Simmetria assiale Siano a una retta e v = (l, m) un vettore in A 2(R

Simmetria assiale
Siano a una retta e ~v = (l, m) un vettore in A2 (R) (direzione di a non sia
proporzionale a ~v ).
Definizione
La simmetria assiale di asse a e direzione ~v è la funzione:
A2 (R) −→ A2 (R)
σa :
,
P 7−→ P 0
con P 0 simmetrico di P nella simmetria centrale che ha come centro
l’intersezione tra a e la retta passante per P di direzione ~v .
Simmetria assiale
Esercizio 4.
Date la retta a : x − y = 0 e il vettore ~v = (1; 2), determinare:
a) il punto simmetrico rispetto ad a nella direzione ~v di P(1; 0);
b) la retta simmetrica rispetto ad a nella direzione ~v di r : x + y = −1.
Compiti.
Sia C (−2; 0) e siano a e b due rette di equazioni:
a : 2x + y + 1 = 0,
b : x −y +2=0
Determinare le equazioni parametriche e cartesiana delle seguenti rette:
a) retta passante per P(3; 5) e Q(9; 7); [x − 3y + 12 = 0]
b) retta passante per il punto di intersezione tra a e b e parallela alla
retta di equazione: x + 2y − 4 = 0; [x + 2y − 1 = 0]
c) retta simmetrica della retta a rispetto al punto C ;[2x + y + 7 = 0]
d) retta simmetrica della retta b rispetto al punto C ;[x − y + 2 = 0]
e) retta simmetrica della retta a rispetto all’asse y in direzione
~v = (3; 2). [10x − 3y − 3 = 0]
Fasci di rette nel piano affine
Definizione
Data una retta r0 di equazione a0 x + b0 y + c0 = 0, si chiama fascio
improprio di sostegno r0 la totalità delle rette parallele a r0 , inclusa r0 .
Fr0 : a0 x + b0 y + k = 0,
k ∈R
Esercizio 5.
a) Scrivere un’equazione del fascio di rette individuato da
r : x +y −3=0
ed
s : 2x + 2y − 3 = 0.
b) Determinare tutte le equazioni delle rette aventi parametri direttori
[(−2; 1)].
c) Vedi Esercizio 1. c): scrivere un’equazione della retta passante per il
punto C (−2; 3) e parallela alla retta s di equazioni
x =1+t
s :
, t ∈ R.
y = 4 − 2t
Fasci di rette nel piano affine
Definizione
Sia P(x, y ) un punto in A2 (R). Si chiama fascio proprio di centro P la
totalità delle rette passanti per P.
Se r0 : a0 x + b0 y + c0 = 0 e r1 : a1 x + b1 y + c1 = 0 sono due rette
(distinte) per P, allora
FP : λ(a0 x +b0 y +c0 )+µ(a1 x +b1 y +c1 ) = 0,
λ, µ ∈ R, (λ; µ) 6= (0; 0).
Esercizio 6.
Scrivere un’equazione del fascio individuate dalle rette
r : x +y =0
e stabilirne la natura.
ed
s : x −5=0
Esercizio 7.
Dato il fascio Fk : (1 + k)x + (1 − k)y + 2k − 1 = 0, k ∈ R,
a) stabilire la natura del fascio.
Successivamente individuare un’equazione per la retta del fascio che
b) passa per A(1; 1);
c) è parallelela alla retta r di equazione 2x − y + 4 = 0;
d) appartiene anche al fascio proprio
F 0 : x − 5 + h(x − y + 2) = 0, h ∈ R.
Esercizio 8.
a) Scrivere un’equazione per il fascio F individuato dall’asse x e dalla
retta r di equazione r : x + y = 1.
b) Determinare un’equazione della retta del fascio F passante per
A(0; 2) e un’equazione della retta di F passante per B(2; 0).
c) Verifica che la retta s =rt(A, B) non appartiene al fascio F e scrivere
un’equazione per il fascio improprio F 0 di sostegno la retta s.
Esercizio 9.
Data la famiglia di rette di equazione
F : (k 2 + k)x − 2(k − 1)y + 4 = 0, k ∈ R,
(a) determinare le equazioni delle rette di F che sono parallele agli assi
del sistema di riferimento;
(b) verificare che per ogni punto del piano passano al più due rette
(reali) di F.
Esercizio 10.
Dare interpretazione geometrica nel piano
sistema

