Numeri di Fibonacci
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Numeri di Fibonacci
Geometria. I numeri sulla Mole Antonelliana. Nota Bene: Questo materiale non deve essere considerato come sostituto delle lezioni. I voli dei numeri Ecco i numeri sulla Mole: 1 , 1 , 2 , 3 , 5 , 8 , 13 , 21 , 34 , 55 , 89 , 144 , 233 , 377 , 610 , 987 , · · · dove ogni nuovo numero rappresenta la somma dei due che lo precedono. Ad esempio 233 = 89 + 144 Se si e’ capito tutto fin qui, il lettore non dovrebbe trovare difficolta’ a calcolare qual e’ il numero che segue dopo 987. (Risposta: 1597). Nota Storica:Questa serie di numeri e’ nota come serie di numeri di Fibonacci in onore a Leonardo da Pisa, conosciuto col nome paterno di ”figlio Bonacci”, cioe’ Fibonacci (detto anche Bigollo), che verso il 1223 ha studiato questa succesione di numeri a proposito del seguente problema sulla riproduzione dei conigli: Quante coppie di conigli si ottengono in un anno supponendo che ogni coppia dia alla luce un’altra coppia ogni mese e che le coppie piu’ giovani siano in grado di riprodursi gia’ al secondo mese di vita? La soluzione al problema studiato da Fibonacci e’ 377, cioe’ dopo un anno ci sono 377 coppie di conigli. Infatti, Fn mese coppie Dove Fn F0 F1 0 1 1 2 sodisfa F2 2 3 F3 3 5 F4 4 8 F5 5 13 F6 6 21 F7 7 34 F8 8 55 F9 9 89 F10 10 144 F11 11 233 F12 12 377 Fn = Fn−1 + Fn−2 se n ≥ 2 Numeri di Fibonacci 1 Geometria Geometria. e ( F0 = 1 , F1 = 2 . La formula di Binet. Problem 0.1. Quanto grande e’ F100 ?. Ad esempio, se ci chiediamo se F100 e’ minore o maggiore di 100000000 = 108 , qual e’ la risposta giusta?? Per rispondere a questa domanda, ci servirebbe (forse) una ”formula” per calcolare l’n-esimo numero Fn . Certamente il lettore informato sa che questa formula esiste ed e’ conosciuta con il nome di formula di Binet (ca. 1843), ma era gia’ conosciuta da Eulero e Daniele Bernoulli (ver http://it.wikipedia.org/wiki/Successione_di_Fibonacci). Eccola qui, √ !n √ √ 5−3 5 5+3 5 1+ 5 + Fn = 10 2 10 √ !n 1− 5 2 Notiamo che questa identita’ e’ ben lontana dall’essere evidente o banale. Ad esempio, come spiegare la radice di 5, che non e’ un numero intero? (Ricordate che Fn e’ un numero intero, in quanto rappresenta il numero di coppie di conigli...). Quindi, se la formula e’ giusta ci sono delle semplificazioni misteriose... Esercizio : Verificare che, effettivamente, la formula di Binet funziona per n = 0 e n = 1. Di solito, si dimostra la formula di Binet a partire dal principio di induzione, cioe’: Esercizio : Dimostrare usando il principio di induzione che la formula di Binet funziona per ogni n ≥ 0. Ma la dimostrazione per induzione non ci aiuta a capire l’origine di questa bellissima formula; allora come e’ nata questa formula?. In seguito il lettore trovera’ una possibile risposta (tra altre possibili) tramite i concetti di Autovalori ed Autovettori. Prima di lasciare questa parte risolviamo il Problema 0.1 usando il fatto che (grazie alla Formula di Binet...): √ !n √ n 3 5+3 5 1+ 5 ≥ 1, 1708 Fn ≈ 10 2 2 Numeri di Fibonacci 2 Geometria Geometria. dove √ 5+3 5 10 = 1, 1708 che riccorda l’anno di nascita di Eulero, cioe’ 1707... 