LeLing1

Geometria Lingotto.
LeLing1: Sistemi lineari omogenei.
Argomenti svolti:
¯
•Definizione di sistema lineare omogeneo. La matrice associata.
•Concetto di soluzione.
•Sistemi equivalenti.
•Operazioni elementari e primo accenno al metodo di Gauss-Jordan.
Esercizi consigliati: Geoling 1, Geoling 2.
¯
1
Definizione di sistema lineare omogeneo.
Un sistema di equazioni della forma:

a1 1 x 1 + a1 2 x 2 + · · · + a1 n x n = 0




 a2 1 x 1 + a2 2 x 2 + · · · + a2 n x n = 0
a3 1 x 1 + a3 2 x 2 + · · · + a3 n x n = 0
S=


.............................................



am 1 x1 + am 2 x2 + · · · + am n xn = 0
si chiama sistema d’equazioni lineari omogeneo con n incognite ed m equazioni.
Esempio 1.1. Ecco due esempi:
A=
x−y =0
x+y =0
B=
3x1 − x2 + x4 = 0
x5 − x6 = 0
E’ facile ricordare il sistema tramite la matrice dei coefficienti :


a1 1 a1 2 · · · a1 n
 a2 1 a2 2 · · · a2 n 




A =  a3 1 a3 2 · · · a3 n 
 ..
..
..
.. 
 .
.
.
. 
am 1 am 2 · · · am n
Ingegneria dell’Autoveicolo, LeLing1
1
Geometria
1.1 Concetto di soluzione.
Geometria Lingotto.
Esempio 1.2. Ecco le due matrici corrispondenti agli esempi precedenti:
A=
1 −1
1 1
B=
3 −1 0 1 0 0
0 0 0 0 1 −1
Dunque una matrice A e’ una tabella di numeri ai j , cioe’ numeri con due indici i, j .
Di solito si scrive A = (ai j ) per indicare una matrice il cui elemento nella riga i-esima
e colonna j -esima e’ ai j .
Notare il collegamento tra la incognita x1 e la prima colonna della matrice A, tra la
incognita x2 e la seconda colonna della matrice A, etc. Inoltre notare il collegamento
tra le equazioni del sistema S e le righe della matrice A.
Osservazione 1.3. Si deve fare molta attenzione nel passagio dal sistema alla ma3x + y = 0
trice per evitare errori gravi. Ad esempio la matrice del sistema
non e’
3y + x = 0
3 1
.
3 1
1.1
Concetto di soluzione.
Se i numeri r1 , r2 , · · · , rn si sostituiscono alle incognite x1 , x2 , · · · , xn del sistema S e
tutte le equazioni sono soddisfatte allora r1 , r2 , · · · , rn e’ chiamata una soluzione del
sistema. Siccome l’ordine di questi numeri e’ importantissimo conviene ordinare questi
numeri come una colonna. Ossia si intende, per soluzione del sistema S , una colonna:


r1
 r2 


 r3 
R=

 .. 
 . 
rn
Dunque durante questo corso per soluzione di un sistema S si intende una colonna
R = (ri ) tale che, se il numero ri si sostituisce all’incognita xi , tutte le equazioni di S
sono soddisfatte.
Esempio 1.4.
A=
x−y =0
x+y =0
Ingegneria dell’Autoveicolo, LeLing1
B=
2
3x1 − x2 + x4 = 0
x5 − x6 = 0
Geometria
1.2 Sistemi equivalenti.
Geometria Lingotto.
0
Il sistema A ha la colonna
come UNICA soluzione. Invece le colonne
0
    
  
0
0
0
0
 0   0   0   1 
    
  
 0   0   0   0 
 , ,
  
 0   0   0 , 1 
    
  
 0   8   13   0 
0
8
13
0
sono tutte soluzione del sistema B , cioe’ il sistema (b) non ha soluzione UNICA.
Osservazione 1.5. Un sistema omogeneo ha sempre una soluzione chiamata soluzione
banale. Eccola qui:
 
0
 0 
 
 0 
 
0 =  .. 
 . 
 
