ESERCIZI DI CALCOLO PROBABILIT`A DISTRIBUZIONI DOPPIE E

ESERCIZI DI CALCOLO PROBABILITÀ
DISTRIBUZIONI DOPPIE E NOTEVOLI
– Variabili bidimensionali –
1) Siano X1 e X2 due variabili casuali indipendenti che possono assumere valori 0, 1 e 3 rispettivamente con probabilità 1/2, 1/4 ed 1/4. Sia Z = X1 + X2 . Si determinino E[Z], V[Z] e pZ . Si
consideri poi la variabile bidimensionale (X1 , Z).
a) Le variabili X1 e Z sono indipendenti?
b) Si esprima (con una tabella a doppia entrata) la distribuzione congiunta pX1 ,Z .
c) Si determini P(Z = 4|X1 = 3).
d) Si determini P(X1 = 3|Z = 4).
2) Utilizzando le note propietà dei valori attesi dimostrare che per due variabili casuali X ed Y
non indipendenti vale
V[X + Y ] = V[X] + V[Y ] + 2Cov[X, Y ].
3) Sia (X, Y ) una variabile casuale bidimensionale discreta la cui distribuzione è data da:

0, 1
se (t, s) ∈ {(1, 2), 3, 1), (3, 3)}



 0, 2
se (t, s) ∈ {(1, 1), (2, 3)}
pXY (t, s) =

0, 3
se (t, s) = (2, 2)



0
altrimenti
a) Dire se le due variabili X ed Y sono indipendenti e/o incorrelate.
b) Calcolare le distribuzioni condizionate pX|Y (i|j) = P(X = i|Y = j), per j = 1, 2, 3.
c) Calcolare i valori attesi condizionati E[X|Y = j], j = 1, 2, 3.
e) Calcolare P(“almeno una tra X ed Y assume un valore ≤ 2”).
f) Calcolare P(X + Y ≥ 5).
4) Ci sono due monete indistinguibili. Una è equilibrata, e lanciandola escono testa o croce rispettivamente con probabilità 1/2. La seconda è truccata; lanciandola esce testa con probabilità 1/3 e
croce con probabilità 2/3. Si estragga una moneta a caso, e la si lanci due volte. Siano X1 ed X2
due variabili che assumono valore 1 se esce testa (al primo ed al secondo lancio rispettivamente), e
zero altrimenti.
a) Si espliciti la distribuzione discreta di probabilità di (X1 , X2 ).
b) Si determinino i valori attesi delle due variabili.
c) X1 ed X2 sono indipendenti e/o incorrelate?
5) Si inventi un esempio di coppia di variabili X ed Y che sono incorrelate ma non indipendenti.
6) Si lanci 4 volte ina moneta. designamo con X il numero di teste e con Y la più lunga sequenza
di teste.
1
a) Si determini la distribuzione congiunta pX,Y .
b) Si calcoli Cov[X, Y ].
– Distribuzioni notevoli –
7) (Binomiale) Un esame scritto consiste in 10 domande con 3 possibili risposte ciascuna (di cui
una sola giusta). Sia X = numero di risposte esatte date da uno studente che risponde a caso.
a) Determinare valore atteso e varianza di X.
[ 10
3 , 29]
b) Se per ottenere la sufficienza occorrono almeno 5 risposte esatte, determinare la probabilità che
lo studente la raggiunga. [0, 408]
8) (Binomiale) Mediamente 10 diodi su 100 tra quelli prodotti da una determinata fabbrica funzionano.
a) Se una scatola di diodi ne contiene 20, qual è la probabilità che esattamente uno di questi sia
non funzionante? [18 · 10−19 ]
b) Se una scatola di diodi ne contiene 20, qual è la probabilità che almeno due di questi siano non
funzionanti? [1 − 18 · 10−19 − 10−20 ]
c) Su 20 diodi, qual è il numero medio di difettosi?
