Esercizio pag 231 n° 521 Scrivere l`equazione del fascio di rette le

Esercizio pag 231 n° 521
Scrivere l'equazione del fascio di rette le cui generatrici hanno equazioni 3x + 2y – 1 = 0 e
6x + 4y + 3 = 0, stabilire di che fascio si tratta e determinare l'equazione della retta del fascio
che interseca l'asse y nel punto di ordinata 1.
[fascio improprio; 3x + 2y -2 = 0]
Il fascio è improprio poiché nelle due rette che lo formano i coefficienti della x sono fra di loro
nello stesso rapporto di quelli della y.
Il punto che interseca l'asse y nel punto di ordinata 1 è il punto P(0;1).
Sostituendo tale punto nel fascio improprio:
3·0 + 2·1 – 1 + K ( 6·0 + 4·1 + 3) = 0
3x + 2y – 1 + K ( 6x + 4y + 3) = 0
→ 0+2–1+k(4+3) → 1+7k=0 →k=-
1
7
1
( 6x + 4y + 3) = 0 moltiplicando tutto per 7 si ha:
7
21 x + 14 y -7 – 6x – 4x -3 = 0 → 15 x +10 y – 10 = 0 che diventa infine: 3 x + 2y – 2 = 0.
che sostituito nel fascio da: 3x + 2y – 1 -
eventuale verifica: 3·0 + 2·1 – 2 = 0 → 2 – 2 = 0
Sperando di non confondervi, lo svolgimento, oltre a potersi fare come visto si può svolgere in
almeno altri due modi:
Il fascio, essendo improprio, poteva prendere le seguenti forme:
y = -(3/2)x + q
oppure
3x + 2y + c = 0
La ricerca sarebbe diventata quella dei parametri q oppure c.
Lo svolgimento sarebbe stato molto più rapido e sicuro!
Esercizio pag 231 n° 524
Nel fascio di rette, le cui generatrici hanno equazioni 2x + 3y – 7 = 0 e x + 4y – 1 = 0,
determinare la retta di coefficiente angolare m = - 4.
[y = - 4x + 19]
Questa volta bisogna imporre l'uguaglianza del coefficiente angolare del fascio a quello dato:
2x + 3y – 7 + k ( x + 4y – 1 ) = 0 → (2 + k)x + (3 + 4k)y - 7 – k = 0 →
2+ k
7+ k
quindi occorre che sia:
x−
3+ 4 k
3+ 4 k
2+ k
−
=−4
3+ 4 k
2 + k = 12 + 16 k → 15 k = -10 → k = - (2/3) che, per trovare la soluzione, va sostituito nella
equazione del fascio:
y =−
2x + 3y – 7 - (2/3) ( x + 4y – 1 ) = 0
→ 6x + 9y – 21 – 2x – 8y + 2 = 0 → 4x + y – 19 = 0 →
y = -4x + 19