MATEMATICA CORSO A III COMPITINO (Tema 1)

MATEMATICA CORSO A
III COMPITINO (Tema 1)
31 Maggio 2013
Soluzioni
1. Un dado truccato ha la caratteristica che la probabilitá di ottenere “6” è il quadruplo della probabilità
di ottenere ciascuno degli altri punteggi. Indicata con X la variabile aleatoria “punteggio ottenuto nel
lancio del dado” determina la sua distribuzione di probabilità ed il suo valor medio.
Indicata con p la probabilitá dei punteggi {1, 2, 3, 4, 5} si deve avere 5 p + 4 p = 1 da cui p = 1/9. Il valore
atteso di X si calcola in questo modo:
E[X] = 1 ·
1
1
1
1
1
4
39
13
+2· +3· +4· +5· +6· =
=
9
9
9
9
9
9
9
3
2. Calcola l’area della regione di piano delimitata dall’asse delle ascisse, dalle rette x = e, x = e3 e dalla
curva di equazione
ln x − 1
y=
x
.
Per rispondere alla domanda si deve calcolare il seguente integrale:
e3
Z
ln x − 1
dx
x
e
La funzione integranda è del tipo f (x) = g(x) g 0 (x) che ammette come primitiva F (x) = g 2 (x)/2 quindi
si ha
e3
Z e3
(ln x − 1)2
ln x − 1
dx =
=2
x
2
e
e
3. In una scatola ci sono 4 palline Verdi, 3 Rosse e 3 Blu.
a) Si fanno 6 estrazioni con rimessa: calcola la probabilità di estrarre esattamente 4 palline Rosse.
b) Indicata con X la variabile aleatoria che conta il numero di palline Verdi estratte, quante estrazioni
con rimessa si dovranno effettuare affinché il valore atteso di X risulti 18?
a)
P (4R) =
6
4
3
10
4 7
10
2
b) La distribuzione di probabilità di X è binomiale con parametro p = P (V ) = 4/10 = 2/5, mentre il
suo valore atteso vale n p, quindi
n p = 18
⇔
n=
18
= 45
p
4. Sia X una variabile aleatoria continua con funzione di densità (a ∈ R)
 at
t≤0
 e
2 0 < t ≤ 13
f (t) =

0 t > 13
Determina:
a) la costante a in modo che f (t) rappresenti davvero una densità di probabilità;
b) la funzione di ripartizione di X;
c) il valor medio E(X) e la mediana.
1
a) Affinché f sia una densità di probabilità deve valere f (t) ≥ 0 ∀t ∈ R e
Z +∞
f (t) dt = 1
−∞
Imponendo quest’ultima condizione, e verificando che nell’intervallo (0, 1/3] tale integrale vale 2/3,
si arriva a
Z 0
1
ea t dt =
⇔ a=3
3
−∞
b) La funzione di ripartizione F (t) è tale che F (t) = P (X ≤ t) ed è espressa dal seguente integrale
della funzione densità di probabilità:
Z t
f (x) dx
F (t) =
−∞
Nel nostro caso è quindi data da
F (t) =


