il pendolo - liceo bonghi

Ministero della Pubblica Istruzione
Unione Europea
Dipartimento per la Programmazione
Fondo Sociale Europeo Direzione Generale per gli Affari Internazionali
P.O.N. Ufficio V “Competenze per lo sviluppo”
Con l’Europa, investiamo nel vostro futuro
LICEO CLASSICO “R. BONGHI” (SEZIONE SCIENTIFICA ANNESSA) Viale Ferrovia, 19 ‐ 71036 LUCERA (FG) Progetto “FISICA IN LABORATORIO”- Codice C-1-FSE-2007-1472
Alunni: Beccia , Mantini, Marella IL PENDOLO
•
Obiettivi:
1. Verifica dell’isocronismo del pendolo (per piccole oscillazioni),
2. della dipendenza del suo periodo dalla lunghezza,
3. misura dell’accelerazione di gravità.
•
Richiami teorici:
• Un pendolo semplice è costituito da una sferetta di massa m
appesa ad un filo flessibile, inestensibile, di massa trascurabile
e di lunghezza l, fissato all’altro estremo ad un sostegno. La
posizione d’equilibrio O del pendolo è quella nella quale il
centro di sospensione, il filo teso e il centro della massa m sono
allineati lungo la verticale. Quando si sposta la sferetta dalla
sua posizione di equilibrio O e poi la si abbandona in un punto
A,
essa
esegue
oscillazioni
periodiche
attorno
ad
O
descrivendo un arco AB (B è il punto in cui la sferetta inverte il
moto).
• Il periodo del pendolo è il tempo che esso impiega a
compiere una oscillazione completa, cioè a percorrere due
volte l’arco AB (in andata e in ritorno) tornando nella posizione
da cui è partito e nelle stesse condizioni di movimento.
Quando l’ampiezza delle oscillazioni è piuttosto piccola
(minore di circa 5 gradi), la sferetta si muove di periodo
indipendente
dall’ampiezza
dell’oscillazione
medesima
(isocronismo del pendolo); in tal caso il moto del pendolo può
essere considerato un moto armonico semplice.
Variando la lunghezza l del filo cambia il periodo T secondo la
relazione
T = 2π
l
g
(1)
dove g è l'accelerazione di gravità.
•
Strumenti e materiali adoperati
o Pendolo: costituito da un supporto rigido a
forma di T, un filo inestensibile di nilon
all’estremità del quale viene agganciata
una massa;
o Cronometro
o Asta metrica
Parte preliminare: verifica sperimentale dell’isocronismo.
Poiché il periodo cresce con la lunghezza del pendolo, in
questa parte dell’esperienza, abbiamo effettuato le prove con
un pendolo lungo circa 1m; in questo modo gli errori relativi
alla misura sono più piccoli.
In secondo luogo conviene fissare la posizione di partenza e di
arresto della misura al centro dell’oscillazione, anziché ad uno
degli estremi; in questo modo è più facile stabilire quando
avviene il passaggio dalla posizione centrale.
Per provare l’isocronismo abbiamo misurato il periodo di una
singola oscillazione, ripetendo la misura man mano che
l’ampiezza di oscillazione diminuiva.
Per far regolarizzare il moto si è aspettato qualche oscillazioni e
poi abbiamo cronometrato il tempo di una singola oscillazione.
Non abbiamo arrestato il moto, ma abbiamo lasciato oscillare il
pendolo, così che l’ampiezza si è ridotta, e poi abbiamo
eseguito un’altra misura del periodo.
In questo modo abbiamo raccolto una decina di rilevamenti.
n. l
(m) T (s)
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
2,00
2,01
1,99
2,00
1,99
2,01
2,00
2,00
1,97
1,99
Analisi dei risultati: Calcoliamo la media dei valori rilevati
10
Tmedio =
∑T
i
= 2,00 s
10
il dispositivo da noi realizzato è buono poiché il periodo di
i =1
oscillazione è indipendente dall’ampiezza; le differenze dei
singoli valori dalla media sono contenuti entro un margine di
0,03 s in più o in meno, margine che possiamo attribuire
all’errore di sincronismo compiuto nell’azionare il cronometro.
