verifiche Matematica dell`anno 2015/16

Verifica di Matematica
6 Maggio 2016
Classe 4GHIsci
Non utilizzare matita né bianchetto. Il punteggio viene attribuito in base
alla correttezza e alla completezza nella risoluzione dei quesiti, al metodo
risolutivo adottato e alle caratteristiche dell’esposizione: chiarezza, ordine ed
organicità. Non verranno valutati esercizi privi del percorso risolutivo.
Sufficienza 80/140
[40] Problema Data √
la circonferenza γ di centro O e raggio 2, siano A il
suo punto di ascissa − 3 e ordinata positiva e B la sua intersezione con il
semiasse positivo delle ascisse. Sul minore dei due archi AB si consideri un
punto P e, posto P ÔB = α si tracci il grafico della funzione f (α) che esprime
l’area del triangolo OP A al variare di α e si determini:
1) il valore massimo dell’area e per quale valore di α esso è assunto. Quale
è in tal caso il perimetro del triangolo?
2) I valori di α per i quali l’area assume valori maggiori di 1.
[20] E(1) Simulazione Maturità 2016
In un riferimento cartesiano nello spazio Oxyz, data la retta r di equazioni:
x = 2t + 1
y =t+1
z = kt
(1)
e il piano β di equazione: x + 2y − z + 2 = 0, determinare per quale valore
di k la retta r e il piano β sono paralleli, e la distanza tra di essi.
[20] E(2) Simulazione Maturità 2016
Durante il picco massimo di un’ epidemia di influenza il 15% della popolazione
è a casa ammalato:
a) qual è la probabilità che in una classe di 20 alunni ce ne siano più di due
assenti per l’influenza?
b) descrivere le operazioni da compiere per verificare che, se l’intera scuola
ha 500 alunni, la probabilità che ce ne siano più di 50 influenzati è maggiore
del 99%.
[10] E(3) Determina le radici quinte di z = −1 con z ∈ C e rappresentale
nel piano di Gauss.
[20] E(4) Nel 2010, la popolazione mondiale era circa 6,8 miliardi. Assumendo una crescita esponenziale, con un tasso di crescita dell’ 1,2% all’anno,
predici la popolazione nel 2020.In quale anno la popolazione sarà 9 miliardi?
[30] E(5) Discuti le soluzioni della seguente equazione al variare del parametro
reale k
|e−2x−4 − 2| − k + 1 = 0.
Risolvi la disequazione (ln x)2 ≥ ln(x2 ).
1
Verifica di Matematica
1 Aprile 2016
Classe 4GHIsci
Non utilizzare matita né bianchetto. Il punteggio viene attribuito in base
alla correttezza e alla completezza nella risoluzione dei quesiti, al metodo
risolutivo adottato e alle caratteristiche dell’esposizione: chiarezza, ordine
ed organicità. Non verranno valutati esercizi privi del percorso risolutivo.
Sufficienza 90/160
Svolgi a scelta 8 (otto) dei 10 (dieci) esercizi
[20] E(1) Sviluppando la superficie laterale di un cilindro retto si ottiene un
rettangolo le cui diagonali sono lunghe L e formano un angolo di 30o gradi
con la base del rettangolo. Determina il volume e la superficie totale del
cilindro.
[20] E(2) In una sfera di raggio R sono inscritti due coni circolari retti
aventi le basi coincidenti ed i vertici situati da parti opposte rispetto alla
base. L’apotema del cono minore è inclinata di un angolo di 30o gradi con la
base. Determina il volume e la superficie del solido.
[10] E(3)Esame di Stato PNI 2006 I poliedri regolari - noti anche come
solidi platonici - sono, a meno di similitudini, solo cinque: il tetraedro, il
cubo, l’ottaedro, il dodecaedro e l’icosaedro. Sai dimostrarlo?
[20] E(4)Esame di Stato PNI 2006 Siano AB, AC, AD tre spigoli di un
cubo. Sapendo che uno spigolo è lungo s, calcolare la distanza del vertice A
dal piano dei punti B, C, D.
