Tema risolto 13-12-11

Fluidodinamica, martedı̀ 13 dicembre 2011
Parte di Fluidodinamica I
Domanda 1 Dalla parete di un serbatoio in pressione fuoriesce alla base
un tubetto orizzontale di diametro D = 60 mm. Il serbatoio è pieno d’acqua
per un’altezza H = 3.0 m rispetto alla sua base. Al di sopra della superficie
libera all’interno del serbatoio c’è aria con una sovrapressione ∆P = 200 kPa
rispetto alla pressione atmosferica esterna.
Calcolare il valore iniziale della portata volumetrica che fuoriesce dal serbatoio.
Domanda 2 Un satellite avente una massa Ms = 5000 kg orbita attorno
alla Terra con velocità V0 . Per modificare la sua orbita, da un razzo sul
satellite è scaricata nel verso opposto alla direzione del moto una massa
mg = 100 kg di gas combusti per un tempo τ = 2 s, alla velocità relativa
vgrel = 3000 m/s rispetto al satellite.
a) Determinare la variazione di velocità del satellite.
b) Calcolare l’accelerazione del satellite nell’intervallo di tempo τ .
Esercizio 1 La velocità della corrente assisimmetrica incomprimibile fra
due superfici cilindriche coassiali rotanti ha, in coordinatee cilindriche, solo
la componente angolare uθ diversa da zero, che è governata dalla seguente
equazione differenziale alle derivate parziali
µ
¶
¢
∂uθ
1 ∂ ¡
∂
=0
−ν
Ruθ
∂t
∂R R ∂R
a) Considerare il caso di corrente stazionaria relativo a due superfici di
raggio R = a e R = 2a che ruotano rispettivamente con velocità angolari Ω e 2Ω e determinare l’andamento della velocità u(θ).
b) Ricavare l’espressione della velocità nel punto medio fra le due superfici.
c) Applicare il metodo di separazione delle variabili cercando soluzioni
elementari del tipo u(R, t) = R(R) T (t), con R(R) e T (t) funzioni di
una sola variabile da determinare, e ricavare l’equazione differenziale
ordinaria che governa la funzione R(R) del primo fattore. Che tipo di
equazione è?
1
Parte di Aerodinamica I
Domanda 3 Si consideri una corrente incomprimibile piana e stazionaria,
il cui campo di velocità è dato in componenti e coordinate cartesiane dalle
relazioni
u(x, y) = ax + b
e
v(x, y) = −ay + cx
con a = 0.50 s−1 , b = 1.5 m/s e c = 1 s−1 .
a) Derivare un’espressione per la funzione di corrente e calcolare la portata
di fluido di densità ρ = 100 kg/m3 attraverso una qualunque curva che
passi per i punti r1 = (1, 1) e r2 = (2, 2), essendo le coordinate espresse
in metri.
b) La corrente è viscosa oppure inviscida?
c) Verificare che la funzione di corrente soddisfi effettivamente l’equazione
di Poisson che governa tale variabile.
Domanda 4 Nel piano xy, un cilindro di diametro D = 2 m è investito da
una corrente uniforme di velocità |U| = 5 m/s, parallela all’asse x a grande
distanza dal cilindro, che possiede una componente circolatoria attorno al
cilindro. La posizione dei punti di ristagno in un determinato sistema di
riferimento è data dalle coordinate (x1 = 1, y1 = 0) e (x2 = 2, y2 = 0),
espresse in metri.
Utilizzando un’opportuna sovrapposizione lineare di correnti elementari
piane incomprimibili e irrotazionali, si determini il valore della circolazione
Γ.
Esercizio 2 Il profilo di velocità dello strato limite su una lamina piana
lambita da una corrente incomprimibile parallela alla lamina è approssimabile
3
4
vicino
p alla parete con la legge u(η) = Ue (2η − 2η + η ), dove η = η(x, y) =
y Ue /(νx), x è la distanza dal bordo d’attacco della lamina e Ue = 2.0 m/s
è la velocità della corrente esterna.
Si determini la forza totale che la corrente esercita su una faccia di una
lamina di apertura L = 1.5 m, nella porzione compresa tra x1 = 1 m e x2 =
4 m, assumendo ρ = 1.25 kg/m3 e ν = 1.5 × 10−5 m2 /s.
