I numeri sulla Mole Antonelliana.

Geometria Lingotto.
LeLing15: Fibonacci, Autovalori e Autovettori.
Argomenti svolti:
¯
• Serie di numeri di Fibonacci.
• Potenza n-esima di matrici.
• Autovalori ed autovettori.
• Formula di Binet.
Esercizi consigliati: Geoling 16 .
¯
I numeri sulla Mole Antonelliana.
Ecco i numeri sulla Mole:
1 , 2 , 3 , 5 , 8 , 13 , 21 , 34 , 55 , 89 , 144 , 233 , 377 , 610 , 987 , · · ·
dove ogni nuovo numero rappresenta la somma dei due che lo precedono. Ad esempio
233 = 89 + 144
Se si e’ capito tutto fin qui, il lettore non dovrebbe trovare difficolta’ a calcolare qual
e’ il numero che segue 987. (Risposta: 1597).
Nota Storica :
Questa serie di numeri e’ nota come serie di numeri di Fibonacci in onore a
Leonardo da Pisa, conosciuto col nome paterno di ”figlio Bonacci”, cioe’ Fibonacci (detto
anche Bigollo), che verso il 1223 ha studiato questa succesione di numeri a proposito del
seguente problema sulla riproduzione dei conigli:
Quante coppie di conigli si ottengono in un anno supponendo che ogni coppia dia alla
luce un’altra coppia ogni mese e che le coppie piu’ giovani siano in grado di riprodursi
gia’ al secondo mese di vita?
La soluzione al problema studiato da Fibonacci e’ 377, cioe’ dopo un anno ci sono
377 coppie di conigli. Infatti,
Fn
F0
mese
0
coppie 1
F1
1
2
F2
2
3
Ingegneria dell’Autoveicolo, LeLing15
F3
3
5
F4
4
8
F5
5
13
1
F6
6
21
F7
7
34
F8
8
55
F9
9
89
F10
10
144
F11
11
233
F12
12
377
Geometria
Geometria Lingotto.
Dove Fn sodisfa
Fn = Fn−1 + Fn−2 se n ≥ 2
e
(
F0 = 1 ,
F1 = 2 .
La formula di Binet.
Problem 0.1. Quanto grande e’ F100 ?. Ad esempio, se ci chiediamo se F100 e’ minore
o maggiore di 100000000 = 108 , qual e’ la risposta giusta??
Per rispondere a questa domanda, ci servirebbe (forse) una ”formula” per calcolare
l’n-esimo numero Fn . Certamente il lettore informato sa che questa formula esiste ed e’
conosciuta con il nome di formula di Binet (ca. 1843), ma era gia’ conosciuta da Eulero
e Daniele Bernoulli. Eccola qui,
√ !n
√
√
5−3 5
5+3 5 1+ 5
+
Fn =
10
2
10
√ !n
1− 5
2
Notiamo che questa identita’ e’ ben lontana dall’essere evidente o banale. Ad esempio, come spiegare la radice di 5, che non e’ un numero intero? (Ricordate che Fn e’
un numero intero, in quanto rappresenta il numero di coppie di conigli...). Quindi, se la
formula e’ giusta ci sono delle semplificazioni misteriose...
Esercizio : Verificare che, effettivamente, la formula di Binet funziona per n = 0 e
n = 1.
Di solito, si dimostra la formula di Binet a partire dal principio di induzione, cioe’:
Esercizio : Dimostrare usando il principio di induzione che la formula di Binet funziona per ogni n ≥ 0.
Ma la dimostrazione per induzione non ci aiuta a capire l’origine di questa bellissima
formula; allora come e’ nata questa formula?. In seguito il lettore trovera’ una possibile
risposta (tra altre possibili) tramite i concetti di Autovalori ed Autovettori.
Prima di lasciare questa parte risolviamo il Problema 0.1 usando il fatto che (grazie
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2
Geometria
Geometria Lingotto.
alla Formula di Binet...):
√
√ !n
n
5+3 5 1+ 5
3
Fn ≈
.
≥ 1, 1708
10
2
2
dove
√
5+3 5
10
= 1, 1708 e ricordo che Eulero era nato in 1707...
100
= (( 32 )2 )50 > 250 > 248 = 28 .240 > 28 .58 = 108 . Dunque F100
Allora, F100 ≥ 23
e’ maggiore di 108 . Con i logaritmi si vede che in realta’ F100 ne ha piu’ di venti cifre,
cioe’ F100 = o(1020 ).