 0 
0
Dato un sistema S possiamo raccogliere tutte le soluzioni in un insieme S chiamato
appunto l’insieme delle soluzione di S . Notare che S e’ un sottoinsieme dell’insieme di
tutte le colonne di lunghezza n. Osservare che la proposizione precedente afferma 0 ∈ S .
Il primo argomento di questo corso e’ imparare a calcolare tutte le soluzioni di un
sistema S , cioe’ imparare a scrivere tutte le colonne che sono soluzioni di un dato sistema.
1.2
Sistemi equivalenti.
L’idea chiave per scrivere tutte le soluzione di un sistema S e’ il concetto di sistemi
equivalenti.
Definizione 1.6. Due sistemi S, S 0 (entrambi con n incognite) si dicono equivalenti
se hanno le stesse soluzioni. Se S, S 0 sono equivalenti si scrive S ∼ S 0 .
Esempio 1.7. I seguenti sistemi sono equivalenti:
S=
Ingegneria dell’Autoveicolo, LeLing1
x−y =0
x+y =0
3
0
S =
x=0
y=0
Geometria
1.3 Operazioni elementari.
Geometria Lingotto.
Se sappiamo in anticipo che due sistemi S, S 0 sono equivalenti possiamo scegliere
quello piu’ semplice per calcolarne le soluzioni. Ad esempio, nell’esempio precedente S 0
e’ certamente piu’ facile da risolvere di S . Questo ci porta in modo naturale a chiederci
come si possa sapere in anticipo se due sistemi sono equivalenti.
1.3
Operazioni elementari.
Esistono tre operazioni (molto semplici) che applicate a un sistema S producono un
sistema equivalente S 0 .
OPE 1 : Scambio dell’ordine di due equazioni
Si passa di un sistema S a uno equivalente semplicemente scambiando l’ordine di due
equazioni, ad esempio:




E
=
0
1

 E2 = 0


 E2 = 0
 E1 = 0
0
S=
→
S =
..
..


.
.




 E =0
 E =0
m
m
Per ricordare questa operazione elementare si scrive: Ei ↔ Ej .
OPE 2: Moltiplicazione d’una equazione per una costante non nulla
Si ottiene un sistema equivalente moltiplicando una equazione per una costante c
non nulla, ad esempio:




E
=
0
cE1 = 0
1




 E2 = 0
 E2 = 0
S=
→
S0 =
..
..


.
.




 E =0
 E =0
m
m
Per ricordare questa operazione elementare si scrive: Ei ← cEi .
OPE 3 : Sostituire una equazione con la sua somma con un’altra
Si ottiene un sistema equivalente sommando ad una equazione un’altra, ad esempio:
Ingegneria dell’Autoveicolo, LeLing1
4
Geometria
1.4 Tutto dal punto di vista matriciale.


E1 = 0




 E2 = 0
E3 = 0
S=

..


.


 E =0
Geometria Lingotto.


E1




E
+
 2 E1
0
E3
S =






Em
→
m
=0
=0
=0
..
.
=0
Per ricordare questa operazione elementare si scrive: Ei ← Ei + Ej .
1.4
Tutto dal punto di vista matriciale.
Avviamo visto che i sistemi si rappresentano
A, cioe’

a1 1 a1 2 · · ·
 a2 1 a2 2 · · ·


A =  a3 1 a3 2 · · ·
 ..
..
 .
.
···
am 1 am 2 · · ·
piu’ economicamente tramite una matrice
a1 n
a2 n
a3 n
..
.


 
 
 
=
 
 
R1
R2
R3
..
.







