Un punto, una retta e infinite circonferenze

Un punto, una retta e infinite circonferenze
Leila Lisa d’Angelo
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Introduzione
L’idea di capire come affrontare in classe il tema dei fasci di curve è nata
dal seguente dialogo con uno studente di terza liceo scientifico dopo il terzo
compito in classe nel quale compariva un esercizio sui fasci.
1. Un fascio di circonferenze è per definizione una combinazione lineare
di due circonferenze: f (x, y) + kg(x, y) = 0;le circonferenze f (x, y) = 0
e g(x, y) = 0 appartengono al fascio.
2. f (x, y) = 0 si ottiene per k = 0, per quale valore di k si ottiene
g(x, y) = 0?
3. ..........
4. Se f ∩ g = {A, B} allora tutte le circonferenze del fascio si intersecano
in A e B.
5. E’ vero anche l’inverso?
6. ........
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Libri di testo e fasci
Ho consultato i seguenti testi scolastici:
1. Oriolo & Coda, Mathematica, Edizione Scolastiche Bruno Mondadori,
Milano 1996
2. Maraschini & Palma, Format, Spe, Paravia, Torino 1996
3. Castelnuovo & Gori Giorgi & Valenti, La matematica nella realtà, La
nuova Italia, Scandicci 2000
4. Zwirner & Scaglianti, La matematica nella realtà, CEDAM, Padova
1993
5. Prodi & altri, Scoprire la matematica, Ghisetti & Corvi, Milano 2003
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Il Prodi non tratta l’argomento, almeno non esplicitamente.
Maraschini & Palma e Castelnuovo pongono il problema di caratterizzare l’equazione di una retta o circonferenza o parabola che soddisfa certe
condizioni. Puntano l’attenzione sulla corrispondenza tra le proprietà geometriche e quelle algebriche. Ad ogni condizione posta sulle caratteristiche
geometriche, corrisponde una condizione posta sui parametri. Questo aspetto mi sembra il più interessante, quello che meglio giustifica l’inserimento di
questo tema nel curricolo.
Sugli altri libri di testo consultati i fasci sono presentati come combinazioni lineari, osservando solo successivamente che, rinunciando ad una
curva, ci si può ridurre ad un solo parametro. Si mette in evidenza la
necessità di dimostrare le varie proprietà enunciate, prima di tutto che la
combinazione lineare produce tutte e sole le rette del fascio geometrico. Mi
sembra anche interessante notare che l’argomento è posto in appendici o in
complementi, suggerendo che non si tratta di un tema fondamentale.
Dovendo trattare delle combinazioni lineari di curve, mi sembra che
l’aspetto più interessante sia quello della intercambiabilità tra le curve del
fascio come generatrici. Inoltre, tenterei un percorso che giustifichi la necessità di costruire questa teoria dei fasci e delle combinazioni lineari.
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Combinazioni lineari di rette
Se consideriamo tutte le rette che passano per un punto assegnato A, notiamo che esse riempiono tutto il piano senza sovrapporsi tranne che in A.
Detto più rigorosamente, per ogni punto P del piano, P 6= A, esiste una sola
retta passante per P e per A. Un insieme di curve con questa proprietà si
chiama fascio.
In un fissato riferimento cartesiano, l’equazione del fascio di rette che
passano per un punto A = (xA , yA ) si ottiene facilmente imponendo la
condizione di appartenenza all’equazione generica ax + by + c = 0:
a(x − xA ) + b(y − yA ) = 0
(1)
Al triennio del liceo scientifico la geometria analitica si tratta solitamente
in terza, quando in fisica si comincia a parlare di vettori e loro combinazioni
lineari. Si può allora far notare che la (1) può essere descritta come combinazione lineare delle equazioni x−xA = 0 e y −yA = 0, che sono le equazioni
di due rette del fascio. Si tratta di due rette speciali, le parallele agli assi.
Possiamo allora chiederci quali rette descrive la combinazione lineare di
due rette qualsiasi passanti per A.
E’ immediato dimostrare che ogni retta di una tale combinazione lineare
passa per A. Per ottenere che ogni retta passante per A appartiene alla
combinazione lineare, si può considerare un punto B 6= A e verificare che la
retta AB appartiene alla combinazione lineare.
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Figura 1: Non basta un parametro solo per ottenere l’intero fascio perché
una circonferenza ha ”un punto in più” rispetto ad una retta
La coppia (a, b) che caratterizza ogni retta del fascio, una volta fissate le
due rette generatrici, è unica a meno di una costante moltiplicativa e questo
implica che, se rinunciamo ad ottenere una delle due generatrici, possiamo
descrivere il fascio con un solo parametro:
(x − xA ) +
a
(y − yB ) = 0
b
ovvero
(x − xA ) + k(y − yB ) = 0
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Combinazionilineari di altre curve
Se invece di due rette considero due circonferenze C1 e C2 , quale insieme
di curve ottengo con una loro combinazione lineare? Sarà ancora un fascio,
nel senso che si è detto sopra, cioè un insieme che ricopre il piano senza
sovrapposizioni? La risposta s̀i, e la dimostrazione può essere costruita dagli
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Figura 2: Il raggio diventa infinito
allievi cosĩ come si può dimostrare che le circonferenze generatrici del fascio
sono intercambiabili.
Per esempio, due qualunque circonferenze che si intersecano in due punti
A e B generano lo stesso fascio.
In realtà non tutte le curve ottenibili dalla combinazione lineare sono
circonferenze; tra di esse, in corrispondenza di k = −1, c’è anche la retta
AB. Per assimilare anche geometricamente la retta AB alle circonferenze,
potremmo ammettere che una circonferenza possa avere raggio...infinito. E’
quella che si dice circonferenza degenere.
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Combinazionilineari di altre curve
Quando allora dico che due qualunque circonferenze del fascio generano
tutto il fascio, la circonferenza degenere non fa eccezione. Ecco allora che,
per ottenere l’equazione del fascio di circonferenze passanti per due punti
assegnati A e B, basta indicare la combinazione lineare della circonferenza
di diametro AB e la retta AB.
La cosa diventa più interessante nel caso del fascio delle circonferenze
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Figura 3: Una parabola per A e B
tangenti in un punto A di tangente una fissata retta r. In questo caso i
personaggi degeneri sono due: la circonferenza di raggio 0, ovvero il punto
A e la circonferenza di raggio infinito, ovvero r. Il fascio che ricopre tutto il
piano è generato da questi due smilzi personaggi.
Le considerazioni fatte per le circonferenze possono ripetersi per le combinazioni lineari di parabole con l’asse parallelo ad uno dei due assi (per
comodità l’asse y). Possiamo chiederci se troviamo parabole degeneri capaci
di generare tutto il fascio. Nel caso del fascio di parabole che hanno due
punti di intersezione, A e B, aiutando l’immaginazione con carta e matita
oppure con un software di geometria dinamica, possiamo scovare la retta
AB e la coppia di rette parallele all’asse y che passano per A e per B.
Se le due parabole sono tangenti in un punto A con tangente r, le curve
degeneri sono la retta parallela all’asse y per A e la tangente r.
Ecco dunque in azione una geometria democratica, in cui due curve
possono avere maggiore o minore curvatura ma hanno comunque lo stesso
potere.
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Figura 4: Una parabola degenere per A e B
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Figura 5: Intravediamo l’altra parabola degenere
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