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Analisi dei Dati - Alessandro Bogliolo
Lezione n. 16
Funzioni di una variable reale: graci, integrali e derivate.
Graco di una funzione di variabile reale:
Ricordiamo che una funzione da un insieme ad un insieme e un particolare tipo di relazione che ad ogni
elemento di associa un solo elemento di , e che ogni relazione e un sottoinsieme del prodotto cartesiano
. Una funzione da a e una relazione che ad ogni numero reale associa un solo numero reale
= ( ).
: R !R
! = ()
Il graco di e una curva nel piano cartesiano R R, costituita da tutti i punti di coordinate ( ( )). L'asse
reale a cui appartiene la variabile indipendente viene detto asse delle ascisse, l'asse a cui appartiene ( )
viene detto asse delle ordinate.
A
A
A
B
y
B
B
f
R
R
x
f x
f
x
y
f x
f
x; f x
x
f x
f(x)
f(x)
x0
x
x
Figura 1
Integrale di una funzione reale: signicato geometrico.
Chiamiamo sottograco di una funzione ( ) la regione del piano cartesiano compresa tra l'asse delle ascisse e
il graco della funzione.
Chiamiamo area del sottograco di ( ) tra 0 e l'area della porzione di sottograco i cui punti hanno ascissa
compresa tra 0 e (regione evidenziata in gura 1).
Per rappresentare l'area del sottograco di ( ) tra 0 e si usa la seguente notazione:
f x
f x
x
x
x
x
f x
x
Z
x
x
x0
()
f x dx
che si legge \integrale di da 0 a ". Le ascisse 0 e sono dette estremi di integrazione.
L'integrale di ( ) tra 0 e e un numero reale. Supponiamo di tenere ssato il primo estremo d'integrazione
( 0 ) e spostare il secondo ( ). Ad ogni valore di corrispondera un numero reale che rappresenta l'area della
nuova regione di sottograco. Il legame tra ogni valore di e il corrispondente valore dell'integrale di da 0
a e un legame di tipo funzionale, che puo quindi essere rappresentato da una funzione x0 ( ) denita come:
f
f x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
f
x
F
( )=
Fx0 x
Per ogni valore di , la funzione
primitiva di ( ).
x
Z
x
x0
x
x
()
f x dx
( ) rappresenta l'area del sottograco di tra
Fx0 x
f
x0
e .
x
( ) e detta
Fx0 x
f x
Osservazioni e proprieta:
1. L'andamento di x0 ( ) dipende dall'andamento di ( ).
2. Cambiando il primo estremo d'integrazione da 0 a 1, a tutte le aree occorre sottrarre l'area tra 0 e 1 .
Pertanto, le aree riferite al nuovo estremo 1 possono essere rappresentate da una nuova funzione x1 ( )
che dierisce da x0 ( ) per una costante :
x1 ( ) = x0 ( ) +
F
x
f x
x
x
x
x
F
x
F
K
F
x
F
x
K
x
x
3. Ad ogni funzione sono associate innite primitive che hanno tutte lo stesso andamento a meno di una
costante. Ogni primitiva e ottenuta scegliendo il primo estremo d'integrazione.
4. Per convenzione, le regioni in cui ( ) e minore di 0 (il graco e sotto all'asse delle ascisse) danno contributo
negativo all'integrale.
5. Per convenzione, invertendo gli estremi d'integrazione l'integrale cambia segno.
6. Data una primitiva x0 ( ) di ( ), l'integrale di tra e puo essere calcolato come x0 ( ) x0 ( ):
f x
F
x
f x
f
Z
b
a
a
() =
b
()
F
a
Fx0 a
f(x)
1
f(x)
0.5
g(x)
0
b
()
Fx0 b
f x dx
F
1.5
x
F (x)
F1.5(x)
0
F (x)
G1.5(x)
G0(x)
1
0.5
x
Figura 2
Derivata di una funzione reale: signicato geometrico.
Chiamiamo rapporto incrementale di una funzione ( ) in un punto di ascissa il rapporto tra l'incremento
delle ordinate e il corrispondente incremento delle ascisse relativi a spostamenti sul graco della funzione in
prossimita del punto ( ( )). In simboli, il rapporto incrementale e:
( ) = ( + ) ( )
Il limite a cui tende il rapporto incrementale quando diventa innitesimo rappresenta la pendenza della
funzione nel punto , indicata con il simbolo di derivata
()
f x
x
x; f x
f x
f x
x
x
f x
x
x
x
df x
dx
La pendenza di ( ) nel punto e un numero reale che dipende univocamente da . E quindi possibile denire
una funzione che ad ogni valore di associa il corrispondente
valore della pendenza di ( ). Tale funzione
prende il nome di derivata di ( ) e si indica con 0( ):
0( ) = ( )
f x
x
x
x
f x
f x
f
f
x
x
df x
dx
f(x)
f(x+Dx)
f(x)
x
x+Dx
x
f’(x)
f’(x)
x
x
Figura 3
Osservazioni e proprieta:
1. La derivata e positiva dove la funzione e crescente, la derivata e negativa dove la funzione e decrescente,
la derivata e nulla dove la funzione non e ne crescente ne decrescente.
Teorema fondamentale del calcolo integrale:
Data una funzione ( ) e una sua primitiva
f x
( ), la derivata di
Fx0 x
( ) e ( ).
Fx0 x
f x
Esempi:
la derivata di una funzione costante e ovunque nulla:
( ) = =) 0( ) = 0
f x
K
f
x
la derivata di una funzione il cui graco e una retta e costante:
( ) = 1 + 0 =) 0( ) =
f x
K x
K
f
x
K1
la derivata di una funzione il cui graco e una parabola e una retta:
( ) = 2 2 + 1 + 0 =) 0( ) = 2 +
f x
K x
K x
K
f
x
K x
K1
la derivata di una potenza intera di e una potenza di ordine inferiore motliplicata per l'esponente:
( ) = n =) 0( ) = n 1
x
f x
x
f
x
nx
la derivata di una somma di funzioni e la somma delle derivate:
( ) = a( ) + b( ) =) 0( ) = a0 ( ) + b0 ( )
f x
f
x
f
x
f
x
la derivata della funzione esponenziale e l'esponenziale stessa:
( ) = x =) 0( ) =
f x
e
f
x
f
x
e
x
f
x