[20] E(5) Determinare in gradi, primi e secondi, l’ampiezza degli angoli che
la diagonale di un cubo forma con tutte le facce.
[20] E(6) Se considero un cubo ed un punto ad esso appartenente, scelto a
caso, è più probabile che tale punto appartenga alla sfera inscritta nel cubo
o al tetraedro inscritto nel cubo (si ricordi che il tetraedro inscritto nel cubo
è quello che ha per spigoli le diagonali delle facce del cubo stesso).
[20] E(7) Un triangolo rettangolo ha le proiezioni dei cateti sull’ipotenusa di
9 cm e 16 cm. Ruotando di 360o il triangolo attorno ad un cateto si ottiene il
solido S e ruotando attorno all’altro cateto si ottiene il solido S 0 . Determina
il rapporto tra i volumi ed il rapporto tra le superfici laterali dei due solidi
e verifica che sono uguali alla radice quadrata del rapporto fra le proiezioni
date.
[20] E(8) Esame di Stato PNI 2009 Siano dati una sfera di raggio r, il cubo
in essa inscritto ed il cono circolare retto inscritto nel cubo. Si scelga a caso
un punto all’interno della sfera: si determini la probabilità che tale punto
risulti interno al cono.
2
[20] E(9)Simulazione Ministeriale Maturità 2015 Per progettare un sito
Web è necessario generare dei codici unici di accesso. Per fare questo si
vogliono utilizzare due lettere maiuscole dell’alfabeto inglese seguite da una
serie di numeri compresi tra 0 e 9. Tutti i codici di accesso dovranno avere lo
stesso numero di cifre ed è ammessa la ripetizione di lettere e numeri. Qual è
il numero minimo di cifre da impostare in modo da riuscire a generare almeno
5 milioni di codici di accesso diversi? Giustificare la risposta .
[20] E(10)Maturità 2015 Dimostrare che il volume del tronco di cono è
espresso dalla formula,
V =
π
h R2 + r2 + Rr ,
3
dove R ed r sono i raggi e h l’altezza.
3
(2)
Verifica di Matematica
Classe 4GHIscientif ica
3 Marzo 2016
Non utilizzare matita né bianchetto. Il punteggio viene attribuito in base
alla correttezza e alla completezza nella risoluzione dei quesiti, al metodo
risolutivo adottato e alle caratteristiche dell’esposizione: chiarezza, ordine
ed organicità. Non verranno valutati esercizi privi del percorso risolutivo.
Gli esercizi contrassegnati con F valgono per il superamento del debito del
Trimestre. Sufficienza 70/120
[40] ES. 1) F 1) Nel trapezio ABCD, non degenere, rettangolo in A e in
D, la diagonale maggiore DB è bisettrice dell’angolo AB̂C = 2x e misura
2L.
a) Determina l’intervallo di variabilità della x e discuti i casi limite.
b) Determina le misure dei lati del trapezio in funzione dell’angolo AB̂C = 2x
c) Ricava l’espressione della funzione
f (x) =
AB + AD
DC + CB
e determina i valori di x per i quali la funzione f (x) assume il proprio valore
massimo nell’intervallo di variabilità dell’incognita.
d) Risolvi in x la disequazione (sin x + cos x) cos x ≥ 1.
[50] ES. 2) Data la funzione f (x) = a log2 (x + b)
1) determina a e b in modo che la funzione passi per l’origine degli assi ed
intersechi la retta y = 4 nel suo punto di ascissa 3.
2) Per questi valori di a e b determina la funzione inversa e tracciane il grafico,
3) F traccia il grafico di f (x) e di |f (x)|.
4) F Risolvi la disequazione: 2 log2 (x + 1) ≥ 3 − log1/2 x.
5) Determina i valori del parametro m in modo che la seguente funzione sia
definita:
f (x) = log 2+m (x + 1)
3−m
[30] ES. 3) E’ dato il numero complesso:
2 1−i
z=
3 1+i
1) Scrivi il numero z in forma esponenziale e trigonometrica.
