Probabilità 1

Palline
1. In un sacco non trasparente sono contenute 3 palline identiche: 2 bianche, 1 rossa. Qual e’ la
probabilita’ che se ne estragga una rossa ? E una bianca ?
Su 3 palline, 2 sono bianche, 1 rossa. Sono tutte identiche (stessa grandezza, stesso materiale (stesso
peso, elasticita’, odore…), stesso tipo di superficie…) quindi non possono essere distinte. Dalla definizione
elementare di probabilita’ ne segue che estraendone 1 si avra’ una sola possibilita’ su tre che sia rossa. Le
bianche avranno invece 2 possibilita’ su tre di essere estratte. Quindi:
PB =
2
3
PR =
1
3
Si potrebbe anche ragionare in modo “analitico”, ossia considerando tutti i casi possibili. I risultati di una
estrazione sono solo due: estrazione del rosso o del bianco, che puo’ pero’ comparire in due diverse palline.
Immaginando di poter però distinguere le due palline bianche, i casi possibili diventano:
B1
B2
R
Il rapporto casi favorevoli su casi possibili porta quindi esattamente a quanto scritto prima.
2. In un sacco non trasparente sono contenute 3 palline: 2 bianche, 1 rossa. Se ne estrae 1 e la si
rimette nel sacchetto, se ne estrae poi una seconda. Qual e’ la probabilita’ che, nell’ordine, sia stata
estratta una bianca e poi una rossa ?
Il problema si risolve facilmente per via “sintetica”, ossia probabilistica. La prima pallina estratta ha
probabilita’ 2/3 di essere bianca e 1/3 di essere rossa. Una volta estratta, viene rimessa dentro il sacco, quindi
la seconda pallina estratta non puo’ “ricordarsi” che e’ stata estratta una sua collega: i due eventi sono del
tutto indipendenti. E’ noto che la probabilita’ che avvengano assieme eventi indipendenti e’ pari al prodotto
delle probabilita’ dei singoli eventi. Quindi, dal problema 1:
PBR =
2 1 2
⋅ =
3 3 9
D’altra parte, per via analitica, considerando tutti i casi possibili, con possibile ripetizione delle bianche,
che sono due e vengono rimesse nel sacco:
B1 + R
B2 + R
R + B1
B1 + B2
B2 + B2
R + B2
B1 + B1
B2 + B1
R+R
si vede che su 9 casi possibili solo in 2 si ha quanto richiesto, cioe’ la prima pallina bianca, qualunque sia
(sono indistinguibili…) e la seconda rossa. Quindi indipendentemente dal metodo:
PBR =
2
9
3. In un sacco non trasparente sono contenute 3 palline: 2 bianche, 1 rossa. Se ne estrae una e non la
si rimette nel sacchetto, se ne estrae poi una seconda. Qual e’ la probabilita’ che, nell’ordine, sia
stata estratta una bianca e poi una rossa ? E qual e’ la probabilita’ che, nell’ordine, sia stata
estratta una rossa e poi una bianca ?
Si proceda analizzando probabilisticamente il problema. La probabilita’ che la prima pallina estratta sia
bianca e’ 2/3. La probabilita’ che la seconda sia rossa non sara’ pero’ piu’ 1/3, perche’ la prima pallina non
e’ stata reinserita nel sacco. Sara’ quindi ½, perche’ tolta la prima nel sacco le palline sono due di colori
diversi. Tenendo conto di questo, la probabilita’ cercata sara’:
PBR =
2 1 1
⋅ =
3 2 3
1
Analogamente, la probabilita’ di aver estratto prima una rossa e poi una bianca, sara’:
PRB =
1
1
⋅1 =
3
3
perche’ estratta la rossa si ha la certezza (probabilita’ 1) che la seconda sara’ bianca. Come si vede, le
probabilita’ sono uguali fra loro ma diverse dal caso precedente: non reinserire la prima pallina estratta nel
sacco influenza il risultato.