2
Soluzioni: Parte di Fluidodinamica I
Domanda 1 Dalla parete di un serbatoio in pressione fuoriesce alla base
un tubetto orizzontale di diametro D = 60 mm. Il serbatoio è pieno d’acqua
per un’altezza H = 3.0 m rispetto alla sua base. Al di sopra della superficie
libera all’interno del serbatoio c’è aria con una sovrapressione ∆P = 200 kPa
rispetto alla pressione atmosferica esterna.
Calcolare il valore iniziale della portata volumetrica che fuoriesce dal serbatoio.
Soluzione Domanda 1 La portata volumetrica Q dipende dalla velocità
u con cui l’acqua del serbatoio fuoriesce attraverso il tubo posto alla sua base
π
Q = D2 u
4
−2
dove D = 6.0 × 10 m è il diametro della sezione del tubo.
La velocità si può ricavare dal teorema di Bernoulli per una corrente
incomprimibile stazionaria di un fluido supposto non viscoso e di densità
uniforme ρ
P1 u21
P2 u22
+
+ gz1 =
+
+ gz2
ρ
2
ρ
2
dove i due pedici 1 e 2 indicano due punti sulla stessa linea di corrente e
g = 9.81 N/kg è in campo di gravità terrestre. Supponendo che la larghezza
trasversale del serbatoio rispetto all’asse verticale sia molto maggiore del
diametro D del tubo, nella fase iniziale dello scaricamento la corrente può
essere considerata stazionaria e la velocità dell’acqua sulla superficie libera
può essere considerata nulla. Naturalmente, l’uso del teorema di Bernoulli
significa che la corrente è supposta non viscosa anche nel tubo di uscita, che
si suppone quaindi essere molto corto.
Prendiamo allora il punto 1 in corrispondenza del pelo libero dell’acqua e
il punto 2 all’uscita del tubo. Supponendo di porre l’origine dell’asse verticale
z alla superficie del pelo libero dell’acqua avremo z1 = 0 e z2 = −H = −3.0 m
e inoltre risulta, come si è detto, u1 = 0. Il teorema di Bernoulli diventa
quindi
Pint
Pext u22
=
+
− gH
ρ
ρ
2
dove Pint = 0.30 × 106 Pa è la pressione dell’aria all’interno del serbatio
mentre Pext = 0.10 × 106 Pa è la pressione atmosferica esterna. Risolvendo
l’equazione rispetto alla velocità u2 dell’acqua nel tubo si ottiene
∆P
u22
=
+ gH
2
ρ
3
dove ∆P = Pint − Pext = 0.20 × 106 Pa, ovverosia
s µ
¶
∆P
u2 = 2
+ gH
ρ
Sostituendo i valori numerici e la densità dell’acqua ρ = 1.0 × 103 kg/m3 si
ottiene u2 = 21 m/s. La portata volumetrica risulta quindi Q = 0.060 m3 /s.
4
Domanda 2 Un satellite avente una massa Ms = 5000 kg orbita attorno
alla Terra con velocità V0 . Per modificare la sua orbita, da un razzo sul
satellite è scaricata nel verso opposto alla direzione del moto una massa
mg = 100 kg di gas combusti per un tempo τ = 2 s, alla velocità relativa
vgrel = 3000 m/s rispetto al satellite.
a) Determinare la variazione di velocità del satellite.
b) Calcolare l’accelerazione del satellite nell’intervallo di tempo τ .
Soluzione Domanda 2 Trascurando le variazioni della velocità (vettoriale) del satellite dovute all’azione del campo gravitazionale terrestre agente
su di esso, il sistema può essere considerato isolato e pertanto vale il principio
della conservazione della quantità di moto totale del sistema.
Prendiamo come sistema di riferimento (inerziale nell’approssimazione
considerata) un sistema che si muove con la velocità iniziale V0 del satellite. In tale riferimento la quantità di moto totale del sistema è nulla prima
dell’emissione dei gas e lo sarà anche dopo che i gas sono stati emessi dal
razzo. Per chiarezza indicheremo con u la velocità di un corpo in tale sistema
di riferimento. La relazione di trasformazione delle velocità fra i due sistemi
di riferimento è la ben nota legge di somma delle velocità di Galilei
v = u + V0
dove v indica la velocità del corpo nel sistema di riferimento terreste mentre V0 è la velocità costante con cui tarsla di moto uniforme il sistema di
riferimento mobile rispetto a quello solidale con la Terra.