2) Determina la quarta potenza del numero z.
3) Estrai le radici quarta di z.
4
Verifica di Matematica
Classe 4GHIscientif ica
29 Gennaio 2016
Non usare il bianchetto non scrivere a matita. Sufficienza 70/120
Tempo 1 ora
[15] E(1) Esame di Stato 2006 Un tiratore spara ripetutamente ad un
bersaglio; la probabilità di colpirlo è 0, 3 per ciascun tiro. Determina:
1) la probabilità che su 10 tiri il tiratore colpisca il bersaglio una volta,
2) il numero di tiri che si devono fare per avere una probabilità p ≥ 0, 99 di
colpirlo almeno una volta.
[15] E(2) Esame di Stato 2004 Si hanno a disposizione due monete. Una
delle due è regolare, mentre l’altra è truccata in modo che la probabilità che
esca testa sia 1/3. Si sceglie a caso una delle due monete e si lancia, determina la probabilità che esca testa.
[15] E(3) Esame di Stato 2013 In un gruppo di 10 persone il 60% ha gli
occhi azzurri. Dal gruppo si selezionano a caso due persone, determina la
probabilità che nessuna delle due abbia gli occhi azzurri.
[15] E(4) Esame di Stato 2015 Lanciando una moneta sei volte quale è la
probabilità che si ottenga testa al più due volte? Quale è la probabilità che
si ottenga testa almeno due volte?
[15] E(5) Esame di Stato 2015 I lati di un triangolo misurano, rispettivamente, 6 cm , 6 cm e 5 cm. Preso a caso un punto P all’interno del triangolo,
quale è la probabilità che P disti più di 2 cm da tutti e tre i vertici del
triangolo?
[15] E(6) Una piantagione di mais tradizionale e transgenico viene trattata
con un erbicida. L’erbicida uccide il 70% delle piante di mais tradizionali
e 30% delle piante di varietà transgenica. Quale deve essere la frazione di
piante transgeniche sul totale per assicurarsi che dopo il trattamento con
l’erbicida sopravviva almeno il 55% delle piante?
[30] E(7) Viene effettuato un test diagnostico su un nutrito numero di individui di cui per altra via si sa che: il 10% è malato e positivo al test, 2%
è malato e negativo, l’87% è sano e negativo, 1% è sano e positivo. Supponendo di scegliere un individuo a caso determinare la probabilità che:
1) sia malato,
2) sia positivo al test,
3) sia positivo al test se è malato (valore predittivo del test),
4) sia malato se è positivo al test (sensibilità del test).
5
Verifica di Matematica
Classe 4GHIscientif ica
15 Dicembre 2015
Non usare il bianchetto non scrivere a matita. Sufficienza 80/150
[30] ES. 1) Quando un corpo ad una certa temperatura T è posto a contatto
con un grande quantitativo di acqua ad una temperatura TH2 O la differenza
di temperatura tra il corpo e l’acqua si riduce esponenzialmente nel tempo
secondo legge del raffreddamento di Newton
T (t) − TH2 O = (T0 − TH2 O ) e−αt .
Dobbiamo cuocere delle patate in acqua bollente TH2 O = 100o C, sappiamo
che le patate sono cotte quando la loro temperatura interna è Tpatate = 70o C,
sappiamo inoltre che se le patate sono tenute in casa (temperatura in casa
20o C) si cuociono in circa 30 minuti. Supponiamo ora che le patate fossero
state tenute in terrazzo e che quindi avessero una temperatura di 3o C quanto
tempo occorre affinché si cuociano?
[20] ES. 2) Maturità 2005 Si calcoli, senza l’ausilio della calcolatrice, il
valore della seguente espressione, illustrando il procedimento seguito.
sin2 (35o ) + sin2 (55o )
[30] ES. 3) Maturità 2005 Dato un triangolo qualsiasi ABC costruire su
ognuno dei suoi lati un quadrato. Dati i tre quadrati ABDE, ACLH e
BCF G, dimostrare che i triangoli AHE, BDG, LCF e ABC hanno tutti la
stessa superficie.
