Esercizi su curve e integrali di linea 1. Si forniscano almeno due

Esercizi su curve e integrali di linea
1. Si forniscano almeno due parametrizzazioni per la semicirconferenza
γ := {(x, y) ∈ R2 |, x2 + y 2 = 4, y ≤ 0}
2. Si fornisca una parametrizzazione per la curva intersezione fra la superficie di
equazione y = x2 e la superficie di equazione 3z = 2xy dal punto (0,0,0) al
punto (2,4,16/3)
3. Si calcoli la lunghezza delle seguenti curve:
α1 (t) = ( cos(t) + t sin(t), sin t − t cos t)
α2 (t) = (t, t2 /3, 2t3 /27)
t ∈ [−π, π]
t ∈ [0, 3]
4. Si calcoli la lunghezza della curva espressa in coordinate polari da
α(θ) = (eθ cos θ, eθ sin θ)
θ ∈ [0, 2π]
5. Si calcoli la lunghezza della curva piana, grafico della funzione y = cosh(x),
con x ∈ [0, 5].
R
6. Si calcoli l’integrale di linea (di prima specie) γ f ds, dove γ è la curva parametrizzata da
1 t2 1 t2 √
α(t) =
t ∈ [0, 2/2]
− , t, +
2
2
2
2
e f (x, y, z) = (2y 2 + 1)−3/2
7. Si calcolino le coordinate del baricentro della curva (cardioide) descritta da:
α(θ) = ((1 + cos θ) cos θ, (1 + cos θ) sin θ)
θ ∈ [0, 2π]
nell’ipotesi che la densità lineare di massa sia costante
R
8. Si calcoli l’integrale di linea (di seconda specie) γ F · dr, dove F è il campo
vettoriale
F(x, y, z) = (z, −y, 2x)
e γ è la curva parametrizzata da
α(t) = (t, t2 , t3 )
t ∈ [0, 1]
9. Si calcoli l’integrale di linea (di seconda specie)
vettoriale
F(x, y) = (−y, x)
R
γ
F · dr, dove F è il campo
e γ è l’arco di spirale parametrizzato da
α(θ) = (θ cos θ, θ sin θ)
θ ∈ [0, 2π]
10. Si calcoli l’integrale di linea (di seconda specie)
vettoriale
F(x, y) = (x2 y 2 , x3 y)
R
γ
F · dr, dove F è il campo
e γ è il perimetro del quadrato di vertici (0,0), (1,0), (1,1),(0,1).
11. Si calcolino versore tangente, versore normale, versore binormale, curvatura e
torsione della durva γ parametrizzata da
α(t) = ((2 + cos t) sin t, (2 + cos t) cos t, sin t)
nel punto corrispondente al valore di t = π/2. Si determinino inoltre centro e
raggio del cerchio osculatore in quel punto.
12. Si calcoli, punto per punto, la curvatura dell’ellisse di semiassi 2 e 5, parametrizzata da
α(θ) = (2 cos θ, 5 sin θ)
θ ∈ [0, 2π]
Soluzioni
1. α1 (θ) = (2 cos
√θ, 2 sin θ), θ ∈ [π, 2π].
α2 (t) = (t, − 4 − t2 ), t ∈ [−2, 2]
2. α(t) = (t, t2 , 2t3 /3), t ∈ [0, 2]
3. l1 = π 2 , l2 = 5
√
4. l = 2(e2π − 1)
5. l = sinh 5.
√
R
6. γ f ds = 2π/8
7. xG = 2/5 yG = 0
R
8. γ F · dr = 5/4,
9.
R
F · dr = 8π 3 /3,
10.
R
F · dr = 1/6
γ
γ
11. T(π/2) =
√1 (−1, −2, 0),
√5
41
√
, τ (π/2) =
5 5
N(π/2) =
√ 1 (−12, 6, −5),
205
B(π/2) =
6/41. Il raggio del cerchio osculatore
k(π/2) =
le coordinate del centro sono
(xC , yC , zC ) = (2, 0, 1) +
12. k(θ) = √ 2 10
3
( 4 sin θ+25 cos2 θ)
5
(−12, 6, −5)
41
√1 (2, −1, −6),
41√
5 5
è √
, mentre
41