G. Giunta - esercizi su Segnali Aleatori per

Corso di Laurea in Ingegneria Informatica
corso di Telecomunicazioni
(Prof. G. Giunta)
(editing a cura dell’ing. F. Benedetto)
Esercizi di Segnali Aleatori per Telecomunicazioni
Definizioni di momenti statistici (di primo e secondo ordine) di variabili aleatorie:
+∞
-
Valor atteso
M = E[ x] = ∫ x ⋅ p ( x) ⋅ dx ;
−∞
+∞
-
Valor quadratico medio
VQM = E[ x ] = ∫ x 2 ⋅ p ( x) ⋅ dx ;
2
−∞
+∞
-
Varianza
Var = E[( x − E[ x]) ] = ∫ ( x − E[ x]) 2 ⋅ p( x) ⋅ dx
2
−∞
-
NOTA:
Var = VQM - M2 ;
infatti: E[( x − E[ x]) 2 ] = E[ x 2 ] − 2 E[ x] ⋅ E[ x] + ( E[ x]) 2 = E[ x 2 ] − ( E[ x]) 2 .
Nel caso di variabili aleatorie discrete i momenti divengono:
-
Valor atteso
∑ x ⋅ p( x ) ;
VQM = E[ x ] = ∫ x ⋅ p ( x) ⋅ dx = ∑ x ⋅ p ( x ) ;
Var = E[( x − E[ x]) ] = ∑ x ⋅ p( x ) − ∑ x ⋅ p( x )
M = E[ x] =
+∞
∫
N
x ⋅ p ( x) ⋅ dx =
i =1
−∞
i
i
+∞
-
Valor quadratico medio
N
2
2
i =1
−∞
N
-
Varianza
2
i =1
-
2
i
i
N
2
i
i


 i =1
i
i



2
NOTA:
Per stimare valor medio, valor quadratico medio e varianza da
1
una serie discreta di dati osservata, basta porre p ( xi ) =
nelle espressioni precedenti.
N
1
Densità di probabilità note
Gaussiana:
σ
1
2π ⋅ σ
⋅e
−
( x − m )2
2σ
2
M = m

→ Var = σ 2

2
2
VQM = m + σ
m
Uniforme:
1/(b-a)
a
b
a+b

M = 2

(b − a )2

→ Var =
12


(a + b )2 + (b − a )2
VQM
=

4
12

Binomiale
p
1-p
a
b
 M = p ⋅ a + (1 − p ) ⋅ b

2
→ Var = p ⋅ a 2 + (1 − p ) ⋅ b 2 − [ p ⋅ a + (1 − p ) ⋅ b]

2
2
VQM = p ⋅ a + (1 − p ) ⋅ b
2
Esponenziale monolatero
1

M = a

1

− a ⋅t
a ⋅ e U −1 (t ) → Var = 2
a


2
VQM = a 2

Esponenziale bilatero
1
− a⋅ t
⋅a⋅e
2

M = 0

2

→ Var = 2
a


2
VQM = a 2
Sviluppo di integrali particolari da usare negli esercizi
b2
∫ ae
− at
[
dt = − e − at
]
b2
b1
b1
Integrazione per parti
∫ u ⋅ dv
b2
= u ⋅ v − ∫ v ⋅ du
∫t ⋅a ⋅e
− a ⋅t
dt =
b1
b2
∫t
2
⋅a⋅e
− a⋅t

− t ⋅ e − a⋅t


dt =
b1
∫x
2
⋅
1
2π ⋅ σ
⋅e

−t2


−
x2
2σ
b
1 − a⋅t  2
− ⋅e 
a
 b1
b
⋅e
− a⋅t
2
2
2

− ⋅ t ⋅ e − a⋅t − 2 ⋅ e − a⋅t 
a
a
 b1
x2
2
x2
−
−
1
σ
dx = − x ⋅
⋅ e 2σ + σ 2 ∫
⋅ e 2σ dx
2π
2π ⋅ σ
2
2
3
Calcolo dei momenti delle d.d.p note
Densità di Probabilità Uniforme:
p(x)
1/(b-a)
a
b
Valor medio:
∞
b
1
1  x2 
1  b2 − a 2  b + a

=
M = E [x ] = ∫ x ⋅ p (x )dx = ∫
=
⋅ xdx =


b−a
b − a  2  a b − a  2 
2
a
−∞
b
Valor quadratico medio:
[ ]
∞
b
1
1  x3 
1  b3 − a3 