Seconda parte: misura del periodo; dipendenza del periodo dalla lunghezza.
Avendo accertato l’isocronismo, per calcolare il periodo è
sufficiente contare N oscillazioni e misurare la durata totale TN.
In tal modo si riduce l’errore, in quanto la durata totale TN degli
N periodi è affetta da un errore massimo ΔT uguale a quello
che si compie nella misura di un singolo periodo, mentre
l’errore massimo sulla misura di un singolo periodo sarà ΔT/N.
n. l (m)
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
Analisi dei valori:
TN (s)
0,1
0,2
0,3
0,4
0,5
0,6
0,7
0,8
0,9
1,0
1,1
1,2
6,50
9,00
11,00
12,68
14,22
15,52
16,81
18,01
19,00
20,00
21,08
22,01
Elevando al quadrato la relazione (1) otteniamo
T
2
= 4π
2
l
= k ⋅l
g
(2)
dove k=4π2/g. Pertanto la relazione che intercorre tra il
quadrato del periodo del pendolo e la sua lunghezza è di tipo
lineare.
n. l (m)
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 0,1
0,2
0,3
0,4
0,5
0,6
0,7
0,8
0,9
1,0
1,1
1,2
T (s)
0,650
0,900
1,100
1,268
1,422
1,552
1,681
1,801
1,900
2,000
2,108
2,201
T2 (s2) k=T2/l (s2/m)
0,4225
0,8100
1,2100
1,6078
2,0221
2,4087
2,8258
3,2436
3,6100
4,0000
4,4437
4,8444
4,225 4,050 4,033 4,020 4,044 4,015 4,037 4,055 4,011 4,000 4,040 4,037 Il valor medio di k è 12
k medio =
∑k
i =1
i
12
= 4,047 s2/m poiché abbiamo diversi valori del rapporto k, possiamo
calcolare la deviazione standard utilizzando la relazione
seguente:
12
σ=
∑ (k
i =1
i
− k medio ) 2
11
= 0,058 s2/m. La (2) è una funzione lineare che può essere determinata con il
metodo dei minimi quadrati scegliendo come variabile
indipendente (x) la lunghezza del pendolo, perché è affetta da
meno errori. La misura di T, invece, viene inficiata dal tempo di
reazione dello sperimentatore, dall’errore dello strumento
(cronometro), da eventuali correnti d’aria in laboratorio, da un
eventuale urto del tavolino ecc …. Con l’ausilio del foglio di
calcolo Excel calcoliamo la retta dei minimi quadrati.
Notiamo che k=4,019 s2/m appartiene all’intervallo
] k medio ‐ σ,k medio + σ [=]3,989 ; 4,106[. Terza parte: misurazione dell’accelerazione di gravità.
Il pendolo semplice può essere impiegato per determinare
l’accelerazione di gravità del luogo dove si esegue l’esperienza.
Infatti dalla (2) si ricava
g=
4π 2 l
T2
L’errore assoluto su g è
ΔT ⎞
⎛ Δl
Δg = g ⎜ + 2
⎟
T ⎠
⎝ l
da cui, compilando la seguente tabella, si nota che il valore
g=9,8 m/s2 appartiene a ciascun intervallo.
n. l (m)
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1 1,1 1,2 T2 (s2) g=4π2l/T2 (m/s2)
0,4225 0,8100 1,2100 1,6078 2,0221 2,4087 2,8258 3,2436 3,6100 4,0000 4,4437 4,8444 Δg
9,33
9,74
9,78
9,81
9,75
9,82
9,77
9,73
9,83
9,86
9,76
9,77
0,96
0,51
0,34
0,26
0,21
0,18
0,15
0,13
0,12
0,11
0,10
0,09
g - Δg g +Δg 8,37 9,23 9,43 9,55 9,54 9,65 9,62 9,59 9,71 9,75 9,66 9,68 10,30 10,25 10,12 10,07 9,96 10,00 9,92 9,86 9,95 9,97 9,86 9,86