Il problema poteva essere risolto al solito anche considerando tutti i casi possibili: considerando che non
è più possibile estrarre due volte una stessa pallina (per questo da “+” si passa a & per sottolineare che
all’estrazione non segue più, come nel problema 2, il reinserimento):
B1 & R
B2 & R
B1 & B2
R & B1
R & B2
B2 & B1
2 casi su 6 portano a bianco e poi rosso, quindi la probabilita’ e’ 1/3. Anche rosso e poi bianco ha prob. 1/3.
4. In un sacco non trasparente sono contenute 3 palline: 2 bianche, 1 rossa. Se ne estraggono 2
insieme prendendone una fra l’indice ed il medio, e l’altra fra il medio e l’anulare. Qual e’ la
probabilita’ che siano, rispettivamente, nell’ordine, una bianca e una rossa ? Qual e’ la
probabilita’ che siano, rispettivamente, nell’ordine, una rossa e una bianca ?
Le palline vengono estratte insieme. Non si possono distinguere i loro colori perche’ sono indistinguibili, ma
con la procedura detta si puo’ dar loro un ordine di estrazione identico a quello dato nel problema 3: una
pallina alla volta, senza reinserimento della prima estratta. Anche se la prima pallina non viene estratta,
perche’ vengono prese assieme, si impone comunque un ordine!
5. In un sacco non trasparente sono contenute 3 palline: 2 bianche, 1 rossa. Se ne estraggono 2
insieme, senza poter stabilire un ordine. Qual e’ la probabilita’ che siano di colori differenti ?
Si ragioni nel modo piu’ elementare possibile: casi possibili (si mette il simbolo di intersezione invece di
& o + per distinguere i casi: adesso le palline vengono estratte insieme, a coppia, senza nessun ordine):
B1 ∩ R
B2 ∩ R
B1 ∩ B2
R ∩ B1
R ∩ B2
B2 ∩ B1
Il problema non richiede l’ordine di estrazione, chiede colori diversi e basta. Su 6 casi possibili ci sono 4 casi
favorevoli, quindi la probabilita’ e’ 4/6, ossia 2/3.
Si ragioni ora probabilisticamente. La probabilita’ cercata e’ quella di un evento che unione di due
altri eventi disgiunti: si estrae rosso-bianco (RB) e bianco-rosso (BR), disgiunti perche’ se si considera
l’ordine dei colori, non possono accadere insieme. La probabilita’ che si abbiano due colori diversi sara’
quindi la somma delle probabilita’ dei due ordini:
Pcolori = PBR + PRB
diversi
A sua volta, ognuno di questi prevede che accadano assieme due altri eventi disgiunti, ossia che una pallina
sia rossa, l’altra bianca, o viceversa, nell’ordine stabilito. La probabilita’ di ognuno dei due casi e’ quindi
pari al prodotto delle probabilita’ di estrazione dei colori, ma tenendo conto di chi e’ il primo, come fatto nel
problema 3:
1
⎛ 2⎞
⎛1⎞
PBR = ⎜ ⎟
⋅⎜ ⎟
=
Pr ima ⎝ 2 ⎠ Poi
3
⎝ 3 ⎠ bianco
rosso
1
⎛1⎞
⎛ 2⎞
PRB = ⎜ ⎟
⋅⎜ ⎟
=
ima ⎝ 2 ⎠ Poi
3
⎝ 3 ⎠ Pr
rosso
bianco
il risultato e’ quindi ancora quanto gia’ trovato prima:
2
⎞
⎛⎛ 2 ⎞
⎞
⎛⎛ 1 ⎞
1 1 2
⎛1⎞
⎛ 2⎞
⎟⎟ + ⎜⎜ ⎜ ⎟
⎟⎟ = + =
⋅⎜ ⎟
Pcolori = ⎜⎜ ⎜ ⎟
⋅⎜ ⎟
diversi
⎝ ⎝ 3 ⎠ bianco ⎝ 2 ⎠ rosso ⎠ BR ⎝ ⎝ 3 ⎠ rosso ⎝ 2 ⎠ bianco ⎠ RB 3 3 3
C’e’ un altro metodo “analitico’, piu’ potente della “conta” dei casi: il calcolo combinatorio. I casi
possibili sono tutte le possibili coppie, senza considerare l’ordine, che si possono costruire a partire da 3
⎛ 3⎞
3!