100 = (( 32 )2 )50 > 250 > 248 = 28 .240 > 28 .58 = 108 . Dunque F100 Allora, F100 ≥ 23 e’ maggiore di 108 . Con i logaritmi si vede che in realta’ F100 ne ha piu’ di venti cifre, cioe’ F100 = o(1020 ). Fibonacci e matrici Osserviamo che l’equazione Fn = Fn−1 + Fn−2 equivale al sistema: Fn = Fn−1 + Gn−1 Gn = Fn−1 Come gia’ sappiamo, possiamo scrivere questo sistema tramite matrici, vettori colonna e prodotti fra loro, cioe’ 1 1 Fn−1 Fn = 1 0 Gn−1 Gn Fn Allora la colonna Cn = risulta da quella Cn−1 tramite la moltiplicazione per G n 1 1 la matrice A = . Quindi possiamo scrivere: 1 0 A Cn−1 = Cn Siccome Cn−1 = A Cn−2 risulta: A Cn−1 = A A Cn−2 = A2 Cn−2 = Cn Dunque applicando reiteratamente questa idea si ottiene: An−1 C1 = Cn dove C1 = F1 G1 = 2 1 . Quindi risulta che dobbiamo n−1 calcolare la potenza n − 1 di una matrice A, cioe’ 1 1 dobbiamo calcolare 1 0 Numeri di Fibonacci 3 Geometria Geometria. Calcolo della potenza n-esima di una matrice 2 0 0 3 Se una matrice D e’ diagonale, ad esempio D = e’ molto facile calcolare Dn . n 2 0 n Infatti, D = e non ci sono problemi. 0 3n n λ 0 λ 0 n Piu’ in generale se D = allora D = 0 β 0 βn Quindi non ci sono problemi per calcolare Dn se D e’ diagonale. Un altro caso dove e’ facile calcolare la potenza n-essima di A e’ quando possiamo scrivere la matrice A come: A = M DM −1 dove la D e’ una matrice diagonale e la matrice M e’ arbitraria (ma ovviamente invertibile, visto che l’equazione contiene M −1 ). Nota 0.2. Se queste due matrici D e M esistono si dice che la matrice A e’ diagonalizzabile 1 . Osservare che questo e’ equivalente a: M −1 AM = D Vediamo perche’ e’ facile calcolare An quando A e’ diagonalizzabile. Infatti, −1 −1 −1 −1 −1 An = M {z · · · M DM M DM } | DM M DM M DM n volte = M DDD · · · DD} M −1 = M Dn M −1 | {z n volte poiche’ i fattori M M −1 si elidono, per definizione di inversa. Dunque, se conosciamo Dn e M possiamo calcolare An senza problema. 1 Non e’ vero che esistono sempre M e D , ad esempio la matrice A = 0 0 1 0 non e’ diagonalizz- abile. Numeri di Fibonacci 4 Geometria Geometria. Diagonalizzando Fibonacci n−1 1 1 Allora per il calcolo di sarebbe ideale trovare una matrice diagonale D e 1 0 una matrice invertibile M tale che: 1 1 = M DM −1 1 0 Come trovare M e D ? L’idea e’ assumere che M e D esistano e cercare di trovarli tramite qualche trucchetto... Notiamo che l’equazione precedente implica: 1 1 1 0 M = MD . Se ricordiamo come si ricava il prodotto tra matrici notiamo che, poiche’ D e’ diagonale, le colonne M1 ed M2 della M , soddisfano a: e 1 1 1 0 1 1 1 0 M1 = λM1 M2 = βM2 λ 0 dove D = , che pero’ non conosciamo, cioe’ conoscendo D sarebbe facile 0 β calcolare M risolvendo i seguenti sistemi (equivalenti alle equazioni di sopra) per le colonne M1 e M2 della M : 1−λ 1 1 −λ M1 = 0 0 1−β 1 1 −β M2 = 0 0 Quest’ultimo sistema e’ molto interessante perche’ ci dice che le colonne M1 ,M2 sono soluzioni di un sistema omogeneo. Ricordo inoltre che vogliamo che M1 (la stessa cosa per M2 ) sia una colonna di una matrice invertibile, dunque M1 6= 0. Questo ci forza a prendere λ (e pure β ) uguale ad una radice del determinante della Numeri di Fibonacci 5 Geometria Geometria. matrice 1−λ 1 1 −λ , cioe’ questo sistema omogeneo ha delle soluzioni non banali se, e solo se: 1−λ 1 det( ) = λ2 − λ − 1 = 0 1 −λ √ Da dove λ = 1±2 5 , questi numeri sono i cosidetti numeri d’oro (vedere [Livio] per delle interessanti proprieta’ di questi numeri). √ Nota 0.3. Nel linguaggio dell’Algebra lineare i numeri 1±2 5 si chiamano autovalori 1 1 della matrice . Piu’ in generale, data una matrice A si calcola il polinomio 1 0 P (λ) = det(A − λId) che si chiama polinomio caratteristico 2 . Le radici di P (λ) si chiamano autovalori . " √ 1+ 5 2 0√ # . 