Variabili casuali Soluzione Es.1. Sappiamo che X ∼ N(µ = 7,σ 2
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Variabili casuali Soluzione Es.1. Sappiamo che X ∼ N(µ = 7,σ 2
Variabili casuali Soluzione Es.1. Sappiamo che X ∼ N (µ = 7, σ 2 = 142 ). a) Si deve calcolare P (X < 32) riccoriamo alla standardizzazione 32 − µ X −µ P (X > 32) = P > σ σ 32 − 7 =P Z> = 1 − P (Z < 1, 79) 14 = 1 − 0, 96 = 0, 04 b) P (X = k) = 0 qualsiasi sia k se X è una variabile casuale continua come il caso della Normale. c) Si deve calcolare P (|X| > 30). Dunque P (|X| > 30) = P (X > 30 ∪ X < −30) = P (X > 30) + P (X < −30) dove P (X > 30) = 1 − P (X < 30) = 1 − P 30 − µ Z< σ = 1 − P (Z < 1, 64) = 1 − 0, 95 = 0, 05P (X < −30) = P −30 − µ Z< σ = P (Z < −2, 64) = 0, 004 Cioè P (|X| > 30) = 0, 05 + 0, 004 = 0, 054. Il risultato si poteva ottenere anche passando all’evento complementare, cioè P (|X| > 30) = 1 − P (−30 < X < 30) = 1 − (P (X < 30) − P (x < −30)) si sarebbe ottenuto lo stesso risultato. d) Si deve calcolare P (0 < X < 10) cioè 3 7 −P Z <− P (0 < X < 10) = P (X < 10) − P (X < 0) = P Z < 14 14 = P (Z < 0, 21) − P (Z < −0, 5) = 0, 58 − 0, 31 = 0, 27 c 2001 S.M.Iacus - D.E.P.A. Sezione di Statistica e Matematica 1 Soluzione Es.2. Per la variabile casuale X media moda e mediana coincidono, quindi non è possibile che la media e/o la mediana assumano valore 5,1. Il grafico di Y sarà più schiacciato attorno alla media con l’ordinata della media più elevata. Vediamo cosa accade allae code delle distribuzioni valutando la risposta alla terza domanda. 10 − 5 P (X < 10) = Z < = P (Z < 2, 5) 2 mentre P (Y < 10) = 10 − 5 Z< 1 = P (Z < 5) quindi è chiaro che P (X < 10) < P (Y < 10), ciò vuol dire che le code della distribuzione di Y vanno a zero più velocemente di quelle di X. Soluzione Es.3. L’informazione che abbiamo è che X ∼ N (µ = 30, σ 2 =?) e P (X ≤ 29, 4) = 0, 4522. Ma a) X −µ 29, 4 − µ < 0, 4522 = P (X ≤ 29.4) = P σ σ 29, 4 − 30 0, 6 =P Z< =P Z<− σ σ Se indichiamo con z = − 0,6 per trovare σ dobbiamo risolvere l’equazione 0, 4522 = σ P (Z < z) cioè dobbiamo cercare quel valore di z che ci fornisce P (Z < z) = 0, 4522. Sulla tavola troviamo che P (Z < 0, 12) = 0, 5478 = 1 − 0, 4522 cioè 1 − P (Z < 0, 12) = 0, 4522. Ma allora P (Z > 0, 12) = 0, 4522 e quest’ultima probabilità, per la simmetria della variabile casuale normale, è pari a P (Z < −0, 12) In conclusione 0, 4522 = P (Z < −0, 12) cioè lo z che stiamo cercando è proprio z = −0, 12, allora −0, 12 = − 0, 6 σ per cui σ = 5. b) Ora sappiamo quindi che X ∼ N (µ = 30, σ 2 = 25). Dobbiamo calcolare 28 − 30 P (X < 28) = P Z < = P (Z < −0, 4) = 0, 3446 5 c) Mentre P (25 < X < 32) si ottiene nel seguente modo P (25 < X < 32) = P (X < 32) − P (X < 25) = P (Z < 0, 4) − P (Z < −1) c 2001 S.M.Iacus - D.E.P.A. Sezione di Statistica e Matematica 2 dove P (Z < 0, 4) = 1 − P (Z > 0, 4) = 1 − P (Z < −0, 4) e P (Z < −1) = 1 − P (Z > −1) = 1 − P (Z < 1) e quindi P (25 < X < 32) = 1 − P (Z < −0, 4) − (1 − P (Z < 1)) = P (Z < 1) − P (Z < −0, 4) = 0, 8413 − 0, 3446 = 0, 4967 Soluzione Es.4. Si deve ricordare che la funzione di ripartizione di una variabile casule è sempre non decrescente. Nel caso della Normale essa è anche strettamente crescente, quindi a) Φ(1.2) > Φ(2.1) è impossibile; b) Φ(0.8) > Φ(−0.5) è compatibile. Soluzione Es.5. L’esercizio è analogo al precedente, quindi 3−1 2 0, 3 = P (X < 3) = P Z < =P Z< σ σ Prima di procedere osserviamo che P (Z < z) ≥ 0, 5 quando z ≥ 0 mentre P (Z < z) < 0 se z < 0. Quindi poiché stiamo cercando quel valore di z tale che P (Z < z)0, 3 < 0, 5 dovrà essere necessariamente z < 0 e cioè z= 2 <0 σ il che implicherebbe σ < 0 ! Il problema non ha quindi soluzione ! Completiamo comunque i passaggi: cerchiamo z sulla tavola della normale tale che P (Z < z) = 0, 3, Risulta z = −0, 52 e dunque 2 −0, 52 = σ risulterebbe σ = −3, 84 ! c 2001 S.M.Iacus - D.E.P.A. Sezione di Statistica e Matematica 3