elementi, cioe’ ⎜⎜ ⎟⎟ =
. I casi favorevoli sono pari al numero delle coppie con elementi di colori
⎝ 2 ⎠ 2!(3 − 2)!
diversi, in qualunque ordine li si consideri nella coppia (rosso-bianco e’ uguale a bianco-rosso). Li si
calcolera’ come prodotto del numero dei modi in cui si puo’ scegliere una pallina bianca moltiplicato per
quello dei modi in cui si puo’ scegliere una pallina rossa. Le palline bianche sono 2, quindi le possibili loro
⎛ 2⎞
scelte sono tutti i possibili gruppi di un solo elemento scelto fra 2, ossia ⎜⎜ ⎟⎟ , la pallina rossa e’ una sola,
⎝ 1⎠
⎛1⎞
quindi le possibili scelte sono tutti i possibili gruppi di un solo elemento scelto fra 1, ossia ⎜⎜ ⎟⎟ . Ebbene, si
⎝1⎠
riottene il risultato trovato gia’ con due metodi:
P2 colori
⎛ 2 ⎞⎛1⎞⎛ 3 ⎞
= ⎜⎜ ⎟⎟⎜⎜ ⎟⎟⎜⎜ ⎟⎟
⎝ 1 ⎠⎝1⎠⎝ 2 ⎠
−1
=
2 ⋅1
2
2!=
3!
3
6. In un sacco non trasparente sono contenute 7 palline: 3 bianche, 4 rosse. Se ne estraggono 4
insieme senza poter stabilire un ordine. Qual e’ la probabilita’ che siano due bianche e due rosse ?
Si tratta tutto sommato di una variante del problema precedente: si chiede un certo numero di
bianche, di rosse, non importa in che ordine siano. Affrontare il problema analizzando tutte le possibili
quaterne richiede un tempo lungo e si puo’ sbagliare. Il metodo sintetico della probabilita’ e’ anch’esso
lungo, e sara’ affrontato dopo. Il metodo piu’ affidabile e veloce e’ il calcolo combinatorio: i casi possibili
sono tutte le possibili quaterne di elementi diversi che si possono costruire a partire da 7, cioe’
⎛ 7⎞
7!
⎜⎜ ⎟⎟ =
. I casi favorevoli sono pari al numero delle quaterne con elementi di colori diversi a
⎝ 4 ⎠ 4!(7 − 4)!
coppie, in qualunque ordine li si consideri (RBBR e’ uguale a RRBB). Li si calcolera’ come prodotto del
⎛ 3⎞
numero dei modi in cui si possono scegliere due palline bianche da 3, ⎜⎜ ⎟⎟ , moltiplicato per quello dei modi
2
⎝ ⎠
⎛ 4⎞
in cui si possono scegliere due palline rosse fra 4, ⎜⎜ ⎟⎟ . Il risultato e’:
2
⎝ ⎠
⎛ 3 ⎞⎛ 4 ⎞⎛ 7 ⎞
P2 coppie = ⎜⎜ ⎟⎟⎜⎜ ⎟⎟⎜⎜ ⎟⎟
⎝ 2 ⎠⎝ 2 ⎠⎝ 4 ⎠
−1
=
3!4!4!3! 20736 18
=
=
= 0.514...