[20] ES. 4) Calcolare, se esiste, un numero n per il quale risulti
n X
n
= 1048576
k
k=0
[30] ES. 5) Maturità 2006 Dopo aver dimostrato che
n
X
2k = 2n+1 − 1
k=0
rispondi al seguente quesito. Si narra che l’inventore degli scacchi chiedesse
di essere compensato con chicchi di grano: un chicco sulla prima casella,
due sulla seconda, quattro sulla terza e cosı̀ via sempre raddoppiando il numero di chicchi, fino alla 64 − esima casella. Assumendo che 1000 chicchi
pesino circa 38 gr calcola il peso in tonnellate della quantità di grano pretesa
dall’inventore.
[20] ES. 6) Simulazione Maturità 2015 Determina i valori di x per i quali
x
x+2
6
=
5
5
6
Verifica di Matematica
Classe 4GHIscientif ica
1 Dicembre 2015
Non usare il bianchetto non scrivere a matita. Sufficienza 80/140
Tempo 60 minuti
[30] ES. 1) La numerosità N (t) di una colonia batterica aumenta esponenzialmente del 30% in due ore. Se inizialmente ci sono 104 batteri, dopo
quanto tempo ce ne saranno 2 × 10104 ? Determinare l’aumento percentuale
in un’ora.
[20] ES. 2) Discuti le soluzioni della seguente equazione al variare del
parametro reale k
|e2−x − 2| − k = 0
[40] ES. 3) Risolvi le seguenti disequazioni
sin x
≥ 0,
2) logx (ln x) > logx 3
1) ln
sin x + cos x
√
x−1
3−3
3
9x+1
≥
3) (ln x)2 ≥ ln x2
4)
3x/3
3−x−1
[20] ES. 4) Luca e Claudia debbono calcolare una determinata espressione
contenente logaritmi. Luca ottiene come risultato log2 27 + log2 12 mentre
Claudia 2 + log2 81. Ammesso che il risultato di Luca sia esatto, si può
concludere che quello di Claudia sia errato? Motiva esaurientemente la tua
risposta.
[30] ES. 5) Traccia il grafico delle seguenti curve
1)
4)
y = ex+1 − 2
y = ln(x + 1) − 2
2) y = e|x|+1 − 2
5) y = ln (|x| + 1) − 2
7
3) y = e|x+1| − 2
6) y = ln (|x + 1|) − 2
Verifica di Matematica
Classe 4GHIscientif ica
9 Novembre 2015
Non usare il bianchetto non scrivere a matita. Sufficienza 45/80
[40] Problema I due segmenti adiacenti OA ed AB sono uguali ed hanno
lunghezza assegnata pari ad a. Nel medesimo semipiano rispetto alla retta
OB traccia due semicirconferenze di diametro OA e OB. Per il punto O
conduci la semiretta t tangente comune alle due semicirconferenze, sia C
un punto su tale semiretta tale che OC = a. Con origine O conduci una
semiretta che forma con OB un angolo α, siano P e Q i punti in cui la
semiretta incontra le due circonferenze,
1) determina il rapporto:
CP 2 + P Q2 + QC 2
.
2a2
2) Dopo aver dimostrato che f (α) puó essere scritta nella forma:
√
3 2
π 5
f (α) =
cos 2α +
+
2
4
2
traccia il grafico di f (α) indipendentemente dai limiti imposti dal problema.
3) Determina le intersezioni che la retta y = 2 − k ha con y = f (α) con α nei
limiti imposti dal problema geometrico.
4) Posto tan α = x verifica che f (α) diventa:
f (α) =
x2 − 3x + 4
.
x2 + 1
5) Determina il dominio, le intersezioni con gli assi ed il segno di f (x).
f (x) =
Quesiti
[10] 1) Applicando il teorema dei seni dimostra il teorema della bisettrice
secondo il quale la bisettrice di un angolo di un triangolo divide il lato opposto
in parti proporzionali agli altri due lati.