Nel nuovo sistema di riferimento la velocità iniziale del satellite è nulla
mentre quella finale Us sarà positiva. Al contrario la velocità finale dei gas
di scarico ug sarà negativa.
Per il principio di conservazione della quantità di moto del sistema avremo
pertanto
fin
fin
Ptot
= pfin
s + pg = 0
fin
dove pfin
s = Ms Us = (Ms − mg )Us è la quantità di moto del satellite dopo
l’espulsione dei gas nel sistema di riferimento scelto, e analogamente pfin
g =
mg ug . D’altra parte il valore assoluto di ug è proprio la velocità relativa
vgrel = 3000 m/s con cui sono scaricati i gas dal razzo in direzione opposta al
moto del satellite, ovverosia si ha ug = −vgrel .
a) Sostituendo questi risultati nella relazione precedente si ottiene
(Ms − mg )Us − mg vgrel = 0
5
che può essere risolta rispetto alla velocità finale Us del satellite :
Us =
vgrel
mg vgrel
=
Ms − m g
Ms /mg − 1
Sostituendo i valori noti risulta Us = 61 m/s, che rappresenta anche la variazione di velocità ∆V = Vs − V0 = 61 m/s del satellite nel sistema di riferimento terrestere.
b) L’accelerazione media del satellite nel tempo τ è semplicemente
As =
vgrel
Us
=
τ
(Ms /mg − 1)τ
ed è la stessa anche nel sistema ririferimento terrestre, essendo l’accelerazione
una grandezza invariante per trasformazioni fra sistemi inerziali. Sostituendo
i valori noti, l’accelerazione del satellite nell’intervallo di tempo τ risulta
essere As = 30.5 m/s2
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Esercizio 1 La velocità della corrente assisimmetrica incomprimibile fra
due superfici cilindriche coassiali rotanti ha, in coordinate cilindriche, solo
la componente angolare uθ diversa da zero, che è governata dalla seguente
equazione differenziale alle derivate parziali
µ
¶
¢
∂uθ
1 ∂ ¡
∂
=0
−ν
Ruθ
∂t
∂R R ∂R
a) Considerare il caso di corrente stazionaria relativo a due superfici di
raggio R = a e R = 2a che ruotano rispettivamente con velocità angolari Ω e 2Ω e determinare l’andamento della velocità u(θ).
b) Ricavare l’espressione della velocità nel punto medio fra le due superfici.
c) Applicare il metodo di separazione delle variabili cercando soluzioni
elementari del tipo u(R, t) = R(R) T (t), con R(R) e T (t) funzioni di
una sola variabile da determinare, e ricavare l’equazione differenziale
ordinaria che governa la funzione R(R) del primo fattore. Che tipo di
equazione è?
Soluzione Esercizio 1 a) Nel caso di corrente stazionaria l’equazione che
governa la velocità uθ (R) assume la forma
µ
¶
¢
1 d ¡
d
=0
Ruθ
dR R dR
ed è completata dalle due condizioni al contorno
uθ (a) = aΩ
e
uθ (2a) = 2a2Ω = 4aΩ
L’integrazione dell’equazione differenzaile ordinaria è immediata e fornisce
1
H
uθ (a) = KR +
2
R
dove K e H sono le due costanti d’integrazione da determinare imponendo
le condizioni al contorno. Si ottiene il sistema lineare
(
aK + 2H/a = 2aΩ
2aK + H/a = 8aΩ
la cui soluzione è K = 14
Ω e H = − 43 a2 Ω. L’andamento della velocità nel
3
caso considerato è pertanto
µ
¶
4 a2 Ω
aΩ 7R 4a
7
=
−
uθ (R) = ΩR −
3
3 R
3
a
R
7
b) La velocità nel punto medio far le due superfici cilindriche si ottiene
47
aΩ.
valutando la velocità trovata per R = 23 a e risulta essere uθ ( 32 a) = 18
c) Nel caso di corrente dipendente dal tempo, le soluzioni elementari del
tipo u(R, t) = R(R) T (t) si possono trovare sostituendo il prodotto delle due
funzioni di una sola variabile nell’equazione originaria alle derivate parziali.