2!2!2!7! 40320 35
Per via probabilistica occorre ragionare “sezionando” i casi, come visto nel problema 5. La
probabilita’ richiesta sara’ la somma delle probabilita’ di tutte le possibili disposizioni (eventi disgiunti) in
cui compaiano due coppie di colori diversi:
P2coppie = PRRBB + PRBRB + PBRBR + PBBRR + PRBBR + PBRRB
Ognuna di queste probabilita’ sara’ il prodotto delle probabilita’ della singola disposizione, ad esempio:
⎛ 4⎞
⎛ 3⎞
PRBBR = ⎜ ⎟
⋅⎜ ⎟
prima ⎝ 6 ⎠ sec onda
⎝ 7 ⎠ rossa
bianca
3
⎛ 2⎞
⋅⎜ ⎟
⎝ 5 ⎠ terza
bianca
72
⎛ 3⎞
⋅⎜ ⎟
=
840
⎝ 4 ⎠ quarta
rossa
perche’ estratta una rossa, posso scegliere fra 3 bianche e 3 rosse; estratte una rossa e una bianca posso
scegliere fra 2 bianche e 3 rosse; estratte una rossa e una bianca e una bianca, posso scegliere fra 1 bianca e 3
rosse… Ognuna delle probabilita’ scritte, inoltre sara’ uguale alle altre, perche’ le palline sono
indistinguibili! Lo si e’ gia’ visto nel problema 5, d’altra parte. Tanto per fare la prova:
⎛ 3⎞
PBRBR = ⎜ ⎟
prima
⎝ 7 ⎠ bianca
⎛ 4⎞
⋅⎜ ⎟
onda
⎝ 6 ⎠ sec
rossa
72
⎛ 2⎞
⎛ 3⎞
⋅⎜ ⎟
⋅⎜ ⎟
=
= 0.08571...
quarta
4
840
⎝ 5 ⎠ terza
⎝
⎠
bianca
rossa
cambia l’ordine delle frazioni, ma non le frazioni, e la moltiplicazione e’ commutativa… Quindi:
P2 coppie = 6 ⋅
72
72 18
=
=
840 140 35
Il metodo cambia, ma il risultato non puo’ cambiare! Una nota: si sono risolti due problemi in uno: se si
chiedesse qual e’ la probabilita’ che escano, nell’ordine, BRBR o RBRB o BBRR… la risposta e’ 72/840. Il
metodo probabilistico, quindi, per quanto in questo caso piu’ lungo di quello combinatorio, permette di
capire qualcosa di piu’ di quel che si sta facendo.
7. In un sacco non trasparente sono contenute 7 palline: 3 bianche, 4 rosse. Se ne estraggono 4
insieme senza poter stabilire un ordine. Qual e’ la probabilita’ che siano 3 bianche e 1 rossa ?
Si tratta del problema 6 con un diverso numero di bianche e rosse, non importa in che ordine siano.
Per via probabilistica, “sezionando” i casi. La probabilita’ richiesta sara’ la somma delle probabilita’ di tutte
le possibili disposizioni (eventi disgiunti) in cui compaiano 3 bianche e 1 rossa:
P2 coppie = PRBBB + PBRBB + PBBRB + PBBBR
Ognuna di queste probabilita’, uguali, e’ il prodotto delle probabilita’ della singola disposizione, ad esempio:
24
⎛ 4⎞
⎛ 3⎞
⎛ 2⎞
⎛1⎞
⋅⎜ ⎟
⋅⎜ ⎟
⋅⎜ ⎟
PRBBB = ⎜ ⎟
=
= 0.028571...
prima ⎝ 6 ⎠ sec onda ⎝ 5 ⎠ terza
quarta
4
840
⎝ 7 ⎠ rossa
⎝
⎠
bianca
bianca
bianca
per quanto detto gia’ al problema 6, quindi:
Ptot = 4 ⋅
24
96
12
=
=
= 0.1142...
840 840 105
Con il calcolo combinatorio: i casi possibili sono tutte le possibili quaterne di elementi diversi che si
⎛ 7⎞
7!