[2]
9) (Binomiale) Una variabile casuale X è distribuita binomialmente con valore atteso µ = 2 e
varianza σ 2 = 3/2. Calcolare la probabilità che X assuma un valore compreso nell’intervallo [3,5]
3
(estremi inclusi). [ 438 770]
10) (Poisson) Indichiamo con Fλ la funzione di ripartizione di una variabile casuale di Poisson di
parametro λ. Mostrare che, per ogni t fissato, la funzione λ −→ Fλ (t) è decrescente in λ. [svolta
in aula]
11) (Poisson) Il numero di auto usate vendute quotidianamente da un rivenditore è una variabile
casuale con distribuzione di Poisson di parametro λ = 1/giorno. Calcolare:
a) Valore atteso e varianza di auto vendute in due giorni consecutivi; [2, 2]
b) la probabilità che siano effettuate tre vendite in un periodo di 2 giorni consecutivi;
c) la probabilità che trascorrano 2 giorni consecutivi senza che si abbiano vendite.
[ 43 e−2 ]
[e−2 ]
12) (Poisson) Una pagina a stampa di un testo contiene 3500 caratteri. Si supponga che un
tipografo commette in media un errore ogni 5000 caratteri. Assumendo che il numero X di errori
per pagina sia poissoniano, si determini:
a) la probabilità che una pagina scelta a caso sia senza errori;
b) la probabilità che un capitolo di 20 pagine contenga 5 errori.
c) il valore atteso e la varianza di errori in 20 pagine.
7
[e− 10 ]
5
−14
]
[ 14
5! e
[14, 14]
13) (Poisson) Un centralino telefonico riceve chiamate ad un tasso orario pari a λ. Nell’ipotesi che
il numero di chiamate sia una variabile casuale distribuita secondo Poisson, determinare:
2
3
λ
a) la probabilità di avere 3 chiamate in 5 minuti; [ 12λ3 3! e 12 ]
λ
b) la probabilità che in 5 minuti arrivi almeno una chiamata; [1 − e 12 ]
λ
λ
λ 4 1
c) la probabilità che in 5 minuti arrivino non meno di 5 chiamate. [1 − e 12 [1 + 12
+ . . . + ( 12
) 4! ] ]
14) (Geometrica) Supponendo che la vostra squadra di calcio vinca una partita con probabilità
0.35, si calcoli
a) la probabilità che vinca per la prima volta alla terza partita;
[0, 148]
b) il valore atteso e la varianza di partite che deve giocare prima di vincere.
[1, 857; 5, 306]
15) (Geometrica) Un giocatore lancia un dado ripetutamente fino a quando non esce un numero
≤ 4. si determini:
a) la distribuzione di probabilità del numero X di lanci effettuati;
b) la probabilità che risulti X ≤ 3.
[P [T = k] = ( 13 )k−1 23 ]
26
[ 27
]
16) (Uniforme) Si supponga che il tempo di attesa di un viaggiatore in una stazione della metropolitana sia una variabile casuale distribuita uniformemente. Si calcoli la probabilità che il tempo di
attesa sia non inferiore a 5 minuti nell’ipotesi che i convogli giungano in stazione ogni 10 minuti.
[ 12 ]
17) (Uniforme) Su di un segmento AB di lunghezza a e punto medio C si sceglie a caso un punto
D. Supponendo che la distanza X di D da A sia una variabile casuale a distribuzione uniforme in
(0, a), si calcoli la probabilità q che i segmenti AD, BD e AC possano utilizzarsi per costruire un
triangolo. [ 21 ]
18) (Uniforme) Si scelgano n punti a caso su di un segmento di lunghezza unitaria. Supponendo
che la distanza di ciascun punto da un estremo del segmento sia una variabile casuale uniforme,
calcolare la probabilità che almeno uno degli n punti disti meno di 0.25 da un estremo del segmento.
Si determini poi il valore atteso di punti che distano meno di 0.25 da un estremo del segmento.
[1 − 0.75n ; 0.75n]
19) (Uniforme) Si determini la distribuzione di probabilità dell’area di un cerchio la lunghezza del
cui diametro è una variabile casuale uniformemente distribuita nell’intervallo (a, b).
20) (Esponenziale) Un componente elettronico contiene due sottocomponenti i cui tempi di funzionamento sono aleatori, indipendenti e distribuiti esponenzialmente di media 1 anno.
a) Determinare la probabilità che entrambi i sottocomponenti siano funzionanti dopo sei mesi.