Fibonacci e matrici
Osserviamo che l’equazione
Fn = Fn−1 + Fn−2
equivale al sistema:
Fn = Fn−1 + Gn−1
Gn = Fn−1
Come gia’ sappiamo, possiamo scrivere questo sistema tramite matrici, vettori colonna
e prodotti fra loro, cioe’
Fn
1 1
Fn−1
=
Gn
Gn−1
1 0
Fn
Allora la colonna Cn =
risulta da quella Cn−1 tramite la moltiplicazione per
G
n
1 1
la matrice A =
. Quindi possiamo scrivere:
1 0
A Cn−1 = Cn
Siccome Cn−1 = A Cn−2 risulta:
A Cn−1 = A A Cn−2 = A2 Cn−2 = Cn
Dunque applicando reiteratamente questa idea si ottiene:
An−1 C1 = Cn
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Geometria
Geometria Lingotto.
dove C1 =
F1
G1
=
2
1
.
Quindi risulta che
dobbiamo
n−1 calcolare la potenza n − 1 di una matrice A, cioe’
1 1
dobbiamo calcolare
1 0
Calcolo della potenza n-esima di una matrice
2 0
0 3
Se una matrice D e’ diagonale, ad esempio D =
e’ molto facile calcolare Dn .
n
2
0
n
Infatti, D =
e non ci sono problemi.
0 3n
n
λ 0
λ
0
n
Piu’ in generale se D =
allora D =
0 β
0 βn
Quindi non ci sono problemi per calcolare Dn se D e’ diagonale.
Un altro caso dove e’ facile calcolare la potenza n-essima di A e’ quando possiamo
scrivere la matrice A come:
A = M DM −1
dove la D e’ una matrice diagonale e la matrice M e’ arbitraria (ma ovviamente
invertibile, visto che l’equazione contiene M −1 ).
Nota 0.2. Se queste due matrici D e M esistono si dice che la matrice A e’ diagonalizzabile 1 . Osservare che questo e’ equivalente a:
M −1 AM = D
Vediamo perche’ e’ facile calcolare An quando A e’ diagonalizzabile. Infatti,
−1
−1
−1
−1
−1
An = M
| DM M DM M DM
{z · · · M DM M DM }
n volte
= M DDD
· · · DD} M −1 = M Dn M −1
|
{z
n volte
1
Non e’ vero che esistono sempre M e D , ad esempio la matrice A =
0
0
1
0
non e’ diagonalizz-
abile.
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4
Geometria
Geometria Lingotto.
poiche’ i fattori M M −1 si elidono, per definizione di inversa. Dunque, se conosciamo
Dn e M possiamo calcolare An senza problema.
Diagonalizzando Fibonacci
n−1
1 1
Allora per il calcolo di
sarebbe ideale trovare una matrice diagonale D e
1 0
una matrice invertibile M tale che:
1 1
= M DM −1
1 0
Come trovare M e D ? L’idea e’ assumere che M e D esistano e cercare di trovarli
tramite qualche trucchetto... Notiamo che l’equazione precedente implica:
1 1
1 0
M = MD .
Se ricordiamo come si ricava il prodotto tra matrici notiamo che, poiche’ D e’ diagonale, le colonne M1 ed M2 della M , soddisfano a:
e
1 1
1 0
1 1
1 0
M1 = λM1
M2 = βM2
λ 0
dove D =
, che pero’ non conosciamo, cioe’ conoscendo D sarebbe facile
0 β
calcolare M risolvendo i seguenti sistemi (equivalenti alle equazioni di sopra) per le
colonne M1 e M2 della M :
1−λ 1
1
−λ
M1 =
0
0
1−β 1
1
−β
M2 =
0
0
Quest’ultimo sistema e’ molto interessante perche’ ci dice che le colonne M1 ,M2 sono
soluzioni di un sistema omogeneo. Ricordo inoltre che vogliamo che M1 (la stessa cosa
per M2 ) sia una colonna di una matrice invertibile, dunque M1 6= 0.
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Geometria
Geometria Lingotto.
Questo
λ (e pure β ) uguale ad una radice del determinante della
ci forza a prendere
1−λ 1
matrice
, cioe’ questo sistema omogeneo ha delle soluzioni non banali se,
1
−λ
e solo se:
1−λ 1
det(
) = λ2 − λ − 1 = 0
1
−λ
√
Da dove λ = 1±2 5 , questi numeri sono i cosidetti numeri d’oro (vedere [Livio] per
delle interessanti proprieta’ di questi numeri).
√
Nota 0.3. Nel linguaggio
dell’Algebra lineare i numeri 1±2 5 si chiamano autovalori
1 1
della matrice
. Piu’ in generale, data una matrice A si calcola il polinomio
1 0
P (λ) = det(A − λId) che si chiama polinomio caratteristico 2 . Le radici di P (λ) si
chiamano autovalori .
