Statistica descrittiva I. La frequenza

Statistica descrittiva I. La frequenza
Supponiamo di ripetere n volte un esperimento che può dare esito
0 o 1, il numero di uni su n ripetizioni è detto frequenza di 1:
f1,n = #{esperimenti con esito 1}.
Più in generale supponiamo che Xi sia l’esito di un esperimento
che possa assumere valori x1 , . . . , xK (ad esempio {1, 2, 3, 4, 5, 6}
nel lancio di un dado), possiamo considerare la frequenza di ogni
numero su n esperimenti, ossia
fk,n = #{i: Xi = xk }
Ad esempio, nel caso del lancio ripetuto di un dado, possiamo
considerare
f6,n = #{i: Xi = 6}
Esempio 1. Si osservano i seguenti valori
5, 1, 5, 3, 5, 9, 7, 5, 5, 5
Determinare le frequenze relative e assolute.
Esempio 2. Si osservano i seguenti valori
5, 1, 3, 7, 5, 9, 1, 7, 9, 3
Determinare le frequenze relative e assolute.
Esempio 1
Esempio 2
xi
fi,n
fi,n /n
xi
fi,n
fi,n /n
1
3
5
7
9
1
1
6
1
1
0.100
0.100
0.600
0.100
0.100
1
3
5
7
9
2
2
2
2
2
0.200
0.200
0.200
0.200
0.200
10
1.000
10
1.000
Ritorno alla probabilità.
Teorema: legge dei grandi numeri (I)
Si faccciano n esperimenti indipendenti con probabilità di successo
p. Sia Xi la variabile aleatoria che vale 1 se l’i–esimo esperimento
ha dato esito positivo (successo) 0 se ha dato esito negativo.
Allora,P
se f1,n è il numero di successi su n esperimenti, ossia
f1,n = ni=1 Xi , si ha
f1,n
P
lim
= p = 1.
n→+∞ n
N.B. p = P{Xi = 1}.
Attenzione sul libro non è scritta in modo preciso. In particolare
l’ipotesi che gli eventi (esperimenti) siano indipendenti è
fondamentale.
!!! Si noti che questo è un teorema
non la definizione di probabilità !!!
simulazione con R
n=1000
p=0.6
y=sample(c(0,1), n, replace = TRUE,prob=c(1-p,p))
yy=cumsum(y)/cumsum(rep(1,n))
y2=sample(c(0,1), n, replace = TRUE,prob=c(1-p,p))
yy2=cumsum(y2)/cumsum(rep(1,n))
plot(yy, col=”blue”) points(yy2,col=”red”)
Statistica descrittiva II. L’istogramma
Supponiamo di avere delle osservazioni di un dato fenomeno
(numerico)
x1 , x2 , . . . , xn
(con eventuali possibili valori ripetuti!). Ad esempio i millilitri di
pioggia caduti in n = 100 stazioni meteo.
Fissiamo a0 < a1 < a2 < · · · < aM in modo che tutte le
osservazioni cadano in [a0 , aM ) e determiniamo
f0,n = numero osservazioni in [a0 , a1 ) sul totale di n
f1,n = quante osservazioni in [a1 , a2 ) sul totale di n
...
Statistica descrittiva II. L’istogramma
Abbiamo calcolato le frequenze assolute.
Possiamo anche calcolare le frequenze normalizzate (anche dette
relative), dividendo le frequenze assolute per il numero di
osservazioni:
fk,n
.
n
Con le frequenze (meglio quelle relative) possiamo costruire
l’istogramma (guardare sul libro).
Istogramma
E la probabilità?
Posso interpretare la frequenza relativa come una probabilità:
che probabilità ho, scegliendo a caso con probabilità uniforme
un’osservazione, di trovare un numero compreso fra
[ak , ak+1 )? Esattamente fk,n /n.
Posso anche interpretare le xi come realizzazioni di variabili
aleatorie indipendenti con la stessa legge di probabilità.
Che rapporto c’è fra frequenza relativa fk,n /n e la probabilità che
Xi assuma valori in [ak , ak+1 ), ossia
P{X1 ∈ [ak , ak+1 )}?
Legge dei grandi numeri (II)
Teorema
Siano X1 , X2 , . . . variabili aleatorie indipendenti e con la stessa
distribuzione. Allora, posto
Tn = numero di Xi che appartengono ad [a, b) nelle prime n
e
p = P{X1 ∈ [a, b)},
si ha
Tn
P
lim
=p
n→+∞ n
= 1.
Media o valore atteso
Baricentro
P{X = −4} = 0.25, = P{X = −2} = 0.25, P{X = 4} = 0.5
E[X ] = (−4 · 0.25) + (−2 · 0.25) + (4 · 0.5) = 0.5
Media o valore atteso
Media
La media di una v.a. discreta è
X
X
E[X ] :=
x P{X = x} =
x px
x
x
La media di una v.a. continua è
Z
E[X ] := x f (x)dx
N.B. nel libro si usa la notazione hX i al posto di E[X ].
Media empirica di n variabili aleatorie
La media empirica delle variabile aleatorie X1 , . . . , Xn è il numero
(aleatorio)
X1 + · · · + Xn
m̄n :=
.
n
Non confondetelo con E[X1 ]!!