=
VQM = E x = ∫ x ⋅ p (x )dx = ∫
=
⋅ x 2 dx =


b−a
b − a  3  a b − a  3 
a
−∞
b
2
2
Varianza:
[
]
Var = E ( x − E[x ]) = VQM − M 2 =
2
=
(b − a ) ⋅ (b 2 + a 2 + ab ) = (b 2 + a 2 + ab)
3 ⋅ (b − a )
3
(b
2
)
+ a 2 + ab (a + b )
(b − a )
−
=
3
4
12
2
2
4
Densità di Probabilità Esponenziale monolatero:
p(x)
p(x ) = a ⋅ e − a⋅ xU −1 ( x )
Valor medio:
∞
+∞
−∞
0
M = ∫ x ⋅ p( x )dx = ∫ a ⋅ x ⋅ e − a⋅ x dx =
[
= − x⋅e
]
− a⋅ x + ∞
0
+∞
+ ∫e
− a⋅ x
applicazione della formula di integrazione per parti
dx = 0 +
0

−

+∞
e − a⋅ x 
1
=

a 0
a
Valor quadratico medio:
∞
+∞
−∞
0
VQM = ∫ x 2 ⋅ p( x )dx = ∫ a ⋅ x 2 ⋅ e − a⋅ x dx =
= [− x
2
⋅e
]
− a⋅ x + ∞
0
+∞
+ ∫2⋅ x⋅e
− a⋅ x
0
=
− a⋅ x
Varianza:
[
+∞

e 
− 2 ⋅ x ⋅

a 0

]
+∞
dx = 0 + 2 ∫ x ⋅ e − a⋅ x dx =
integrazione per parti
0
+∞
+∞
2 − a⋅ x
2  e − a⋅ x 
2
+ ∫ e dx = 0 + −
= 2

a 0
a  a 0
a
Var = E ( x − E[x ]) = VQM − M 2 =
2
applicazione della formula di integrazione per parti
2
1
1
− 2 = 2
2
a
a
a
5
Densità di Probabilità Esponenziale bilatero:
p(x)
p( x ) =
1
− a⋅ x
⋅a⋅e
2
Valor medio:
∞
+∞
0
1
1
M = ∫ x ⋅ p( x )dx = ∫ ⋅ a ⋅ x ⋅ e a⋅ x dx + ∫ ⋅ a ⋅ x ⋅ e − a⋅ x dx =
2
2
−∞
−∞
0
=
x⋅e

 2
=

−

a⋅ x
0


 −∞
+∞
formula di integrazione per parti
+∞
− a⋅ x
x⋅e

1
1
− ∫ ⋅ e a⋅ x dx − 
+ ∫ ⋅e − a⋅ x dx =

2
2 0
2

−∞
0
0
+∞
0
− a⋅ x
e

1
1
e a⋅ x 
=−
+
=0
−



2 ⋅ a  −∞  2 ⋅ a  0
2⋅a 2⋅a
Valor quadratico medio:
∞
+∞
0
1
1
VQM = ∫ x 2 ⋅ p( x )dx = ∫ ⋅ a ⋅ x 2 ⋅ e a⋅ x dx + ∫ ⋅ a ⋅ x 2 ⋅ e − a⋅ x dx = formula di integrazione per parti
2
2
−∞
−∞
0
=
………… =
Varianza:
[
]
a⋅ x
0
e 
 2 
 a  −∞
− a⋅ x
Var = E ( x − E[x ]) = VQM − M 2 =
2
+∞
e