[e−1 ]
b) Determinare la probabilità che almeno uno di essi continui a funzionare dopo due anni. [2e−2 −
e−4 ]
21) (Esponenziale) Un elettrodomestico richiede in media una revisione ogni 4 anni. Nell’ipotesi
che l’intervallo di tempo tra due successive revisioni sia una variabile casuale con distribuzione
esponenziale, si calcoli
3
a) la probabilità che esso funzioni correttamente per almeno sei anni.
b) la probabilità che esso si guasti prima dei sei mesi di funzionamento.
4
[e− 6 ]
1
[1 − e− 8 ]
22) (Gamma) Disponiamo di due dispositivi elettronici il cui tempo di vita aleatorio è distribuito
esponenzialmente di media 15 giorni. Si mette in funzione il primo, e quando si rompe lo si rimpiazza
con il secondo (a “riposo” fino a quel momento). Sia T = tempo totale di funzionamento. Si
determini la probabilità che T sia maggiore o uguale a 30 gg.
23) (Gamma) Determinare i parametri di una distribuzione Gamma di media 5 e varianza 10.
24) (Gamma) Si supponga che il consumo giornaliero di energia elettrica (in milioni di Kw/h)
sia una variabile casuale con distribuzione Gamma di parametri α = 2 e λ = 4, che l’impianto di
erogazione cittadino abbia capacità di erogazione giornaliera di 16 milioni di KW/h. Calcolare la
probabilità che l’energia erogata in un determinato giorno risulti insufficiente.
25) (Normale) Sia X una variabile casuale con distribuzione normale standard. Si calcolino:
a) P(X < 1.4); [0.919]
b) P(X < −0.2); [0.421]
c) P(−0.2 < X ≤ 0.2);
[0.158]
d) P(|X − 0.4| ≥ 0.5);
[0.644]
e) P(0.2 < X < 1.5).
[0.354]
26) (Normale) Sia X una variabile casuale con distribuzione normale di media µ = 1 e deviazione
standard σ = 2. Si calcolino:
a) P(X < 4.4); [0.955]
b) P(X < 0.2); [0.345]
c) P(−0.2 < X ≤ 2.2);
[0.45]
d) P(|X − 1| ≥ 0.8); [0.69]
e) P(1.2 < X < 2.0).
[0.151]
27) (Normale) Sia X una variabile casuale normale standard. Stabilire quale dei due eventi {X ≤
0.4} e {X ≥ 0.4} ha probabilità maggiore di occorrenza.
28) (Normale) Sia α la probabilità che una variabile casuale normale standard assuma un valore
superiore a zα . Determinare zα per i seguenti valori di α: 0.0314; 0.0080; 0.0120; 0.5910. [1.86;
2.41; 2.26; -0.23]
29) (Normale) Una variabile casuale normale a media nulla assume con probabilità 0.7 un valore
nell’intervallo (−10, 10). Valutare la sua varianza. [9.612 ]
30) (Normale) Calcolare la probabilità che il discostamento di una variabile casuale normale
N (m; 1) dal suo valore atteso sia in valore assoluto minore di 1/2. [0.38]
4
31) (Normale) In una data regione si verifica una precipitazione annuale media di 52.3 cm con
deviazione standard di 15.1 cm. Si calcoli in quanti anni di uno stesso secolo c’è da attendersi una
precipitazione annuale compresa tra 41 cm e 62 cm nell’approssimazione in cui la precipitazione
annuale sia una variabile casuale normale. [51, ottenuto facendo uso anche di una distrbuzione
binomiale]
32) (Chi–quadro) In un esperimento di tiro al bersaglio gli scostamenti orizzontali e verticali del
proiettile (ossia l’ascissa e l’ordinata del punto colpito in un sistema di assi cartesiani ortogonali
con origine nel centro del bersaglio) siano due variabili casuali con distribuzione normale standard.
Sia D = distanza tra il punto colpito dal bersaglio e centro del bersaglio. Determinare il valore d
tale che:
a) P(D ≤ d) = 0.05;
b) P(D > d) = 0.99;
a) P(D > d) = 0.05.
