ESERCIZIO 3 Lanciando una moneta sei volte, qual é la probabilitá

ESERCIZIO 3
Lanciando una moneta sei volte, qual é la probabilitá che si ottenga
testa al piú due volte? Qual é la probabilitá che si ottenga testa almeno
due volte?
Indichiamo con X il numero di teste ottenute in sei lanci della
moneta (supposta ovviamente regolare); la variabile aleatoria X ha
distribuzione binomiale di parametri n = 6 e p = 1/2. Dunque, per
quanto riguarda la prima probabilitá richiesta, si ha:
P rob(X ≤ 2) = P rob(X = 0) + P rob(X = 1) + P rob(X = 2) =
( )
( )
( )
6
6
6
6
5
(1/2) +
(1/2)(1/2) +
(1/2)2 (1/2)4 = 11/32 = 0.34375.
0
1
2
Per quanto riguarda la seconda probabilitá si ha:
P rob(X ≥ 2) = 1 − P rob(X = 0) − P rob(X = 1) =
( )
( )
6
6
6
(1/2)(1/2)5 = 57/64 = 0.890625.
(1/2) −
1−
1
0
ESERCIZIO 8
I lati di un triangolo misurano, rispettivamente, 6 cm, 6 cm e 5 cm.
Preso a caso un punto P all’interno del triangolo, qual é la probabilitá
che P disti piú di 2 cm da tutti e tre i vertici del triangolo?
Il punto P dista piú di 2 cm da ogni vertice se non giace in nessuno
dei tre spicchi di lato 2 cm corrispondenti ai tre vertici, ovvero se giace
nella regione centrale del triangolo ottenuta eliminando i tre spicchi
suddetti. Poiché la somma degli angoli interni ad un triangolo é π,
l’area complessiva AS dei tre spicchi é pari a metá dell’area di un cerchio
di raggio 2 cm, per cui
AS = π(22 )/2 = 2π.
L’area complessiva del triangolo, indichiamola con AT , é data da
1 √
5√
AT = 5 62 − (5/2)2 =
119.
2
4
Dunque l’area della regione centrale del triangolo é la differenza
5√
AC = AT − AS =
119 − 2π
4
e, quindi, la probabilitá cercata é data dal rapporto tra l’area della
regione centrale e l’area totale, ovvero
√
5
119 − 2π
AC
8π
prob =
= 4 5√
=1− √
= 0.5392;
AT
119
5 119
4
il risultato é stato arrotondato alla quarta cifra decimale.