− 2 
 a 0
=
1
1
2
+ 2 = 2
2
a
a
a
2
a2
6
Esercizio 1: Somma di Variabili Aleatorie (V. A.) indipendenti
Siano date le due variabili aleatorie x e y indipendenti, descritte rispettivamente dalle densità di
probabilità Px(x) e Py(y). Calcolare la densità di probabilità (d.d.p.) della variabile aleatoria z
ottenuta dalla seguente trasformazione: z = x + y
Soluzione:
Le funzioni caratteristiche che descrivono le tre variabili aleatorie sono, rispettivamente:
P ( f ) = E [e
x
− j ⋅2⋅π ⋅ f ⋅ x
x
[
∞
]= ∫e
]
− j ⋅2⋅π ⋅ f ⋅ x
⋅ Px ( x )dx
−∞
∞
Py ( f ) = E y e − j⋅2⋅π ⋅ f ⋅ y = ∫ e − j⋅2⋅π ⋅ f ⋅ y ⋅ Py ( y )dy
[
]
−∞
∞
Pz ( f ) = E z e − j⋅2⋅π ⋅ f ⋅ z = ∫ e − j⋅2⋅π ⋅ f ⋅ z ⋅ Pz ( z )dz
−∞
Poiché le due V. A. x e y sono indipendenti, la densità di probabilità congiunta si può fattorizzare
nel prodotto delle singole densità di probabilità secondo la seguente:
Px , y ( x, y ) = Px ( x ) ⋅ Py ( y )
Allora, la funzione caratteristica di z diventa:
∞ ∞
Pz ( f ) = ∫ ∫ e − j⋅2⋅π ⋅ f ⋅( x + y ) ⋅ Px , y ( x, y )dxdy =
− ∞− ∞
∞
= ∫e
−∞
− j ⋅2⋅π ⋅ f ⋅ x
∞
[
] [
]
⋅ Px ( x )dx ⋅ ∫ e − j⋅2⋅π ⋅ f ⋅ y ⋅ Py ( y )dy = E x e − j⋅2⋅π ⋅ f ⋅ x ⋅ E y e − j⋅2⋅π ⋅ f ⋅ y =
= Px ( f ) ⋅ Py ( f )
−∞
Ovvero il prodotto delle singole funzioni caratteristiche di x e y. Concludendo, possiamo ora
calcolare la d.d.p. di z che risulterà pari a :
Pz ( z ) = Px ( x ) ∗ Py ( y )
N.B.:
La d.d.p. cercata risulterà essere pari alla convoluzione delle singole d.d.p.
7
Esercizio 2: Somma di Variabili Aleatorie (V. A.) indipendenti
Siano date le due variabili aleatorie x e y indipendenti ed identicamente distribuite (i.i.d.), descritte
rispettivamente dalle densità di probabilità Px(x) e Py(y), rappresentate graficamente in figura.
Calcolare la densità di probabilità (d.d.p.) della variabile aleatoria z ottenuta dalla seguente
trasformazione: z = x + y
Py(y)
Px(x)
1/∆
−∆/2
∆/2
Soluzione:
Da quanto visto nell’esercizio precedente, la d.d.p. di z altro non è che la convoluzione delle singole
d.d.p. di x e y: ovvero la convoluzione tra due rect aventi la stessa base. Il risultato di tale
operazione, come è ben noto, risulta essere una tri di base doppia. L’altezza della tri sarà tale che
l’area della d.d.p. sia sempre unitaria.
Pz(z)
1/∆
−∆
∆
Calcoliamo ora la varianza della d.d.p di z, una volta nota quella di x e y:
[ ]
∆
2
[ ]
1
∆2
E x 2 = ∫ ⋅x 2 dx =
= E y2
12
∆ ∆
−
2
[ ] [
] [ ] [ ]
[ ]
E z 2 = E ( x + y ) = E x 2 + E y 2 + 2 ⋅ E [x ⋅ y ] = 2 ⋅ E x 2 =
2
∆2
6
Infatti si ha:
∆
2
∆
2
∆
∆
2
2
1
1
1
E [x ⋅ y ] = ∫ ∫ x ⋅ y ⋅ 2 dxdy = ∫ x ⋅ dx ⋅ ∫ y ⋅ dy = 0
∆
∆
∆
∆ ∆
∆
∆
−
N.B.:
2
−
2
−
2
−
2
Si possono riutilizzare tutti i risultati notevoli sulla convoluzione tra segnali.
8
Esercizio 3: Ricezione binaria per Telecomunicazioni
Sia data la seguente trasformazione r = s + n, dove la V.A. r rappresenta il segnale ricevuto in un
sistema di TLC ottenuto come somma della componente del segnale utile s e del rumore n
rappresentati rispettivamente dalle seguenti d.d.p.:
PS(s)
1/2
1
[δ (n − 1) + δ (n + 1)]
2
PS (s ) =
-1
1
PN(n)
PN (n ) =
−n2
1
e 2σ , gaussiana a valor medio nullo
2
2π ⋅ σ
0
Calcolare la d.d.p. PR(r).
Soluzione:
Da quanto visto negli esercizi precedenti, la PR(r) è ottenibile come convoluzione tra la d.d.p. del
segnale utile e quella del rumore, ovvero:
∗
=
-1
1
Soglia di decisione
La probabilità d’errore P(e) è definita pari a:
P(e ) = P(e s = 1) ⋅ P(s = 1) + P(e s = −1) ⋅ P(s = −1)
Se P(s = 1) = P(s = -1) = ½, detta:
+∞
Q(x ) = ∫
1
−
x2
2
e dx , funzione d’errore (error function), funzione tabulata
2π
Allora, scelto, ad esempio, P(e) = P(es = -1) si ottiene P(e) = Q(1/σ), con un semplice cambio di
