Metodi Matematici per la Gestione del Rischio

Metodi Matematici per la Gestione del Rischio - Esercizi
1. Considerare la seguente funzione di due variabili
𝑓 (𝑥, 𝑦) =
⎧
⎨
𝑘𝑥𝑒−3𝑦+𝑥 , per (𝑥, 𝑦) ∈ [0, 1] × [0, +∞),
⎩
0,
altrimenti.
Determinare il valore della costante 𝑘 per cui tale funzione rappresenta la densità di
probabilità di un vettore aleatorio bivariato. Fissato tale valore per 𝑘, e un vettore
aleatorio (X,Y) con tale densità,
(a) individuare, nel piano (x,y), la regione dei valori effettivamente assunti da
(X,Y);
(b) trovare le distribuzioni di probabilità marginali di X e Y;
(c) dire se X e Y sono indipendenti, giustificando la risposta;
(d) determinare la probabilità condizionata 𝑃 (𝑋 ≥ 0.5∣𝑌 ≤ 1);
(e) sia 𝑍 = 2𝑌 3 , determinare VaR(Z) con soglia 𝛼 = 0.01.
(f) determinare la densità di probabilità della variabile aleatoria Z definita della
trasformazione 𝑍 = 2𝑌 + 1.
2. Si consideri un mercato uniperiodale in cui sono presenti un titolo risk-free B, con
𝐵0 = 1 e 𝐵1 = 2, e un’azione S che segua il modello 𝑆0 = 3 e 𝑆1 = 9; 2; 1 con
rispettive probabilità 𝑝𝑢 = 𝑝𝑚 = 𝑝𝑑 = 31 .
(a) Dire se il payoff aleatorio 𝑌1 = 1; 0; 0 è replicabile in funzione di (S;B). Derivarne
conclusioni sulla completezza del mercato (S;B).
(b) Determinare la strategia di hedging minimal variance per 𝑌1 .
(c) Dire se in mercato è privo di arbitraggi, motivando la risposta con considerazioni sui rendimenti di S e B. In caso affermativo determinare, con un opportuno sistema di equazioni e disequazioni, tutte le probabilità di martingala
Q.
(d) Trovare l’intervallo dei prezzi equi per il payoff 𝑌1 .
1
3. Si consideri un titolo X la cui evoluzione di prezzi (nei tempi 𝑡 = 0, 1, 2) segua il
modello:
∙ 𝑋0 = 3,
∙ 𝑋1 = 6; 1 con rispettive probabilità 12 , 12 ,
∙ 𝑋2 = 12; 2; 13 con probabilità condizionali
𝑃 (𝑋2 = 12∣𝑋1 = 6) = 𝑃 (𝑋2 = 2∣𝑋1 = 6) = 12 ,
𝑃 (𝑋2 = 2∣𝑋1 = 1) = 𝑃 (𝑋2 = 13 ∣𝑋1 = 1) = 12 .
(a) Si fornisca la rappresentazione ad albero di tale evoluzione di prezzi.
(b) Dire se si tratta di un processo di guadagno binomiale additivo o moltiplicativo,
giustificando la risposta (e fornendo i coefficienti additivi o moltiplicativi).
(c) Determinare la probabilità 𝑃 (𝑋2 < 10).
(d) Determinare la media condizionale 𝐸[𝑋2 ∣𝑋1 ].
4. Si consideri un titolo X la cui evoluzione di prezzi (nei tempi 𝑡 = 0, 1, 2) segua il
seguente modello: 𝑋0 = 1, 𝑋1 = 4, 2, −1 con rispettive probabilità 1/6, 1/3, 1/2,
𝑋2 = 6, 4, 1, −2 con probabilità condizionali 𝑃 (𝑋2 = 6∣𝑋1 = 4) = 𝑃 (𝑋2 = 4∣𝑋1 =
4) = 1/2, 𝑃 (𝑋2 = 4∣𝑋1 = 2) = 1/3, 𝑃 (𝑋2 = 1∣𝑋1 = 2) = 2/3, 𝑃 (𝑋2 = −2∣𝑋1 =
−1) = 1.
(a) si fornisca la rappresentazione ad albero di tale evoluzione di prezzi;
(b) determinare la probabilità 𝑃 (𝑋2 ≤ 4);
(c) determinare il valore atteso condizionato 𝐸[𝑋2 ∣𝑋1 = 2].
5. Siano X e Y variabili aleatorie indipendenti, con rispettive distribuzioni 𝑋 ∼ exp(3)
e 𝑌 ∼ 𝒰[1,4] .
(a) Trovare il valore atteso di 3𝑋 + 𝑌 3 .
(b) Determinare la media condizionale 𝐸[𝑋 + 2𝑌 ∣𝑌 ].
(c) Sia 𝑍 = 3𝑌 3 . Determinare VaR(Z) in funzione di VaR(Y).
2
6. Sia 𝑋 ∼ 𝒰[1,4] . Detta 𝑌 = 2𝑋 − 5, determinare:
a) le probabilità 𝑃 (𝑌 < 5), 𝑃 (𝑌 ≤ 0);
b) la densità di probabilità di Y (e disegnarla);
c) il VaR(Y) con soglia 𝛼 = 0.01.
7. Considerare la seguente funzione di due variabili
⎧





