Geometria - MATEMATICAeSCUOLA

Geometria
Il cerchio, la circonferenza e loro parti
Problema1
Nota la misura 2a della corda AB di una circonferenza e la misura b della saetta (freccia) del minore
AB e l’area del
dei due archi sottesi dalla corda AB, calcolare la lunghezza dell’arco corrispondente settore circolare.
Soluzione
Facciamo riferimento alla figura riportata a lato.
La saetta dell’arco AB è il segmento HM, essendo H ed M
rispettivamente i due punti di intersezione della
perpendicolare condotta per il centro C della circonferenza
AB .
alla corda AB con quest’ultima e l’arco Dalle ipotesi fornite sappiamo che AB = 2a e HM = b .
Abbiamo indicato:
, metà dell’angolo del settore ACB
;
con α l’angolo ACM
con r la misura del raggio della circonferenza;
con s la misura del segmento CH.
Osserviamo che applicando il teorema di Pitagora al triangolo
rettangolo ACH si ha
2
2
2
AH + CH = AC → a 2 + s 2 = r 2 .
(1)
Inoltre sussiste l’uguaglianza CH + HM = CM → s + b = r
(2)
Risolvendo il sistema formato dalle equazioni (1), (2) si trova la misura s.
a 2 + s 2 = r 2
a2 − b2
→
s
=

2b
s + b = r
Dal triangolo rettangolo ACH si deduce anche che
AH
2ab
 2ab 
tgα =
= 2
, da cui α = arctg  2 2  .
2
CH a − b
 a −b 
Pertanto l’angolo di apertura del settore circolare in funzione delle misure fornite è
= 2arctg  2ab  .
ACB
 2
2 
 a −b 
Lunghezza dell’arco AB e valore dell’area del settore.
Ricordiamo a questo punto che nota l’ampiezza ω in radianti dell’angolo al centro del settore e la
misura del raggio della circonferenza cui appartiene il settore, la misura l dell’arco corrispondente è
l = ωr
(3)
mentre l’area del settore è
1
1
Area = lr = ω r 2 .
(4)
2
2
Ponendo nella (3) e nella (4)
 2ab 
ω = 2arctg  2 2 
 a −b 
di ottengono i due valori richiesti dal problema.
1
Problema richiesto dall’utente del sito P. Del Bianco.
Luigi Lecci: www.matematicaescuola.it