Media o valore atteso
Esercizio. (a) Supponiamo che X sia una variabile aleatoria
discreta che può assumere i valori 1, 2, 3, 4 con probabilità
p1 = 0.3, p2 = 0.2, p3 = 0.1, p4 = 0.4. Calcolare E[X ].
Soluzione. Si ha
E[X ] = 1 · 0.3 + 2 · 0.2 + 3 · 0.1 + 4 · 0.4 = 2.6
Media o valore atteso
Esercizio. (b) Supponiamo di osservare il valore di n = 6 variabili
aleatorie con legge descritta in precedenze, supponiamo che
X1 = 1, X2 = 1, X3 = 2, X4 = 1, X5 = 4, X6 = 3. Qual è il valore
della media empirica delle prime 6 osservazioni in corrispondenza ai
risultati descritti?
Soluzione.
1+1+2+1+4+3
= 2.
6
Legge dei grandi numeri (III)
Teorema
Siano X1 , X2 , . . . variabili aleatorie indipendenti e con la stessa
distribuzione. Allora, si ha
X 1 + · · · + Xn
P
lim
= E[X1 ] = 1.
n→+∞
n
Media o valore atteso
Esercizio. Si supponga che la distribuzione del vettore aleatorio
discreto (X , Y ) sia data da
X /Y
0
1
2
2
0.3
0.2
0
0.5
5
0.1
0
0
0.1
6
0
0
0.4
0.4
0.4
0.2
0.4
Calcolare E[X ] e E[Y ].
Soluzione. Si ha
E[X ] = 0 · 0.4 + 1 · 0.2 + 2 · 0.4 = 1
E[Y ] = 2 · 0.5 + 5 · 0.1 + 6 · 0.4 = 3.9
Valore atteso di una funzione di una v.a.
Sia g una funzione reale a valori reali allora e X una variabile
aleatoria discreta, allora
X
E[g (X )] =
g (x)P{X = x}
x
Se X è una v.a. continua
Z
E[g (X )] =
g (x)f (x)dx.
Valore atteso di una funzione di una v.a.
Esercizio. Sia X una variabile aleatoria discreta che assume valori
−1, 0, 1 con probabilità 1/4, 1/4, 1/2. Si calcoli E[X ] e E[X 2 ].
Soluzione.
E[X ] = −1 · 1/4 + 0 · 1/4 + 1 · 1/2 = 1/4.
E[X 2 ] = (−1)2 · 1/4 + 02 · 1/4 + 12 · 1/2 = 3/4.
Linearità del valore atteso
Il valore atteso è un integrale (o una somma). Ricordandoci la
proprietà di linearità di somme e integrali abbiamo che se (X , Y )
sono v.a. e a e b sono costanti, allora
E [aX + bY ] = aE [X ] + bE [Y ]
E [aX + b] = aE [X ] + b,
Linearità del valore atteso
Esercizio. Si supponga che la distribuzione del vettore aleatorio
discreto (X , Y ) sia data da
X /Y
0
1
2
2
0.3
0.2
0
0.5
5
0.1
0
0
0.1
6
0
0
0.4
0.4
0.4
0.2
0.4
Calcolare E[3X + Y ].
Soluzione. Abbiamo visto che E[X ] = 0 · 0.4 + 1 · 0.2 + 2 · 0.4 = 1
e E[Y ] = 2 · 0.5 + 5 · 0.1 + 6 · 0.4 = 3.9 quindi
E[3X + Y ] = 3E[X ] + E[Y ] = 2 · 1 + 3.9 = 5.9.
La media è un modo di riassumere alcune caratteristiche di una
variabile aleatoria in un solo numero.
Attenzione: non sempre la media dice tutto
Ci sono 1000 persone, una persona viene estratta a caso e vince
100000 euro, gli altri nulla. Scelgo una persona a caso e guardo
quanto ha vinto. Sia X = “vincita della persona scelta a caso”.
Si ha
P{X = 0} = 999/1000,
P{X = 100000} = 1/1000
e dunque
E[X ] = 0 ∗ 999/1000 + 100000 ∗ 1/1000 = 100.
La vincita media è 100 euro. Vuol dire molto?
Varianza
Varianza
La varianza di una v.a. discreta è
Var (X ) := E[(X − m)2 ] =
X
(x − m)2 px
x
con m =
P
con m =
R
xpx . La varianza di una v.a. continua è
Z
2
Var (X ) := E[(X − m) ] = (x − m)2 f (x)dx
x
xf (x)dx.
Varianza
Varianza piccola= distribuzione concentrata attorno alla media
Varianza grande= distribuzione sparpagliata
Esercizio.
Sia X una variabile aleatoria discreta che assume valori −1, 1 con
probabilità 1/2, 1/2 e Y una variabile aleatoria discreta che assume
valori −10, 10 con probabilità 1/2, 1/2. Calcolare Var (X ) e
Var (Y ).
Soluzione. Prima di tutto si osservi che E[X ] = E[Y ] = 0 (farlo),
quindi
Var (X ) = (−1 − 0)2 · 1/2 + (1 − 0)2 · 1/2 = 1.
Var (Y ) = (−10 − 0)2 · 1/2 + (10 − 0)2 · 1/2 = 100.