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Esercizi di Probabilità e Statistica
Samuel Rota Bulò
8 maggio 2006
V.a. continue e integrali
Esercizio 1 Calcolare i seguenti integrali:
R x
1. 1+x
2 dx;
R 1
2. x·ln x dx;
R
3. ln x dx;
R
4. x2 · ex dx
Esercizio 2 Determinare il valore di k per cui le seguenti funzioni sono densità:
1. f (x) = k · sin x con 0 < x <
π
4
2. f (x) = k con x ∈ (−1, 1)
3. f (x) = k · x2 con x ∈ (−k, k)
q
√
[1) 2/(2 − 2); 2) 1/2; 3) 4 32 ]
Esercizio 3 Sia data una v.a. X la cui funzione di densità è f (x) = k · e−|x|
per ogni x ∈ R. a) Determinare la costante di normalizzazione k.b) Calcolare
la funzione di ripartizione. c) Calcolare media, mediana, e varianza di X.
[a) k = 0.5; c) 0, 0, 2]
Esercizio 4 X indica la vita in ore di una lampadina ed è distribuita secondo
la densità
c
f (x) = 2 · 1(100,∞) (x)
x
dove 1A (x) è la funzione indicatrice che assume valore 1 se x ∈ A, 0 altrimenti.
a) Trovare il valore di c per cui questa funzione è una densità di probabilità.
b) Calcolare la f.r. di X, la sua media, la varianza, i quartili e la P {X > 500}.
1
[a) c = 100; b) E[X] e V ar[X] non esistono; 400
3 ; 200; 400; 5 ]
Esercizio 5 Si fissa a 1 il livello minimo delle acque di un fiume, mentre il
livello massimo è una v.a. Y con f.r.
FY (y) = 1 −
1
,
y2
1≤y<∞
a) Disegnare FY e verificare che è una f.r.; b) Trovare la densità di Y e farne
il grafico; c) Calcolare la probabilità che il livello del fiume superi la soglia di
guardia k > 1; d) Calcolare media, varianza, moda e mediana di Y .
1
Esercizio 6 Il tempo di durata in ore di un certo componente elettronico di una
macchina segue una distribuzione con densità di probabilità
f (x) =
1 −x
·e 2,
2
x≥0
. Qual è la probabilità che su 100 componenti esattamente k abbiano durata
maggiore di 2 ore?
[ 100
· e−k · (1 − e−1 )100−k ]
k
Esercizio 7 a) Si determini la costante c, in modo che la funzione
fX (x) =
2 · (a − x)
,
ac
0≤x≤a
sia una densità. b) Calcolare il valore atteso. c) Per quale parametro a, il 90%
della probabilità è compreso tra 0 e a2 ? d) Calcolare la varianza.
2
[a) c = 2; b) a3 ; c) nessun valore di a; d) a18 ]
2