Si ricava la relazione
µ
¶′
1¡
′
′
RT − νT
RR) = 0
R
ovverosia, dividendo per RT ,
T′
ν
−
T
R
µ
1¡
RR)′
R
¶′
=0
dove l’apice indica la derivata (ordinaria) rispetto alla variabile propria di
ognuna delle due funzioni. Ma il primo termine è una funzione della sola
variabile t mentre il secondo è una funzione della sola R. Pertanto il solo
modo di potere soddisfare questa relazione consiste nell’essere entrambi i
termini costanti e con le costanti uguale ed opposte, ovverosia, ad esempio,
¶′
µ
1 1¡
T′
′
= kν
e
RR) = k
T
R R
dove k è la cosiddetta costante di separazione. La prima equazione è semplicemente T ′ = kνT , che si integra immediatamente T (t) = T0 ekνt . Ma la
soluzione deve rimanere limitata per t → ∞, per cui essere necessariamente
k < 0. L’equazione per la funzione R(R) si può riscrivere come
µ
¶′
1¡
′
RR) = kR
R
e con semplici passaggi diventa
R2 R′′ + RR′ − (1 + kR2 )R = 0
con k < 0. Questa è un’equazione differenziale del secondo ordine, lineare e
a coefficienti variabili, ma non di tipo equidimensionale.
8
Soluzioni: Parte di Aerodinamica I
Domanda 3 Si consideri una corrente incomprimibile piana e stazionaria,
il cui campo di velocità è dato in componenti e coordinate cartesiane dalle
relazioni
u(x, y) = ax + b
e
v(x, y) = −ay + cx
con a = 0.50 s−1 , b = 1.5 m/s e c = 1 s−1 .
a) Derivare un’espressione per la funzione di corrente e calcolare la portata
di un fluido di densità ρ = 100 kg/m3 attraverso una qualunque curva
che passi per i punti r1 = (1, 1) e r2 = (2, 2), essendo le coordinate
espresse in metri.
b) La corrente è viscosa oppure inviscida?
c) Verificare che la funzione di corrente soddisfi effettivamente l’equazione
di Poisson che governa tale variabile.
Soluzione Domanda 3 Il campo di velocità considerato è effettivamente
incomprimibile dato che risulta
∂u ∂v
+
=a−a=0
∂x ∂y
e la condizione d’incomprimibilità è soddisfatta identicamente.
a) Per determinare la funzione di corrente ψ(x, y) si può procedere integrando le due equazioni differenziali che legano questa variabile con le componenti della velocità
u=
∂ψ
∂y
e
v=−
∂ψ
∂x
Si integra la prima nella direzione della variabile y, ottenendo
Z
Z
ψ(x, y) = u(x, y) dy = (ax + b) dy = axy + by + F (x)
dove F (x) è una funzione da determinare. Similmente, integrando la seconda
relazione lungo la direzione x si ottiene
Z
Z
1
ψ(x, y) = − v(x, y) dx = − (−ay + cx) dx = axy − cx2 + G(y)
2
dove G(y) è un’altra funzione da determinare. Le due espressioni di ψ trovate
possono essere entrambe valide assumendo che F (x) = −cx2 /2 e G(y) = by,
9
ovvero, più in generale, potendo prendere F (x) = −cx2 /2 + C e G(y) =
by + C, con C che rappresenta una costante arbitraria. Pertanto abbiamo
trovato
c
ψ(x, y) = axy + by − x2 ,
2
avendo scelto per semplicità C = 0. Le linee di corrente sono le curve y =
y(x; ψ) date dalla funzione
ψ + cx2 /2
y=
ax + b
e possono essere agevolmente tracciate nel piano (x, y).
La quantità volumetrica di fluido che attraversa una (qualunque) curva
passante per i punti r1 = (1, 1) e r2 = (2, 2), per unità di spessore della
corrente piana, è data dalla differenza ψ(r2 ) − ψ(r1 ). La portata in massa di
un fluido di densità ρ (uniforme) per unità di spessore trasversale sarà allora
data da
Ṁ = ρ[ψ(2, 2) − ψ(1, 1)] = ρ(3a + b − 3c/2)
Sostituendo i valori numerici si ottiene Ṁ = 150 kg/(s · m).
