Quesito 2 Dimostrare che il volume del tronco di

Quesito 2
Dimostrare che il volume del tronco di cono è espresso dalla formula:
𝑉=
1
𝜋ℎ(𝑅 2 + 𝑟 2 + 𝑅𝑟)
3
Dove R e r sono i raggi e h è l’altezza.
Svolgimento
Il tronco di cono si ottiene dalla rotazione intorno all’asse delle ascisse del trapezio di figura.
Troviamo l’equazione della retta sostegno del lato obliquo. Scriviamo l’equazione di una retta
generica:
𝑦 = 𝑚𝑥 + 𝑞
Imponiamo il passaggio per i punti (0, r) e (h, R). Otteniamo il sistema:
𝑞=𝑟
𝑟=𝑞
𝑞=𝑟
{
→ {
→ {
𝑅−𝑟
𝑅 = 𝑚ℎ + 𝑞
𝑚=
𝑚ℎ = 𝑅 − 𝑟
ℎ
Quindi:
𝑦=
𝑅−𝑟
𝑥+𝑟
ℎ
Il volume è dato dalla relazione:
ℎ
2
𝑅−𝑟
𝑉 = ∫𝜋(
𝑥 + 𝑟) 𝑑𝑥 =
ℎ
0
ℎ
(𝑅 − 𝑟)2 2
(𝑅 − 𝑟)
= 𝜋∫[
𝑥
+
2
𝑟𝑥 + 𝑟 2 ] 𝑑𝑥 =
ℎ2
ℎ
0
= 𝜋[
(𝑅 − 𝑟)2 𝑥 3
(𝑅 − 𝑟)𝑟 𝑥 2
ℎ
+
2
+ 𝑟 2 𝑥] ⌊ =
2
ℎ
3
ℎ
2
0
1
(𝑅 − 𝑟)2 ℎ3 (𝑅 − 𝑟)𝑟 2
= 𝜋[
+
ℎ + 𝑟 2 ℎ] =
ℎ2
3
ℎ
(𝑅 − 𝑟)2
𝜋
= 𝜋[
ℎ + (𝑅 − 𝑟)𝑟ℎ + 𝑟 2 ℎ] = ℎ(𝑅 2 − 2𝑅𝑟 + 𝑟 2 + 3𝑅𝑟 − 3𝑟 2 + 3𝑟 2 ) =
3
3
=
𝜋
ℎ(𝑅 2 + 𝑅𝑟 + 𝑟 2 )
3
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Matilde Consales
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