"
√
1+ 5
2
0√
#
.
1− 5
0
2
Adesso non e’ difficile trovare le colonne M1 e M2 della matrice M , cioe’ queste
colonne sono soluzioni dei sistemi omogeni le cui matrici sono:
"
#
"
#
√
√
1 − 1+2 5
1 − 1−2 5
1√
1√
1
− 1+2 5
1
− 1−2 5
1+√5 1−√5 2
2
Possiamo allora prendere M1 =
e M2 =
.
1
1
Dunque possiamo prendere D uguale a
Nota 0.4. Nel linguaggio dell’Algebra
lineare si dice che le colonne M1 e M2 sono due
1 1
autovettori della matrice
.
1 0
Piu’ in generale, una soluzione x 6= 0 (cioe’, x non nullo) del sistema omogeneo la
cui matrice e’ A − λId = 0, dove λ e’ un autovalore di A si chiama autovettore di A.
2
Storicamente il polinomio caratteristico nasce con il lavoro di Luigi Lagrange su le perturbazioni
secolari delle orbite planetarie vicine alle orbite di Keplero. Dunque, la equazione det(A − λId) = 0
era chiamata equazione secolare [Arnold, pag.45]. Ancora oggi in Astronomia, Fisica e Chimica questa
equazioni si la conosce come equazione secolare [McSi].
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Geometria
Geometria Lingotto.
Quindi abbiamo ottenuto cio’ che volevamo, cioe’
#
1+√5 1−√5 " 1+√5
1 1
0
2
√
2
2
=
1− 5
1 0
1
1
0
2
"
#
√
√ −1
√
L’inversa
1+ 5
2
1− 5
2
1
1
1 1
1 0
√
1+ 5
2
√1
5
−1
√
5
√
1− 5
2
1
1
√
1+ 5
2
√
1− 5
2
1
1
e’
=
5−1
√
2 √5
1+√ 5
2 5
"
√
1+ 5
2
√
1− 5
2
1
1
−1
. Dunque
√
1+ 5
2
0
#"
0
√
1− 5
2
√1
5
−1
√
5
√
5−1
√
2 √5
1+√ 5
2 5
#
Finalmente,
1 1
1 0
n−1
1
=√
5
"
√
( 1+2 5 )n−1
0
0
√
( 1−2 5 )n−1
Per trovare Fn dobbiamo quindi calcolare, ricordiamo,
cioe’
1
=√
5
Fn
Gn
1
=√
5
√
1+ 5
2
√
1− 5
2
1
1
√
1+ 5
2
√
1− 5
2
1
1
"
"
√
( 1+2 5 )n−1
0
√
( 1+2 5 )n−1
0
√
1− 5 n−1
0
( 2 )
( 1−2 5 )n−1
√
3+ 5
2
√
5−3
2
#
√
5−1
2√
1+ 5
2
1
−1
n−1 1 1
1 0
#"
0
√
#"
#"
2
1
√
1
−1
1
=√
5
"
5−1
2√
1+ 5
2
#
√
Fn
Gn
"
=
√
√
√
√
3+√ 5 1+ 5 n
5−3
√ ( 1− 5 )n
(
)
+
2√
2 √
2 √5
2 √5
3+√ 5 1+ 5 n−1
5−3
√
( 2 )
+ 2 5 ( 1−2 5 )n−1
2 5
#
dunque abbiamo il risultato finale, cioe’
√
√ !n
√
5+3 5 1+ 5
5−3 5
Fn =
+
10
2
10
Ingegneria dell’Autoveicolo, LeLing15
7
=
2
1
Fn
Gn
=
√
( 1+√2 5 )n
( 1−√2 5 )n
( 1+2 5 )n−1 ( 1−2 5 )n−1
L’ultima moltiplicazione fornisce,
#
√ !n
1− 5
2
Geometria
#"
√
3+ 5
2
√
5−3
2
#
REFERENCES
Geometria Lingotto.
References
[Arnold]
Arnold, V.I.: Lectures on Partial Differential Equations , Springer Universitext
2004.
[Livio]
Livio, M.: La sezione aurea - Storia di un numero e di un mistero che dura da
tremila anni , Traduzione di Stefano Galli, Rizzoli, Prima edizione: 2003.
[McSi]
McQuarrie, D.A. and Simon, J.D.: CHIMICA FISICA Un approcio molecolare
, Trad. di M. Roncaglia, revisione di C. Galli. Ed. Zanichelli, 2000.
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Geometria