[10] 2) Ti trovi su una spiaggia e vuoi calcolare l’altezza di un isolotto
scoglioso, scegli due punti A e B allineati con l’isolotto e distanti fra loro
L = 20 m. Siano D un punto alla base dell’isolotto e C un punto sulla
sommità. Con un teodolite misuri gli angoli DÂC = 28o e DB̂C = 20o .
Determina l’altezza dell’isolotto.
[10] 3) Determina il valore della seguente espressione
[10] 4) Determinare le soluzioni della disequazione
√
1
π
3
< sin x +
<
2
6
2
8
sin[2 arccos(2/3)]
Entro parentesi quadra il punteggio massimo assegnato ad ogni esercizio.
Il punteggio viene attribuito in base alla correttezza e completezza nella
risoluzione dei quesiti, nonché alle caratteristiche dell’esposizione: chiarezza,
ordine ed organicità. La sufficienza si ha con 60/120
Non usare il bianchetto non scrivere a matita
[10] 1)
Verifica Breve di Matematica
tempo a disposizione 15 minuti
Valida per la Valutazione Orale
Classe 4GHIscientif ica
27 Ottobre 2015
Nome........................................Cognome.................................
Risolvi le seguenti disequazioni elementari in un periodo. Scrivi
il risultato a fianco della disequazione, puoi usare ogni parte del
foglio.
√
5
≤ sin x < 1
4
1)
−
2)
cos x ≥
3)
√
3
sin x ≥ −
2
4)
−1 ≤ cos x < −
1
2
1
2
√
5)
6)
7)
8)
9)
tan x > −
3
3
√
tan x < 3
√
1
3
− < sin x <
2
2
√
3
< cos x ≤ 2
2
−1 ≤ tan x ≤ 2
9
10)
1
≤ sin x ≤ 1
4
10
Verifica di Matematica
Classe 4GHIscientif ica
28 Settembre 2015
Entro parentesi quadra il punteggio massimo assegnato ad ogni esercizio.
Il punteggio viene attribuito in base alla correttezza e completezza nella
risoluzione dei quesiti, nonché alle caratteristiche dell’esposizione: chiarezza,
ordine ed organicità. La sufficienza si ha con 60/120
Non usare il bianchetto non scrivere a matita
[10] 1) Determinare dominio e segno delle seguenti funzioni
√
√
x − x2 − x + 1
1 + x2 − 2x
1) f (x) =
;
2)
f
(x)
=
x3
|x − 2| − 2
[40] 2) Data la funzione
π
f (x) = 2 sin 2x +
+ a cos(2x)
2
1) determina il valore di a in modo che la funzione intersechi l’asse delle y
nel punto di ordinata 3.
2) semplifica opportunamente la funzione e traccia il suo grafico.
3) Traccia il grafico
di y = f (|x|), y = |f (x)|, y = |f (x)| + 2, y = f (x/2)
e y = f x + π6 .
4) Partendo dal grafico di f (x) determina per quali valori del parametro reale
k l’equazione f (x) = k 2 − 1 ha soluzioni reali e distinte, ha soluzioni a due a
due reali e coincidenti, non ha soluzioni.
[20] 3) Determina per quali valori di k ∈ < esiste un angolo α tale che:
k
k−1
determinare inoltre, in funzione di k l’espressione di cos α e del sin 2α.
[30] 4) La funzione
π
π
y = 3 sin
t−
4
2
dove t è in secondi ed S in metri rappresenta l’equazione oraria di un moto armonico. Determina l’ampiezza A del moto, il periodo T , la posizione iniziale
e la velocità massima.
[10] 5) Tracia il grafico cartesiano della curva definita dalle seguenti equazioni
parametriche e scrivi la sua equazione cartesiana:
sin α =
y = 1 − sin x
x = 2 + cos x ,
[10] 6) Tracia il grafico delle seguenti curve:
√
3
1
2
y = sin x + 1 ,
y=
sin x + cos x
3
3
11
(3)