1− 5 0 2 Adesso non e’ difficile trovare le colonne M1 e M2 della matrice M , cioe’ queste colonne sono soluzioni dei sistemi omogeni le cui matrici sono: # " # " √ √ 1√ 1 − 1−2 5 1√ 1 − 1+2 5 1 − 1+2 5 1 − 1−2 5 1+√5 1−√5 2 2 Possiamo allora prendere M1 = e M2 = . 1 1 Dunque possiamo prendere D uguale a Nota 0.4. Nel linguaggio dell’Algebra lineare si dice che le colonne M1 e M2 sono due 1 1 autovettori della matrice . 1 0 Piu’ in generale, una soluzione x 6= 0 (cioe’, x non nullo) del sistema omogeneo la cui matrice e’ A − λId = 0, dove λ e’ un autovalore di A si chiama autovettore di A. 2 Storicamente il polinomio caratteristico nasce con il lavoro di Luigi Lagrange su le perturbazioni secolari delle orbite planetarie vicine alle orbite di Keplero. Dunque, la equazione det(A − λId) = 0 era chiamata equazione secolare [Arnold, pag.45]. Ancora oggi in Astronomia, Fisica e Chimica questa equazioni si la conosce come equazione secolare [McSi]. Numeri di Fibonacci 6 Geometria Geometria. Quindi abbiamo ottenuto cio’ che volevamo, cioe’ # 1+√5 1−√5 " 1+√5 1 1 0 2 √ 2 2 = 1− 5 1 0 1 1 0 2 " # √ √ −1 √ L’inversa 1+ 5 2 1− 5 2 1 1 1 1 1 0 √ 1+ 5 2 √1 5 −1 √ 5 √ 1− 5 2 1 1 √ 1+ 5 2 √ 1− 5 2 1 1 e’ = 5−1 √ 2 √5 1+√ 5 2 5 " √ 1+ 5 2 √ 1− 5 2 1 1 −1 . Dunque √ 1+ 5 2 0 0√ #" 1− 5 2 √1 5 −1 √ 5 √ 5−1 √ 2 √5 1+√ 5 2 5 # Finalmente, 1 1 1 0 n−1 1 =√ 5 " √ ( 1+2 5 )n−1 0 √ 1− 5 n−1 0 ( 2 ) Per trovare Fn dobbiamo quindi calcolare, ricordiamo, cioe’ 1 =√ 5 Fn Gn 1 =√ 5 √ 1+ 5 2 √ 1− 5 2 1 1 √ 1+ 5 2 √ 1− 5 2 1 1 " √ " ( 1+2 5 )n−1 0 √ 1− 5 n−1 0 ( 2 ) √ ( 1+2 5 )n−1 0 √ 1− 5 n−1 0 ( 2 ) #" √ 3+ 5 2 √ 5−3 2 # #" n−1 1 1 1 0 #" √ 5−1 2√ 1+ 5 2 1 −1 2 1 √ 1 −1 1 =√ 5 " 5−1 2√ 1+ 5 2 # √ Fn Gn " = √ √ √ √ 3+√ 5 1+ 5 n 5−3 √ ( 1− 5 )n ( ) + 2√ 2 √ 2 √5 2 √5 3+√ 5 1+ 5 n−1 5−3 √ ( 2 ) + 2 5 ( 1−2 5 )n−1 2 5 # dunque abbiamo il risultato finale, cioe’ √ √ !n √ 5+3 5 1+ 5 5−3 5 + Fn = 10 2 10 √ !n 1− 5 2 √ Siccome | 1−2 5 | < 1 risulta per n 0 la seguente approssimazione: Fn ≈ 1, 1708 φn Numeri di Fibonacci 7 = 2 1 Fn Gn = √ ( 1+√2 5 )n ( 1−√2 5 )n ( 1+2 5 )n−1 ( 1−2 5 )n−1 L’ultima moltiplicazione fornisce, # Geometria #" √ 3+ 5 2 √ 5−3 2 # REFERENCES Geometria. dove φ = 1, 6189 e’ la sezione aurea http://it.wikipedia.org/wiki/Sezione_ aurea. Ad esempio, F12 ≈ 1, 1708 φ12 = 377, 001... che fa vedere la bonta’ della approssimazione!! References [Arnold] Arnold, V.I.: Lectures on Partial Differential Equations , Springer Universitext 2004. [Livio] Livio, M.: La sezione aurea - Storia di un numero e di un mistero che dura da tremila anni , Traduzione di Stefano Galli, Rizzoli, Prima edizione: 2003. [McSi] McQuarrie, D.A. and Simon, J.D.: CHIMICA FISICA Un approcio molecolare , Trad. di M. Roncaglia, revisione di C. Galli. Ed. Zanichelli, 2000. Numeri di Fibonacci 8 Geometria