⎨
𝑓 (𝑥, 𝑦) = 
(𝑥2 + 𝑘𝑦), per (𝑥, 𝑦) ∈ [0, 1] × [0, 1],
𝑥
,
4




⎩ 0,
per (𝑥, 𝑦) ∈ [0, 1] × (1, 2],
altrimenti.
(a) Determinare il valore della costante 𝑘 per cui tale funzione rappresenta la
densità di probabilità di un vettore aleatorio bivariato.
Fissato tale valore per 𝑘, e un vettore aleatorio (X,Y) con tale densità:
(b) rappresentare, nel piano (x,y), la regione dei valori effettivamente assunti da
(X,Y);
(c) trovare le densità marginali di X e Y e rappresentarle graficamente;
(d) dire se X e Y sono indipendenti, giustificando la risposta;
(e) definita la variabile aleatoria 𝑍 = 2𝑋 + 3, dire qual è l’intervallo dei valori
effettivamente assunti da Z e calcolare la sua funzione densità.
(f) calcolare le probabilità 𝑃 ((𝑋, 𝑌 ) ∈ (0, 0.5) × (0, 0.5)) e 𝑃 (𝑍 > 2).
8. Considerare un mercato uniperiodale in cui sono presenti un titolo risk-free B, con
𝐵0 = 1 e 𝐵1 = 1.5, e un’azione S che segua il modello 𝑆0 = 1 e 𝑆1 = 6; 4; 1 con
rispettive probabilità 𝑝𝑢 = 1/2, 𝑝𝑚 = 1/3, 𝑝𝑑 = 1/6.
(a) Dire se il payoff aleatorio 𝑌1 = 0; 0; 1 è replicabile in funzione di (S;B). Derivarne
conclusioni sulla completezza del mercato (S;B).
3
(b) Determinare la strategia di hedging minimal variance per 𝑌1 e il valore iniziale
e finale del portafoglio cosi costituito. (Si ricordi che le quantità di S e B
costituenti il portafoglio di HMV sono date da 𝑏∗ =
𝑐𝑜𝑣(𝑌1 ,𝑆1 )
𝑉 𝑎𝑟(𝑆1 )
e 𝑎∗ = 𝐸[𝑌1 /𝑚] −
𝑏∗ 𝐸[𝑆1 /𝑚].)
(c) Dire se in mercato è privo di arbitraggi, motivando la risposta. In caso affermativo, determinare tutte le probabilità di martingala Q.
(d) Dare la definizione di prezzo equo e trovare l’intervallo dei prezzi equi per il
payoff 𝑌1 .
(e) Nel mercato (S;B) esistono payoff replicabili? Se sı̀, dare un esempio di un
payoff repilcabile in 𝑡 = 1 con costo nullo in 𝑡 = 0.
9. Calcolare e reppresentare graficamente la Funzione di Ripartizione della variabile
aleatoria 𝑋 che assume i valori
𝑥1 = −1, 𝑥2 = 3, 𝑥3 = 5
con rispettive probabilità
1
1
1
𝑝1 = , 𝑝 2 = , 𝑝 3 = .
3
6
2
10. Considerare la seguente funzione di due variabili
𝑓 (𝑥, 𝑦) =
⎧
1


