relative Teorema delle accelerazioni relative Analagomanete a (3) per le accelerazioni si ha il seguente risultato: a = a0 + aT + aCor (14) aT = aO0 + ω × (ω × r0 ) aCor = 2 ω × v0 (15) (16) dove Le accelerazioni aT e aCor prendono il nome ripsettivamente di accelerazione di trascinamento e accelerazione di Coriolis. Dimostrazione del Teorema delle accelerazioni relative a = = = = = = dv dt d 0 0 [v + vO + ω × r0 ] dt ! 0 dvO d d X dx0i 0 ui + + (ω × r0 ) dt dt dt dt i X d2 x0 X du0 dr0 i 0 i 0 0 u + x + a + ω × i i O dt2 dt dt i i ! X dx0 i ω × u0i + [ω × (v0 + ω × r0 )] a0 + a0O + dt i ! X dx0 i 0 0 0 a + aO + ω × ui + ω × v0 + ω × (ω × r0 ) dt i = a0 + a0O + ω × (ω × r0 ) + 2(ω × v0 ) = a0 + aT + aCor (17) (18) (19) (20) (21) (22) (23) (24) dove nella (21) si sono usate la formula di Poisson (2) e il teorema delle velocità relative per il calcolo di dr0 /dt. 3