1
3

e3 t
+ 2t
1
1
3
t≤0
0<t≤
t > 13
1
3
c) Nota la funzione di densità il valor medio è dato da
Z +∞
Z 0
Z
E(X) =
t f (t) dt =
t e3t dt +
−∞
−∞
1/3
2 t dt
0
Il primo integrale lo svolgiamo per parti:
0
Z 0
Z 0
1
1
e3t
t 3t
e
−
= 0 − [e2t ]0−∞ = −
t e3t =
3
3
9
9
−∞
−∞
−∞
Quindi
E(X) = −
Per trovare la mediana deve essere
1 2 1/3
1
1
+ t 0 =− + =0
9
9
9
x
Z
f (t) dt =
−∞
Poiché
Z
0
f (t) dt =
−∞
1
2
1
1
<
3
2
la mediana è sicuramente maggiore di 0: facciamo il calcolo, notando che
Z x
1
1
1
f (t) dt = [2 t]x0 = 2 x = − =
2
3
6
0
da cui x =
1
.
12
5. Per una data località è noto che la concentrazione X di monossido di carbonio nell’aria è approssimativamente distribuita secondo una gaussiana di media 10.2 mg/m3 e deviazione standard 1.2 mg/m3 .
a) Determinare i valori a e b tali che P (a ≤ X ≤ b) = 0.90.
b) Calcolare la probabilità, prelevando 16 campioni di aria in quel luogo, di ottenere una media
campionaria compresa tra 9.8 e 10.6.
c) Quanti campionamenti sarebbero necessari affinchè la probabilità che la media campionaria superi
il valore 10.6 sia non superiore a 0.02?
a) Analizzando le tavole della curva normale standardizzata si ha che l’area sottesa a tale curva è 0.90
quando l’intervallo di integrazione è [−1.65, 1.65], quindi
a = −1.65 · 1.2 + 10.2 = 8.22
2
b = 1.65 · 1.2 + 10.2 = 12.18
b) La media campionaria di X (X̄16 ) è una nuova
√ variabile aleatoria avente stessa media di X (µ = 10.2)
e deviazione standard pari a σX̄16 = σX / 16. Standardizzando i valori 9.8 e 10.6 otteniamo
10.6 − 10.2
√
' 1.33
1.2/ 16
9.8 − 10.2
√
' −1.33
1.2/ 16
quindi la probabilità cercata è
P (−1.33 < Z < 1.33) = 2 Φ(1.33) − 1 = 0.8164 ,
dove Z è la media campionaria standardizzata.
c) Indichiamo con (X̄n ) la media campionaria relativa a n campionamenti. La condizione che vogliamo
si verifichi è
P (X̄n ≥ 10.6) ≤ 0.02 ⇔ P (X̄n < 10.6) > 0.98 ;
Standardizzando la media campionaria ed il valore 10.6 si ottiene
√
10.6 − 10.2
√
) > 0.98 ⇔ 0.33 n > 2.06 ⇔ n > 38.97 ;
1.2/ n
P (X̄nst <
sono quindi necessari almeno 39 campionamenti.
6. Supponi che il numero N di batteri di una coltura al tempo t soddisfi la seguente equazione differenziale
d
N (t) = 3 (106 − N )
dt
per t ≥ 0
a) Risolvi l’equazione differenziale nell’ipotesi che al tempo iniziale il numero di batteri sia 103 .
b) Per un tempo infinito, come si comporta il numero di batteri?
c) Disegna il grafico di N (t), anche per t < 0.
d) Quanto tempo occorrerà affinché il numero di batteri diventi 10 volte il valore iniziale?
a) Risolviamo l’equazione differenziale nell’ipotesi N (0) = 103 (α1 , α2 , α ∈ R).
dN
= 3 (106 − N )
dt
dN
= 3 dt
(106 − N )
⇔
1
= α2 e3 t
(106 − N )
⇔
− ln(106 − N ) = 3 t + α1
⇔
N (t) = 106 − α e−3 t
⇔
α = 106 − 103
Imponendo N (0) = 103 si ottiene
103 = 106 − α
quindi
N (t) = 106 − (106 − 103 ) e−3 t = 106 [1 − (1 − 10−3 ) e−3 t ]
b) L’accrescimento della popolazione di batteri ha un limite superiore pari a 106 , infatti
lim N (t) = 106
t→+∞
3
⇔
c)
d) Dobbiamo risolvere l’equazione
N (t) = 10 N (0)
⇔
102 [1 − (1 − 10−3 ) e−3 t ] = 1
106 [1 − (1 − 10−3 ) e−3 t ] = 104
⇔
4
e−3 t =
−2
1 − 10
1 − 10−3
⇔
t=
⇔
1
ln
3
999
990