– Riassuntivi –
33) Una certa somma S0 si denaro può essere investita in un titolo a reddito fisso oppure in azioni.
Dopo un giorno la somma S0 , se investita a reddito fisso, diventa α · S0 . Se invece viene investita in
azioni essa diventa una quantità aleatoria S1 che assume valore 1.2 · S0 con probabilità 0.6, oppure
0.9 · S0 con probabilità 0.4.
a) Calcolare valore atteso e varianza di S1 .
b) Determinare α in modo che E[S1 ] = αS0 .
Dopo n giorni la somma S0 , se investita a reddito fisso, diventa αn · S0 . Invece se investita in azioni
diventa
Sn = Xn · Xn−1 · . . . · X2 · X1 · S0
dove ogni Xi è una variabile casuale con P(Xi = 1.2) = 0.6 e P(Xi = 0.9) = 0.4. Supponendo le
Xi indipendenti,
c) calcolare E[Sn ] e V[Sn ];
d) determinare P(S1 = 1.2 · S0 |S3 = (1.2)2 · 0.9 · S0 )
e) Provare a descrivere la generica P(Sn = (1.2)k · (0.9)n−k · S0 ) (Suggerimento: ricondursi ad una
binomiale usando delle variabili casuali Zi definite come Zi = 1 se Xi = 0.9 e Zi = 0 se Xi = 1.2.)
34) Il collegamento tra una città e la sua zona industriale è realizzato mediante una linea di
autobus. Sia n il numero di cittadini che lavorano nella zona industriale. Ogni mattina ciascuno
di tali lavoratori decide, indipendentemente dagli altri, se prendere l’autobus o andare con auto
propria. Sia pi la probabilità che l’i–esimo lavoratore decida di prendere l’autobus. Sia X = numero
di lavoratori che una fissata mattina prendono l’autobus. Detta Yi la variabile casuale che assume
valore 1 se l’i–esimo lavoratore prende l’autobus e 0 altrimenti,
a) dire come è distribuita la Yi ;
b) scrivere la variabile casuale X come funzione delle Yi ;
5
c) calcolare E[X] in funzione dei valori pi ;
d) calcolare V[X] in funzione dei valori pi .
Si supponga ora che tutte le pi abbiano lo stesso valore p.
e) Come è distribuita X sotto tale ipotesi?
Il collegamento è realizzato mediante due autobus, ciascuno dei quali dispone di s posti. Ognuno
di essi è soggetto a guasti. Per a = 1, 2 sia Sa la distanza che l’autobus a percorre prima di guastarsi. Supponiamo che tali variabili casuali seguano leggi esponenziali di media µa , e supponiamole
indipendenti. I due autobus partono in coppia e, appena uno si guasta, i suoi passeggeri passano
sull’altro, se ancora funzionante e con posti disponibili. Sia d la distanza tra la città e la zona
industriale.
f) Qual è la probabilità che entrambi gli autobus arrivino a destinazione?
g) Qual è la probabilità che esattamente un autobus arrivi a destinazione?
h) Qual è la probabilità che tutti i lavoratori presentatiti alla partenza riescano a raggiungere il
lavoro? (Suggerimento: conviene scrivere tale evento in termini degli eventi:
A = entrambi gli autobus arrivano a destinazione
B = esattamente un autobus arriva a destinazione
C = {X > 2s}
D = {s < X ≤ 2s}
E = {X ≤ s}
.)
35) Siano X ed Y due variabili casuali indipendenti. X è distribuita come una normarle standardizzata, mentre Y è tale che P(Y = 1) = P(Y = −1) = 1/2. Poniamo Z = XY .
a) Qual è la distribuzione di Z? Z ed X sono indipendenti?
b) Calcolare la funzione di ripartizione di X + Z.
c) Mostrare che X e Z sono incorrelate.
36) Una moneta dà testa con probabilità p e viene lanciata N volte, dove N è una variabile
casuale di Poisson di parametro λ. Indichiamo con X ed Y il numero di teste e di croci ottenute
rispettivamente.
a) Calcolare la distribuzione congiunta di (X, Y ) e le due marginali.
b) Dimostrare che X ed Y sono indipendenti.
6