Rm
am n
dove R1 = (a1 1 a1 2 · · · a1 n ), R2 = (a2 1 a2 2 · · · a2 n ), etc, sono le righe.
Dunque le tre operazioni elementari sono:
• OPE 1 : Scambio dell’ordine tra due righe. Notazione Ri ↔ Rj .
• OPE 2 : Moltiplicazione d’una riga per una costante non nulla c Ri .
• OPE 3 : Sostituire una riga con la sua somma con un’altra Ri + Rj .
E’ anche piu’ semplice fare un uso contemporaneo delle OPE 2 e la OPE 3 , cioe’
Ri + c Rj .
Esempio 1.8.


−1 0 3
 2 1 −7 
4 3 0
Ingegneria dell’Autoveicolo, LeLing1

R3 −3R2
=⇒
5

−1 0 3
 2 1 −7 
−2 0 21
Geometria
1.5 Operazioni elementari e Sistemi equivalenti.
1.5
Geometria Lingotto.
Operazioni elementari e Sistemi equivalenti.
Ecco un teorema fondamentale.
Teorema 1.9. Siano A1 , A2 le matrici di due sistemi S1 , S2 . Se A2 si ottiene da A1
tramite le operazioni elementari OPE 1, OPE 2, OPE 3, allora i sistemi S1 , S2 sono
equivalenti, cioe’ risolvere S1 e’ la stessa cosa che risolvere S2 .
La dimostrazione e’ molto facile ed e’ lasciata come esercizio al lettore.
1 3
2 7
Esempio 1.10. Ecco un esempio: se A =
e’ la matrice del sistema S =
x + 3y = 0
allora
2x + 7y = 0
1 3 R2 −2R1 1 3 R1 −3R2 1 0
=⇒
=⇒
0 1
0 1
2 7
1 0
dunque il sistema S e’ equivalente al sistema associato alla matrice
, cioe’ le
0 1
x=0
soluzioni di S sono le soluzioni di
, cosa abbastanza ovvia.
y=0

x+y−z−w =0

x + 2y + 5z − w = 0 ; eseguiamo
Esempio 1.11. Ecco un altro esempio: S =

2x + y + 3z + 2w = 0






1 1 −1 −1
1 1 −1 −1
1 1 −1 −1
R −2R
R3 +R2
2 −R1
 1 2 5 −1  R=⇒
 0 1 6
0  3=⇒ 1  0 1
6
0  =⇒
2 1 3
2
2 1 3
2
0 −1 5
4






1 1 −1 −1
1 1 −1 −1
1 1 −1 −1
R3
R −6R
11
1 +R3
 0 1 6
 R=⇒
 0 1 6
0  2=⇒ 3  0 1 0 − 24
0  =⇒
11
4
4
0 0 1
0 0 1
0 0 11 4
11
11




7
1 1 0 − 11
1 0 0 17
11
1 −R2
 0 1 0 − 24  R=⇒
 0 1 0 − 24 
11
11
4
4
0 0 1 11
0 0 1 11
Ingegneria dell’Autoveicolo, LeLing1
6
Geometria
Geometria Lingotto.

1 0 0 17
11
,
percio’ risolvere S e’ come risolvere il sistema associato alla matrice  0 1 0 − 24
11
4
0 0 1 11

17
 x + 11 w = 0
w = 0 e allora possiamo esprimere tutte le soluzione del sistema S come
y − 24
cioe’
11

4
z + 11
w=0
 17 
 17 
− 11 w
− 11
 24 w 
 24 
 114  cioe’ come i multipli della colonna  114  .
 − w 
 − 
11
11
w
1

x + 2y + 3z + 4w = 0



4x + 6y + 7z + 8w = 0
Esempio 1.12. Ecco un terzo esempio: S =
dopo
5x + 8y + 10z + 12w = 0



10x + 16y + 20z + 24w = 0
qualche
operazione elementari
risulta che S e’ equivalente al sistema la cui matrice


