GEOMETRIA 1) Determinare il punto P appartenente al piano (x,y

GEOMETRIA
1) Determinare il punto P appartenente al piano (x,y) ed equidistante da
A (1,0,3) , da B (0,3,1) , da C (0,0,2).
2) Verificare che la retta r congiungente i due punti P (1,2,3) e Q (1,4,5) è
perpendicolare all’asse x e non incontra tale asse .
3) Dati i quattro punti: H (3,4,5) , K (9,12,15) , L (5,5,3) , M (13,14,11)
verificare che le rette HL e KM sono parallele.
4) Dati i punti P (1,1,1) e Q 1,0,-5) determinare le loro distanze dal piano
α : 2x − 2 y + z + 3 = 0 .
Trovare anche il punto H proiezione ortogonale di P sul piano α .
(suggerimento: H è l’intersezione tra il piano α e la retta ortogonale ad α e
passante per il punto P )
5) Fascio proprio di piani: data una retta r il fascio è costituito da tutti e soli i
piani che contengono r. L’equazione di tale fascio si ottiene scrivendo una
combinazione lineare di due di questi piani.
Esempio. Scrivere l’equazione del fascio di piani contenenti la retta di
equazioni:
x+ y−z =0
2 x − 3 y + 4 z + 1 = 0

r: 
equazione del fascio:
λ ( x + y − z ) + µ (2 x − 3 y + 4 z + 1) = 0
se poi si suppone λ ≠ 0 e si divide per λ si riesce ad esprimere il generico
piano del fascio attraverso un unico parametro k =
del fascio risulta:
µ
λ
e quindi l’equazione
x + y − z + k (2 x − 3 y + 4 z + 1) = 0
(considerare λ ≠ 0 significa perdere ,nell’equazione scritta con il solo
parametro k , il piano 2 x − 3 y + 4 z + 1 = 0 )
x+ y−z =0
2 x − 3 y + 4 z + 1 = 0

6) Determinare il piano contenente il punto P (0,0,1) e la retta r : 
(suggerimento: usare l’equazione del fascio di piani al punto 5 )
7) Scrivere l’equazione del piano π che passa per la retta comune ai piani
2 x + y − 3 z + 2 = 0 e 4 x − 5 y + z − 1 = 0 , ed è parallelo all’asse x
(suggerimento: usare il fascio di piani)
3 x − 5 y + z = 0
 x − 3 y + 11 = 0
8) Scrivere l’equazione del piano π che contiene la retta r : 
perpendicolare al piano α : x − 2 y + z − 6 = 0 .
ed è
3 x − 5 y + z = 0
 x − 3 y + 11 = 0
9) Scrivere l’equazione della retta r1 che è proiezione ortogonale di r : 
sul piano α : x − 2 y + z − 6 = 0 .
(suggerimento: r1 è l’intersezione tra α e il piano π determinato nell’esercizio 8).
10) Determinare il punto H proiezione ortogonale del punto P (-1,1,1) sulla retta
x + y = 0
z − x = 0
r :
Calcolare anche la distanza di P da r.
(suggerimento: H è l’intersezione tra r e il piano α ortogonale a r e passante per P).
11)Trovare l’equazione del piano passante per i punti A (1,0,0) , B (0,2,0) , C (0,0,-1)
12) Verificare se le rette delle seguenti coppie sono parallele, sghembe o incidenti:
 x = 1+ t
s1 :  y = 2 − t
 z = 1+ t

 x = 2s
s2 :  y = 1 + s
 z = 3 − 2s

r1 :  x − y − z = 0
r2 : 
 2x + y = 0
x + y + z = 0
x − y − z = 0
13) Costruire le equazioni di due rette ortogonali e incidenti e le equazioni di due
rette ortogonali e sghembe.
14) Dati i vettori v1= (1,2,3) e v2=(1,1,1) costruire il vettore v3 che sia la proiezione
ortogonale di v1 sulla retta di v2 .
(v3 è la componente di v1 nella direzione di v2).
Costruire poi il vettore v1-v3 e verificare che è ortogonale a v2.
15) Dato il piano α : x − 2 y + 2 z = 0 costruire una base ortonormale di R 3 formata dai
vettori u1 , u2 , u3 , in modo che i vettori u1 , u2 formino una base ortonormale di α .
(da svolgere dopo la lezione del 10 gennaio)