b) Per stabilire se la corrente è viscosa o meno si può valutare inizialmente
la vorticità. Nelle correnti piane la vorticità ha solo la componente z e nel
caso considerato risulta
ω = ωz =
∂v ∂u
−
=c−0=c
∂x ∂y
per cui la corrente è rotazionale, essendo c 6= 0. Tuttavia, affinché la viscosità possa giocare un ruolo nella corrrnte in questione occorre verificare
che il termine viscoso ν∇2 u nell’equazione di bilancio della quantità di moto
(ovvero il corrrispondente ν∇2 ω nell’equazione di straporto-diffusione della
virticità) sia diverso da zero. Il calcolo diretto mostra che entrambi i termini
sono nulli, per cui la corrente è non viscosa pur essendo rotazionale.
c) L’equazione che governa la funzione di corrente è l’equazione di Poisson
∇2 ψ = −ω
dove ∇2 = ∂x2 + ∂y2 è l’operatore di Laplace in due dimensioni. Un calcolo
diretto mostra che ∇2 ψ = ∇2 (axy + by − 2c x2 ) = (∂x2 + ∂y2 )(axy + by − 2c x2 ) =
∂x2 (axy + by − 2c x2 ) + ∂y2 (axy + by − 2c x2 ) = −c + 0 = −c. Essendo ω =
c, l’equazione di Poisson della funzione di corrente è quindi identicamente
soddisfatta.
10
Domanda 4 Nel piano xy, un cilindro di diametro D = 2 m è investito da
una corrente uniforme di velocità |U| = 5 m/s, parallela all’asse x a grande
distanza dal cilindro, che possiede una componente circolatoria attorno al
cilindro. La posizione dei punti di ristagno in un determinato sistema di
riferimento è data dalle coordinate (x1 = 1, y1 = 0) e (x2 = 2, y2 = 0),
espresse in metri.
Utilizzando un’opportuna sovrapposizione lineare di correnti elementari
piane incomprimibili e irrotazionali, si determini il valore della circolazione
Γ.
Soluzione Domanda 4 Una corrente piana incomprimibile irrotazionale
stazionaria attorno a un cilindro di sezione circolare, uniforme a grande distanza dal cilindro, può avere dei punti di ristagno sulla superficie del cilindro.
Nel caso in esame, la distanza |x2 − x1 | = 1 m fra i due punti di ristagno è
minore del diametro D = 2 m del cerchio della sezione del cilindro. Di conseguenza, la corrente deve possedere una componente rotatoria non nulla
attorno al cilindro, dato che i punti di ristagno di una corrente senza circolazione devono essere gli estremi di un diametro del cerchio.
La corrente uniforme è diretta come l’asse x per cui i due punti di ristagno
P1 = (x1 , y1 ) e P2 = (x2 , y2 ) si troveranno dalla stessa parte rispetto alla retta
parallela alla direzione di U e passante per il centro del cerchio. I punti si
trovano sotto oppure sopra tale retta a seconda del verso della circolazione Γ
della componente rotatoria della corrente: se la circolazione è oraria (Γ < 0) i
punti saranno sotto (corrente portante), mentre se la circolazione è antioraria
(Γ > 0) essi saranno sopra (corrente deportante).
In ogni caso, dato che la distanza |x2 − x1 | = 1 m fra i punti di ristango è
uguale al raggio D/2 = 1 m della circonferenza, essi formeranno con il centro
un triangolo equilatero.
Prendiamo allora un sistema di riferimento cartesiano (x′ , y ′ ) con origine
nel centro del cerchio e supponiamo di considerare la situazione portante con
Γ < 0 per cui i punti sono nella ¡parte inferiore, le √coordinate
¢
¡di′ tali 1punti,
3
1
′
′
espresse
in metri, saranno: P1 = x1 = − 2 , y1 = − 2 e P2 = x2 = 2 , y2′ =
√ ¢
− 23 .
In coordinate polari con origine nel centro del cerchio la corrente incomprimibile irrotazionale attorno al cilindro di sezione circolare è espressa dalla
relazione
µ
¸
¶
·
µ
¶
a2
a2
Γ
u(R, θ) = U 1 − 2 cos θ R̂ + −U 1 + 2 sin θ +
θ̂
R
R
2πR
dove a = D/2 è il ragggio del cilindro. Questo campo di moto può essere
determinato mediante la separazione delle variabili oppure come sovrappo11
sizione della corrente uniforme, di una doppietta e del vortice rettilineo di
intensità Γ .