,

⎨ 4
per (𝑥, 𝑦) ∈ [0, 1] × [0, 2],
per (𝑥, 𝑦) ∈ [2, 3] × [0, 2],



⎩
𝑥
,
10
0,
altrimenti.
Dire se può rappresenare la densità di probabilità di un vettore aleatorio bivariato.
In caso affermativo, detto (X,Y) un vettore aleatorio con tale densità,
(a) individuare, nel piano (x,y), le zone dei valori effettivamente assunti da (X,Y);
(b) trovare le densità di probabilità marginali di X e Y e rappresentarle graficamente (si riconosca la distribuzione di Y tra quelle note);
(c) dire se X e Y sono indipendenti, giustificando la risposta;
4
(d) determinare la probabilità 𝑃 (𝑌 < 1);
(e) determinare la media condizionale 𝐸[𝑋 + 2𝑌 ∣𝑋];
(f) sia 𝑍 = 3𝑌 3 , determinare VaR(Z) con soglia 𝛼 = 0.01;
(g) determinare la densità di probabilità della variabile aleatoria Z definita della
trasformazione 𝑍 = 2𝑋 + 1.
11. Si consideri un mercato uniperiodale in cui sono presenti un titolo risk-free B, con
𝐵0 = 1 e 𝐵1 = 1.5, e un’azione S che segua il modello 𝑆0 = 1.5 e 𝑆1 = 3; 1.5; 0.5 con
rispettive probabilità 𝑝𝑢 = 1/2, 𝑝𝑚 = 1/3, 𝑝𝑑 = 1/6.
(a) Dire se il payoff aleatorio 𝑌1 = 1, 0, 2 è replicabile in funzione di (S;B). Derivarne
conclusioni sulla completezza del mercato (S;B).
(b) Determinare la strategia di hedging minimal variance per 𝑌1 e il valore iniziale
e finale del portafoglio cosi costituito. (Si ricordi che le quantità di S e B
costituenti il portafoglio di HMV sono date da 𝑏∗ =
𝑐𝑜𝑣(𝑌1 ,𝑆1 )
𝑉 𝑎𝑟(𝑆1 )
e 𝑎∗ = 𝐸[𝑌1 /𝑚] −
𝑏∗ 𝐸[𝑆1 /𝑚].)
(c) Dire se il mercato è privo di arbitraggi, motivando la risposta. In caso affermativo, determinare tutte le probabilità di martingala Q.
(d) Determinare l’intervallo dei prezzi equi per il payoff 𝑌1 .
12. Si consideri un mercato uniperiodale in cui sono presenti un titolo risk-free B, con
𝐵0 = 1 e 𝐵1 = 1.5, e un’azione S che segua il modello 𝑆0 = 3 e 𝑆1 = 6; 3; 1 con
rispettive probabilità 𝑝𝑢 = 1/6, 𝑝𝑚 = 1/3, 𝑝𝑑 = 1/2.
(a) Dire se il payoff aleatorio 𝑌1 = (1; 0; 0) è replicabile in funzione di S e B.
Derivarne conclusioni sulla completezza del mercato (S,B).
(b) Determinare la strategia di hedging minimal variance per 𝑌1 e il valore iniziale
e finale del portafoglio cosi costituito. (Si ricordi che le quantità di S e B
costituenti il portafoglio di HMV sono date da 𝑏∗ =
𝐶𝑜𝑣(𝑌1 ,𝑆1 )
𝑉 𝑎𝑟(𝑆1 )
e 𝑎∗ = 𝐸[𝑌1 /𝑚]−
𝑏∗ 𝐸[𝑆1 /𝑚].)
(c) Dire se il mercato è privo di arbitraggi, motivando la risposta. In caso affermativo, determinare tutte le probabilità di martingala Q.
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(d) Determinare l’intervallo dei prezzi equi per il payoff 𝑌1 .
13. Considerare la seguente funzione di due variabili
𝑓 (𝑥, 𝑦) =
⎧



