L`integrale operazione inversa della derivata

FAQ - Ins. Gasbarro Margherita
Differenza tra integrale definito e integrale indefinito. Integrale come operazione inversa della
derivata.
Un integrale è DEFINITO quando viene stabilito in quale intervallo fare il calcolo. Lo si individua
dalla presenza agli estremi del simbolo di due numeri finiti. Geometricamente è interpretabile come:
calcola l'area che sottende alla curva nel piano cartesiano quando la sua ascissa varia tra, per
esempio, 2 e 5. Quello che si fa praticamente è una differenza tra l'area della curva che è sottesa tra
0 e 5 e l'area della curva che è sottesa tra 0 e 2.
Esempio di calcolo:
2
5
∫2 2x=2∫2 x=[ 2( x2 )] =[ x 2 ]52=52−2 2=25−4=21
5
5
2
Un integrale è INDEFINITO quando l'intervallo entro cui fare il calcolo non c'è o meglio è da fare
tra – infinito e + infinito e proprio per questo motivo il risultato non può che essere espresso con
l'ausilio di una costante + C.
Esempio di calcolo:
∫ 2x=2 ∫ x=2 (
2
x
)+C= x 2 +C
2
L'integrale è OPERAZIONE INVERSA della derivata perchè in qualche modo partendo da una
puoi arrivare all'altra e viceversa. Si ha una funzione che graficamente è una certa curva, la derivata
rappresenta la tangente alla curva mentre l'integrale della stessa funzione ne rappresenta l'area che
sottende la curva. Vista in questa ottica è difficile capire il perchè una è l'inversa dell'altra. Io la
vedrei meglio a livello operativo.
Ragioniamo sull'esempio prima sviluppato. Per risolvere l'integrale siamo andati alla ricerca della
primitiva della funzione x cioè della funzione incognita che derivata ci da x e anche pensando
semplicemente alle tabelle che si hanno a disposizione la primitiva di x è x^2 / 2.
Che l'integrale sia operazione inversa della derivata lo si può capire solo lavorando con gli integrali
indefiniti, perchè è ovvio che dal semplice scalare che si ottiene sviluppando un integrale definito
non è possibile risalire alla derivata.
d
( x 2+C )
x2
C
=d +d =2x Ricordo, infatti, che la derivata di una costante è nulla.
dx
dx
dx
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