variabile nell’integrale.
x
N.B.:
12/σ2 è un rapporto segnale rumore (SNR: Signal-to-Noise ratio).
9
Esercizio 4: Cambio di scala
Sia data la seguente trasformazione y = α⋅x, essendo la V.A. x descritta dalla d.d.p Px(x) come
indicato in figura. Calcolare la Py(y).
Px(x)
1/∆
−∆/2
∆/2
Soluzione:
La d.d.p. cercata è ottenibile tramite la seguente trasformazione:
1
 y
Py ( y ) = ⋅ Px  
α
α 
In forma grafica si ha:
Py(y)
1/ α⋅∆
− α⋅∆/2
α⋅∆/2
10
Esercizio 5a: Cambio di variabile
Sia θ una variabile aleatoria uniformemente distribuita nell’intervallo [0, π], la cui d.d.p. è
rappresentata in figura. Sia x una variabile aleatoria ottenuta da θ tramite la seguente
trasformazione: x = cos θ. Calcolare la Px(x).
Pθ(θ)
1/ π
0
π
Soluzione 1:
La d.d.p. cercata può essere ottenuta secondo la seguente:
Px ( x ) = Pθ (θ ) ⋅
1
1
1
1
1
1
1
= ⋅
= ⋅
= ⋅
dx
π sin θ π 1 − cos 2 θ π 1 − x 2
dθ
Soluzione 2:
Essendo x = cos θ invertibile in [0, π], ottenendo θ = arccos (x), la d.d.p. cercata si può ricavare
da:
Px ( x ) = Pθ (θ ) ⋅
dθ 1
1
= ⋅
dx π 1 − x 2
in quanto:
dθ d (arccos x )
1
=
=
dx
dx
1− x2
11
Esercizio 5a bis: Cambio di variabile
Sia θ una variabile aleatoria uniformemente distribuita nell’intervallo [0, 2π], la cui d.d.p. è
rappresentata in figura. Sia x una variabile aleatoria ottenuta da θ tramite la seguente
trasformazione: x = cos θ. Calcolare la Px(x).
Pθ(θ)
1/ 2π
2π
0
Soluzione:
Essendo θ definita in [0, 2π], la funzione θ = arccos (x) non e’ invertibile.
Tuttavia, e’ possibile spezzare in due l’intervallo ottenendo [0, π] U [π, 2π], rendendo cosi’ le
funzioni θ1 = arccos (x1) e θ2 = arccos (x2), invertibili nei due domini separati [0, π] e [π, 2π].
Dato che risulta (vedi esercizio precedente):
Pθ1(θ)
Px1 ( x1 ) = Pθ 1 (θ1 ) ⋅
1/ π
dθ1 1
1
= ⋅
dx1 π 1 − x 2
1
π
0
Pθ2(θ)
1/ π
Px 2 ( x2 ) = Pθ 2 (θ 2 ) ⋅
dθ 2 1
1
= ⋅
dx2 π 1 − x 2
2
π
2π
la d.d.p. cercata si può ottenere mediante il teorema della probabilita’ totale (insiemi di eventi {θ }
mutuamente esclusivi) dalla somma delle due d.d.p. condizionate al fatto che θ sia in uno dei due
insiemi angolari prima definiti, moltiplicate ciascuna per la propria probabilita’ che cio’ si verifichi:
Px ( x ) = Px1 ( x 0 ≤ θ ≤ π ) ⋅ P (0 ≤ θ ≤ π ) + Px 2 ( x π < θ ≤ 2π ) ⋅ P (π < θ ≤ 2π ) =
=
N.B.:
1 1
1
1 1
1
1
1
⋅ ⋅
+ ⋅ ⋅
= ⋅
2
2
π 1 − x2
2 π 1− x
2 π 1− x
la d.d.p. risulta identica al caso precedente.
12
Esercizio 5b: Cambio di variabile
Sia u una variabile aleatoria uniformemente distribuita nell’intervallo [0, 1], la cui d.d.p. è
rappresentata in figura. Sia x una variabile aleatoria ottenuta da u tramite la seguente
trasformazione: x = -log(u). Calcolare la Px(x).
Pu(u)
1
0
1
Soluzione:
Essendo u = e-x, la d.d.p. cercata si può ottenere da:
Px ( x ) = Pu (u ) ⋅
du
= e−x ,
dx
con x ∈ [0, +∞]
Ovvero la d.d.p. di x è quella di un esponenziale monolatero.
13
Esercizio 6: Combinazione lineare di V.A.
Siano u1 ed u2 due variabili aleatorie indipendenti ed uniformemente distribuite nell’intervallo [0,1].
Sia x la variabile aleatoria ottenuta come combinazione lineare secondo la seguente:
x = 3 u1 – 4 u2 + 2.
Calcolare la Px(x).
Soluzione:
Introduciamo due nuove variabili aleatorie v e w ottenute, rispettivamente dalle seguenti
trasformazioni e le cui d.d.p. sono rappresentate in figura:
1/3
Pv(v)
v = 3 u1
3
0
1/4
Pw(w)
w = -4 u2
−4
0
Sia z la variabile aleatoria ottenuta da z = w + 2 e la cui d.d.p. è :
1/4
Pz(z)
z=w+2
−2
2
Ora, la d.d.p. di x è semplicemente la convoluzione di Pz(z) con Pv(v):
Px(x)
A=1/4
-2
1
2
5
Si ottiene un trapezio, la cui altezza A è tale che l’area della d.d.p. sia unitaria, ovvero:
A = 1/4
14