⎨
𝑐(𝑥 + 𝑦 2 ), per (𝑥, 𝑦) ∈ [0, 1] × [0, 1],
1
,
6



⎩ 0,
per (𝑥, 𝑦) ∈ [0, 1] × [2, 5],
altrimenti.
(a) Determinare il valore della costante 𝑐 per cui tale funzione rappresenta la densità di probabilità di un vettore aleatorio bivariato.
Fissato tale valore per 𝑐, e un vettore aleatorio (X,Y) con tale densità,
(b) individuare, nel piano (x,y), la regione dei valori effettivamente assunti da
(X,Y);
(c) trovare le densità marginali di X e Y e rappresentarle graficamente;
(d) dire se X e Y sono indipendenti, giustificando la risposta;
(e) calcolare la probabilità 𝑃 ((𝑋, 𝑌 ) ∈ (0, 0.5) × (0, 0.5)).
14. Si consideri un mercato uniperiodale in cui sono presenti un titolo risk-free B, con
𝐵0 = 1 e 𝐵1 = 2, e un’azione S che segua il modello 𝑆0 = 1 e 𝑆1 = 6; 4; 1 con
rispettive probabilità 𝑝𝑢 = 1/6, 𝑝𝑚 = 1/3, 𝑝𝑑 = 1/2.
(a) Dire se il payoff aleatorio 𝑌1 = 1, 0, 2 è replicabile in funzione di (S;B). Derivarne
conclusioni sulla completezza del mercato (S;B).
(b) Determinare la strategia di hedging minimal variance per 𝑌1 e il valore iniziale
e finale del portafoglio cosi costituito. (Si ricordi che le quantità di S e B
costituenti il portafoglio di HMV sono date da 𝑏∗ =
𝑐𝑜𝑣(𝑌1 ,𝑆1 )
𝑉 𝑎𝑟(𝑆1 )
e 𝑎∗ = 𝐸[𝑌1 /𝑚] −
𝑏∗ 𝐸[𝑆1 /𝑚].)
(c) Dire se in mercato è privo di arbitraggi, motivando la risposta. In caso affermativo, determinare tutte le probabilità di martingala Q.
(d) Dare la definizione di prezzo equo e trovare l’intervallo dei prezzi equi per il
payoff 𝑌1 .
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(e) Nel mercato (S;B) esistono payoff replicabili? Se s, dare un esempio di payoff
repilcabile.
15. Si consideri un mercato uniperiodale in cui sono presenti un titolo risk-free B, con
𝐵0 = 1 e 𝐵1 = 1.5, e un’azione S che segua il modello 𝑆0 = 2 e 𝑆1 = 5; 2; 1 con
rispettive probabilità 𝑝𝑢 = 1/4; 𝑝𝑚 = 1/2; 𝑝𝑑 = 1/4.
(a) Dire se i payoff aleatori 𝑌1 = 1; 1; 2 e 𝑍1 = 4; 1; 0 sono replicabili in funzione di
S e B, e derivarne conclusioni sulla completezza del mercato (S,B). In caso di
replicabilità, determinare la strategia replicante.
(b) Dare la definizione di arbitraggio e dire se il mercato è privo di arbitraggi,
motivando la risposta. In caso affermativo, determinare tutte le probabilità di
martingala Q.
(c) Trovare i prezzi equi per i payoff 𝑌1 e 𝑍1 rispettivamente.
16. Dire quale tra le seguenti può rappresentare la funzione di ripartizione di una variabile aleatoria:
𝐹1 (𝑥) =
⎧


0,




𝑥3 +1


,

3



⎨ 1,












⎩
3
1
+ 𝑙𝑛(𝑥)
,
3
6
2
,
3
𝑥 ≤ −1,
𝑥 ∈ (−1, 0),
𝑥 ∈ [0, 1],
𝑥 ∈ (1, 𝑒2 ),
𝑥 ∈ [𝑒2 , 10),
𝐹2 (𝑥) =
⎧


0,




⎨ 𝑥2 +1 ,
3
1


,

3



⎩ 1,
𝑥 ≤ −1,
𝑥 ∈ (−1, 0),
𝑥 ∈ [0, 1),
𝐹3 (𝑥) =
𝑥 ∈ [1, ∞).
𝑥 ∈ [10, ∞).
1,
⎧


0,




𝑥3 +1


,

⎨ 3









⎩
𝑥 ≤ −1,
𝑥 ∈ (−1, 0),
1
,
3
1
+ 𝑙𝑛(𝑥)
,
3
3
𝑥 ∈ (1, 𝑒],
1,
𝑥 ∈ (𝑒, ∞).
𝑥 ∈ [0, 1],
Si giustifichi la risposta, ricordando le proprietà caratterizzanti le funzioni di ripartizione.
Detta 𝐹𝑋 tale funzione e X una variabile aleatoria che la ammette come FdR,
(a) individuare l’insieme dei valori effettivamente assunti da X e rappresentare
graficamente 𝐹𝑋 ;
(b) dire se X è assolutamente continua, giustificando la risposta;
(c) calcolare le probabilità 𝑃 (𝑋 ≤ 1∣𝑋 ≤ 2) e 𝑃 (𝑋 ∈ 𝐴), per 𝐴 = {0, 𝑒, 10};
(d) determinare il quantile di X al livello 𝛼 = 23 .
7
17. Siano X e Y variabili aleatorie indipendenti, con distribuzioni 𝑋 ∼ exp(3) e 𝑌 ∼
𝒰[1,4] .
1. Determinare la media 𝐸[𝑋 + 2𝑌 2 ] e la media condizionale 𝐸[𝑋 + 2𝑌 2 ∣𝑌 ].
2. Sia 𝑀 = −2𝑙𝑛(5𝑋). Dire quali sono i valori effettivamente assunti da M e
determinare la densità di probabilità di M.
3. Sia 𝑍 = 𝑌 3 + 2 e 𝛼 = 0.02. Dire quali sono i valori effettivamente assunti da Z
e scrivere 𝑉 𝑎𝑅𝛼 (𝑍) in funzione di 𝑉 𝑎𝑟𝛼 (𝑌 ).
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