IL PENDOLO DI FOUCAULT

IL PENDOLO DI FOUCAULT∗
Filippo Busato
6 ottobre 2005
Il Pendolo
“Fu allora che vidi il Pendolo. La sfera, mobile all’estremità di un lungo filo fissato alla
volta del coro, descriveva le sue ampie oscillazioni con isocrona maestà. Io sapevo chiunque avrebbe dovuto avvertire nell’incanto di quel placido respiro - che il periodo era
regolato dal rapporto tra la radice quadrata della lunghezza del filo e quel numero π che,
irrazionale alle menti sublunari, per divina ragione lega necessariamente la circonferenza
al diametro di tutti i cerchi possibili - cosı̀ che il tempo di quel vagare di una sfera
dall’uno all’altro polo era effetto di una arcana cospirazione tra le più intemporali delle
misure, l’unità del punto di sospensione, la dualità di una astratta dimensione, la natura
ternaria di π, il tetragono segreto della radice, la perfezione del cerchio. Ancora sapevo
che sulla verticale del punto di sospensione, alla base, un dispositivo magnetico,
comunicando il suo richiamo a un cilindro nascosto nel cuore della sfera, garantiva la
costanza del moto, artificio disposto a contrastare le resistenze della materia, ma che
non si opponeva alla legge del Pendolo, anzi le permetteva di manifestarsi, perché nel
vuoto qualsiasi punto materiale pesante, sospeso all’estremità di un filo inestensibile e
senza peso, che non subisse la resistenza dell’aria, e non facesse attrito col suo punto
d’appoggio, avrebbe oscillato in modo regolare per l’eternità.”
da “Il Pendolo di Foucault” di Umberto Eco
L’equazione del Pendolo
Il Pendolo “classico”, semplificato per piccole oscillazioni1 si studia con l’equazione
ẍ = −ω 2 x
∗ questo
(1)
documento è stato preparato con LATEX.
P+∞
i θ 2i+1 ' θ − θ 3 , quindi per 0.07 rad di elongazione (∼ 4◦ , quindi 8◦ di ampiezza
che sin θ =
i=0 (−1)
i!
3!
dell’oscillazione) l’errore di approssimazione sin θ ' θ è inferiore al millesimo, mentre per 0.24 rad di elongazione (∼ 14◦ ,
più di 13 m di ampiezza sul piano, per un pendolo di 30 m) è inferiore al centesimo.
1 ricordiamo
1
Filippo Busato
2
Il primo problema che ci poniamo non è quello di studiare il moto del pendolo per
grandi oscillazioni, piuttosto quello di comprendere la rotazione apparente del suo piano
di oscillazione. Il piano di oscillazione tende a rimanere costante rispetto allo spazio,
quindi a ruotare rispetto alla terra. In particolare, al polo nord geografico, tale piano
ruoterà rispetto alla terra in senso orario (contrario alla rotazione terrestre) compiendo
una rotazione completa in 24 h. Se la velocità di rotazione del pendolo al polo è Ω, ad
una generica latitudine α il piano di rotazione del pendolo avrà una velocità di rotazione
pari a
Ωz = Ω sin α
~ = (Ωx , Ωy , Ωz ).
considerando Ω
Il nostro obiettivo è ora quello di descrivere la curva che il pendolo descrive, considerando il suo moto proiettato sul piano orizzontale x − y. Il moto del pendolo rispetto alla
superficie terrestre risulta quindi una composizione della sua oscillazione sul piano e con
la rotazione del piano stesso.
Il pendolo non sentirà solo la forza di richiamo, ma anche la forza di Coriolis,
~ ∧ ~v
F~c = −2m · Ω
dove ~v = (ẋ, ẏ, ż).
~ ∧ ~v altro non è che il determinante della matrice
Il prodotto Ω


~i ~j ~k
~ ∧ ~v = det  Ωx Ωy Ωz 
Ω
ẋ ẏ ż
e quindi risulta
~ ∧ ~v = ~i(Ωy ż − Ωz ẏ) − ~j(Ωx ż − Ωz ẋ) + ~k(Ωx ẏ − Ωy ẋ)
Ω
Dato che per piccole oscillazioni ż ' 0, nelle due dimensioni le equazioni del pendolo
diventano
mẍ = −mω 2 x + 2mΩz ẏ
mÿ = −mω 2 y − 2mΩz ẋ
Sommando alla prima la seconda moltiplicata per i, le due equazioni possono essere
facilmente ricomposte, ponendo ζ(t) = x(t) + iy(t), in
ζ̈ + 2iΩz ζ̇ + ω 2 ζ = 0
la cui equazione algebrica associata
λ2 + 2iΩz λ + ω 2 = 0
ha soluzione
(2)
Filippo Busato
3
p
λ1,2 = −i Ωz ± Ω2z + ω 2
La soluzione generale dell’equazione 2, può essere scritta come
ζ(t) = Aeλ1 t + Beλ2 t
ma ancora più semplicemente come
√
√
−iΩz t
−i Ω2z +ω 2 ·t
i Ω2z +ω 2 ·t
ζ(t) = e
Ae
+ Be
(3)
quindi
p
p
ζ(t) = e−iΩz t (A + B) cos
Ω2z + ω 2 · t + i(B − A) sin
Ω2z + ω 2 · t
(4)
Le condizioni al contorno possono essere scelte in maniera semplice
ζ(0) = x0
ζ̇(0) = 0
Dalla prima ricaviamo
A + B = x0
e, derivando la 4 rispetto al tempo otteniamo
ζ̇(t) = e−iΩz t
p
Ω2z + ω 2 ·
−(A + B) sin
p
Ω2z
+
ω2
p
2
2
· t + i(B − A) cos
Ωz + ω · t
− iΩz ζ(t) (5)
da cui, introducendo la seconda condizione, otteniamo
B−A= p
x 0 Ωz
Ω2z + ω 2
La soluzione finale cercata può dunque essere espressa come
ζ(t) = e−iΩz t x0 cos
p
p
x 0 Ωz
Ω2z + ω 2 · t + i p
sin
Ω2z + ω 2 · t
Ω2z + ω 2
!
(6)
Filippo Busato
4
Osservazioni
Vale la pena spendere una riflessione sul significato dei termini dell’equazione 6. Il
primo è un vettore rotante con velocità angolare (al polo nord) Ωz = 2π/86400 rad/s
(∼ 7 · 10−5 , periodo 86400 s), e rappresenta di fatto la rotazione del piano di oscillazione
del pendolo.
p
La frequenza di oscillazione del pendolo è invece Ω2z + ω 2 , di poco superiore a ω,
frequenza calcolata nel caso semplificato. Tale frequenza, di molto superiore a quella di
rotazione del piano di oscillazione, corrisponde a un periodo di circa 10 s per un pendolo
di 30 m, sulla Terra.