Per le considerazioni geometriche precedenti, l’angolo θr che la retta dal
centro al punto di ristagno P2 forma con l’asse x′ è pari a −60◦ . L’angolo θr
è legato ai parametri del problema dalla relazione
−2U sin θr +
Γ
=0
2πa
che risolta rispetto a Γ fornisce:
Γ = 4πU a sin θr .
Sostituendo θr = −60◦ e i valori numerici noti si ottiene immediatemente
√
√
m2
3 D
◦
U
= − 3 π × 5 × 2 = −54.4
.
Γ = −4πU a sin 60 = −4π
2
2
s
12
Esercizio 2 Il profilo di velocità dello strato limite su una lamina piana
lambita da una corrente incomprimibile parallela alla lamina è approssimabile
3
4
vicino
p alla parete con la legge u(η) = Ue (2η − 2η + η ), dove η = η(x, y) =
y Ue /(νx), x è la distanza dal bordo d’attacco della lamina e Ue = 2.0 m/s
è la velocità della corrente esterna.
Si determini la forza totale che la corrente esercita su una faccia di una
lamina di apertura L = 1.5 m, nella porzione compresa tra x1 = 1 m e x2 =
4 m, assumendo ρ = 1.25 kg/m3 e ν = 1.5 × 10−5 m2 /s.
Soluzione Esercizio 2 La corrente considerata rappresenta l’andamento
di una corrente di tipo strato limite parallela a una lastra semi-infinita posta
parallelamente alla corrente incidente. Per determinare la forza agente sulla
lamina è necessario calcolare lo sforzo viscoso sulla superficie della lamina.
Dato che la lamina è ferma potremo usare l’espressione del vettore sforzo
viscoso slastra agente sulla superficie superiore della lastra, la cui normale
uscente è il versore ŷ,
slastra = −µ ŷ × [∇ × u]|lastra .
Essendo la corrente piana, la vorticità ∇ × u ha solo la componente z per
cui avremo
·
¸¯lastra
¸¯lastra
·
∂v ∂u ¯¯
∂v ∂u ¯¯
lastra
ẑ = −µ
x̂.
−
−
s
= −µ ŷ ×
∂x ∂y ¯
∂x ∂y ¯
Ma sulla lastra la componente verticale della velocità v è nulla, v(x, 0) = 0,
per cui
∂u(x, 0)
slastra (x) = µ
x̂.
∂y
Per la corrente considerata risulta u(x, y) = u(η(x, y)) = Ue (2η − 2η 3 + η 4 )
[con il ben noto leggero abuso di notazione] per cui la derivata di u(x, y)
rispetto a y si calcola mediante la regola di derivazione delle funzioni composte:
∂u(x, y)
du(η(x, y)) ∂η(x, y)
=
∂y
dη
∂y
da cui si ricava
à r !
£
¤
d
∂
∂u(x, y)
Ue
y
=
Ue (2η − 2η 3 + η 4 )
∂y
dη
∂y
νx
ovverosia
r
∂u(x, y)
Ue
= Ue (2 − 6η 2 + 4η 3 )
,
∂y
νx
13
dove naturalmente η = η(x, y). Ma sulla lastra y = 0 e anche η = 0, per cui
il vettore sforzo viscoso considerato diventa
r
Ue
lastra
s
(x) = 2µ Ue
x̂.
νx
Per determinare la forza F agente sul una sola faccia della porzione di lastra
di larghezza L = 1.5 m e compresa fra x1 = 1 m e x2 = 4 m si deve valutare
l’integrale seguente
r
r Z x
Z x2
Z x2
2
U
Ue
dx
e
√ x̂.
F=L
slastra (x) dx = L
2µ Ue
dx x̂ = 2LUe µ
νx
ν x1
x
x1
x1
L’integrazione è elementare per cui otteniamo
r
p
£√
√ ¤
Ue √ ¯¯x2
x x1 x̂ = 4LUe ρ Ue ν x2 − x1 x̂
F = 4LUe µ
ν
dove nell’ultimo passaggio si è anche espressa la viscosità dinamica in funzione di quella cinematica e della densità, sostituendo µ = ρ ν. Sostituendo
i valori numerici si ottiene
F = 4 × 1.5 × 2 × 1.25 × 5.48 × 10−3 = 0.082 N x̂.
14