 x + hy = 1
x −y =h−1

(2h + 1)x + y = 2
affine reale della risoluzione del
(r )
(s) ,
(t)
h ∈ R.
Luoghi geometrici - Esercizio 11.
Determinare l’equazione cartesiana del luogo geometrico descritto dai
punti medi dei segmenti i cui estremi appartengono alle rette
r : x + 3y = 2
ed
s : x + 3y = 4.
Esercizio 12.
Data la curva C : y = x 2 , determinare l’equazione cartesiana del luogo
dei punti simmetrici dei punti di C rispetto alla retta a : x + y = 0 nella
direzione ~v = e~1 + 2e~2 .
Compiti.
a) Interpretare geometricamente il sistema:

(r )
 x − 2y = −2
x +y =k +4
(s) ,

kx + y = 2
(t)
k ∈ R.
[k = −7/2: punto comune: (−1/3; 5/6); k = −1/2 : r k t, s
incidente r e t; k = 0: punto comune: (2; 2); k = 1 : s k t, r
incidente s e t. Altri casi: a due a due incidenti. ]
b) Es. 1 d) del TEMA ESAME del 22 marzo 2011.
Sia γ la curva di equazione: x 2 + y 2 = 4. Determinare un’equazione
per il luogo dei punti simmetrici di P(0; 4) rispetto ai punti di γ.
[x 2 + y 2 + 8y = 0]
c) Date le rette s e t di equazioni: s : y + 1 = 0
e
t : x = 0,
sia r la generica retta del fascio proprio FC di centro C (2; 1). Siano
inoltre A = r ∩ s e B = r ∩ t e M punto medio tra A e B.
Determinare un’equazione cartesiana del luogo descritto da M al
variare di r nel fascio FC . [y = 1/(x − 1)]
Compiti.
a) Interpretare geometricamente il sistema:

(r )
 x − 2y = −2
x +y =k +4
(s) ,

kx + y = 2
(t)
k ∈ R.
[k = −7/2: punto comune: (−1/3; 5/6); k = −1/2 : r k t, s
incidente r e t; k = 0: punto comune: (2; 2); k = 1 : s k t, r
incidente s e t. Altri casi: a due a due incidenti. ]
b) Es. 1 d) del TEMA ESAME del 22 marzo 2011.
Sia γ la curva di equazione: x 2 + y 2 = 4. Determinare un’equazione
per il luogo dei punti simmetrici di P(0; 4) rispetto ai punti di γ.
[x 2 + y 2 + 8y = 0]
c) Date le rette s e t di equazioni: s : y + 1 = 0
e
t : x = 0,
sia r la generica retta del fascio proprio FC di centro C (2; 1). Siano
inoltre A = r ∩ s e B = r ∩ t e M punto medio tra A e B.
Determinare un’equazione cartesiana del luogo descritto da M al
variare di r nel fascio FC . [y = 1/(x − 1)]
Compiti.
a) Interpretare geometricamente il sistema:

(r )
 x − 2y = −2
x +y =k +4
(s) ,

kx + y = 2
(t)
k ∈ R.
[k = −7/2: punto comune: (−1/3; 5/6); k = −1/2 : r k t, s
incidente r e t; k = 0: punto comune: (2; 2); k = 1 : s k t, r
incidente s e t. Altri casi: a due a due incidenti. ]
b) Es. 1 d) del TEMA ESAME del 22 marzo 2011.
Sia γ la curva di equazione: x 2 + y 2 = 4. Determinare un’equazione
per il luogo dei punti simmetrici di P(0; 4) rispetto ai punti di γ.
[x 2 + y 2 + 8y = 0]
c) Date le rette s e t di equazioni: s : y + 1 = 0
e
t : x = 0,
sia r la generica retta del fascio proprio FC di centro C (2; 1). Siano
inoltre A = r ∩ s e B = r ∩ t e M punto medio tra A e B.
Determinare un’equazione cartesiana del luogo descritto da M al
variare di r nel fascio FC . [y = 1/(x − 1)]