1 0 −2 −4
 0 1 5
4 
2
 , cioe’ risolvere S e’ la stessa cosa che risolvere:
e’ 
 0 0 0
0 
0 0 0
0

x − 2z − 4w = 0



y + 52 z + 4w = 0
x − 2z − 4w = 0
=
0x
+
0y
+
0z
+
0w
=
0
y + 52 z + 4w = 0



0x + 0y + 0z + 0w = 0
Risolvere quest’ultimo sistema e’ molto facile poiche’
messo in evidenza x, y
 abbiamo 
2z + 4w
 − 5 z − 4w 
2

come funcioni di z, w . Dunque le soluzioni sono : 


z
w

2
Cenni sul metodo di Gauss-Jordan.
I due esempi precedenti mostrano che se vogliamo risolvere un sistema dobbiamo cercare
di usare le operazioni elementari in modo da arrivare a una matrice il cui sistema sia
facile da risolvere. Dunque la domanda naturale e’: Quali caratteristiche ha una matrice
il cui sistema e’ facile
da risolvere? Nel primo esempio il sistema e’ equivalente a uno
1 0
la cui matrice e’
, nel secondo esempio il sistema facile da risolvere ha come
0 1
Ingegneria dell’Autoveicolo, LeLing1
7
Geometria
Geometria Lingotto.

1 0 0 17
11
, e
matrice  0 1 0 − 24
11
4
0 0 1 11

1 0
 0 1
associato alla matrice 
 0 0
0 0
della forma:












infine, nel terzo esempio, il sistema facile da risolvere e’
1
0
..
.
0
0
..
.

−2 −4
5
4 
2
 . Dunque osserviamo che queste matrici sono
0
0 
0
0
0 ···
1 ···
.. . .
.
.
0 ···
0 ···
.. ..
. .
0 0 ···
0
0
..
.
∗
∗
..
.
1
0
..
.
∗
0
..
.
0 0

∗ ··· ∗
∗ ··· ∗ 
.. .. .. 

. . . 

∗ ··· ∗ 

0 ··· 0 
.. .. .. 
. . . 
0 ··· 0
Il metodo di Gauss-Jordan ci permete in modo organizzato di arrivare alla matrice
di un sistema facile da risolvere.
Vediamo
come funziona analizzando un esempio:
2 6
Prendiamo il sistema
.
6 7
Al posto del 2 vogliamo un 1, dunque usiamo la operazione R21 e otteniamo
1 3
; adesso ci serve un 0 al posto del 6. Dunque usando l’ 1 della prima
6 7
riga e’ facile ottenere
lo 0desiderato al posto del 6 tramite la operazione R2 − 6R1 e
1 3
cosi’ otteniamo
. Adesso ci serve un 1 al posto del -2. Dunque eseguimo la
0 −2
1 3
R2
.
operazione −2 , e si arriva alla
0 1
Dunque osserviamo che l’idea e’ semplice. Dopo avere ottenuto un 1 in una colonna lo
si usa per procurarsi 0 sotto di esso, tramite la operazione Ri +cRj lungo tutta la colonna.


3 5
1 8  . Applichiamo R2 − 7R1 cosi’
5 4
applichiamo
R3 + 3R

 1 e scompare il
1 3
4
−3 lasciando il suo posto a uno 0. Cioe’ si ottiene:  0 −20 −27  .
0 14
19
1
Vediamo ancora questo con la matrice  7
−3
che il 7 scompare, sostituito dallo 0. Dopodiche’
Ingegneria dell’Autoveicolo, LeLing1
8
Geometria
Geometria Lingotto.
Con cio’ finisce il lavoro sulla prima colonna e possiamo ora cercare di mettere un
R2
, che ci procura:
1 al posto del -20. Questo e’ facile, poiche’ possiamo eseguire −20


1 3 4
 0 1 27  . Adesso usando questo 1 possiamo procurarci uno 0 al posto del 14
20
0 14 19


1 3 4
27 
usando la operazione elementare R3 − 14R2 . Cosa che ci porta alla  0 1 20
.
1
0
0
10


1 3 4
.
Infine la operazione 10R3 ci porta alla  0 1 27
20
0 0 1
Ingegneria dell’Autoveicolo, LeLing1
9
Geometria