. I casi favorevoli sono pari al numero delle quaterne
possono costruire a partire da 7, cioe’ ⎜⎜ ⎟⎟ =
⎝ 4 ⎠ 4!(7 − 4)!
con 3 elementi bianchi e uno rosso, in qualunque ordine li si consideri (RBBB e’ uguale a BRBB). Li si
⎛ 3⎞
calcolera’ come prodotto del numero dei modi in cui si possono scegliere tre palline bianche da 3, ⎜⎜ ⎟⎟ ,
⎝ 3⎠
⎛ 4⎞
moltiplicato per quello dei modi in cui si puo’ scegliere una pallina rossa fra 4, ⎜⎜ ⎟⎟ . Il risultato e’ noto:
1
⎝ ⎠
⎛ 3⎞⎛ 4 ⎞⎛ 7 ⎞
P2 coppie = ⎜⎜ ⎟⎟⎜⎜ ⎟⎟⎜⎜ ⎟⎟
⎝ 3⎠⎝ 1 ⎠⎝ 4 ⎠
−1
=
1 ⋅ 4 ⋅ 4!⋅3!
6
24
=4
=
= 0.1142...
7!
7 ⋅ 6 ⋅ 5 210
8. In un sacco non trasparente sono contenute 7 palline: 3 bianche, 4 rosse. Se ne estraggono 4
insieme senza poter stabilire un ordine. Qual e’ la probabilita’ che siano tutte rosse ?
Il problema, analogo ai due precedenti, e’ immediatamente risolto, ad esempio, con il calcolo
combinatorio:
4
P4 rosse
⎛ 3 ⎞⎛ 4 ⎞⎛ 7 ⎞
= ⎜⎜ ⎟⎟⎜⎜ ⎟⎟⎜⎜ ⎟⎟
⎝ 0 ⎠⎝ 4 ⎠⎝ 4 ⎠
−1
=
1 ⋅ 1 ⋅ 4!⋅3!
6
6
=
=
= 0.02857...
7!
7 ⋅ 6 ⋅ 5 210
La strada probabilistica e’ altrettanto semplice: c’e’ un solo ordine possibile per quattro palline dello
stesso colore, se sono indistinguibili…
⎛ 4 ⎞ ⎛ 3 ⎞ ⎛ 2 ⎞ ⎛ 1 ⎞ 24
= 0.028571...
PRRRR = ⎜ ⎟ ⋅ ⎜ ⎟ ⋅ ⎜ ⎟ ⋅ ⎜ ⎟ =
⎝ 7 ⎠ ⎝ 6 ⎠ ⎝ 5 ⎠ ⎝ 4 ⎠ 840
Curioso: stessa probabilita’ di tre bianche ed una rossa. Perche’ ? Dipende dal numero delle rosse e delle
bianche: ci sono solo 3 bianche e 4 rosse.
9. In un sacco non trasparente sono contenute 7 palline: 3 bianche, 4 rosse. Le si estraggono una dopo
l’altra non rimettendole nel sacco:. Qual e’ la probabilita’ che escano a colori alterni ?
Questa probabilità, considerando che le palline sono 7, sarebbe data dalla somma delle probabilità:
PRBRBRBR + PBRBRBRB
nelle quali conta l’ordine, e quindi conviene utilizzare un ragionamento probabilistico. Si noti, tuttavia, che
non si hanno abbastanza palline bianche! Ossia, l’unica probabilità richiesta è:
PRBRBRBR + PBRBRBRB =
4 3 3 2 2 1
3 4 2 3 1
1
⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅1 + ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅1 ⋅ 0 =
7 6 5 4 3 2
7 6 5 4 3
35
In termini combinatori, la questione è più lunga e delicata: provare, ma come approfondimento.
10. In un sacco non trasparente sono contenute 15 palline: 3 bianche, 2 rosse, 5 nere, 2 verdi e 3 blu. Se
ne estraggono 4 assieme. Qual e’la probabilita’ che siano tutte dello stesso colore ?
11. In un sacco non trasparente sono contenute 15 palline: 3 bianche, 2 rosse, 5 nere, 2 verdi e 3 blu. Se
ne estraggono 4 assieme. Qual e’la probabilita’ che siano tutte di colori diversi ?
5