GEOMETRIA 4

Cognome ________________________________________________ Nome ________________________________________ Matr. _______________
Crediti
6
8
GEOMETRIA
1.-
9
Esonero
NO
4
1 es.
2 es.
Giugno 2011
Nello spazio topologico X delle matrici quadrate di ordine 2 a elementi reali (dotato della
topologia euclidea) si considerino i sottoinsiemi
A = {M ∈ X | tr (M) = 1}
e
B = {M ∈ X | 1 ≤ tr (M) ≤ 2}
Stabilire se A e/o B sono aperti, chiusi, compatti.
2.-
Sia K un sottoinsieme convesso e limitato dello spazio euclideo R3.
Provare che R3 \ K è connesso.
3.-
Sia X = S1 × R , dotato della topologia prodotto delle topologie euclidee.
Se possibile, definire su X delle relazioni di equivalenza ~a , ... , ~f tali che
a)
X / ~a sia compatto;
c)
X / ~c sia connesso;
e)
X / ~e sia T2;
b)
X / ~b non sia compatto;
d)
X / ~d non sia connesso;
f)
X / ~f non sia T2.
4.-
Sia X il sottospazio di R2 descritto in figura.
Trovare un grafo Γ che ne sia un retratto di deformazione e determinare il gruppo
fondamentale π1 ( X , x0 ), esplicitandone i generatori sulla figura.
X
a
x0
b
b
b
a
x2
b
X1
a b
X2
e
x1
a
Esercizio 4
5.-
a
Esercizio 5
d
c
c
Stabilire se, per i = 1 e/o 2, i poligoni con identificazioni Xi rappresentati in figura sono
superfici e determinare i gruppi fondamentali π1 ( Xi , xi ), esplicitando i generatori sulla figura.
6.-
Sia p : E → X un rivestimento.
Dimostrare che se X è di Hausdorff, allora anche E lo è.
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Crediti
6
8
9
GEOMETRIA
1.-
Esonero
NO
4
1 es.
2 es.
Luglio 2011
Sia F la famiglia di sottoinsiemi di R2 definita da
F∈F
⇔
F è unione finita di punti e/o rette di R2, oppure F = R2.
Verificare che F è la famiglia dei chiusi per una topologia di R2.
2.-
Suddividere in classi di omeomorfismo i seguenti spazi topologici
A = R3 \ {asse z},
B = R3 \ {piano xy},
C = S1 × I2,
D = S1 × R2,
E = S0 × I3.
Qualora due di questi spazi siano omeomorfi, costruire esplicitamente un omeomorfismo.
3.-
In R3, dotato della topologia euclidea, si considerino i dischi
D0 = {(x,y,0) ∈ R3 | x2 + y2 ≤ 1}
e
D1 = {(x,y,1) ∈ R3 | x2 + y2 ≤ 1}.
Sulla loro unione disgiunta, sia ~ la più piccola relazione di equivalenza per la quale
(x,y,0) ~ (x,y,1)
∀ y > 0.
Stabilire se lo spazio quoziente X è connesso, compatto, di Hausdorff.
4.-
Sia f : X → Y un’equivalenza omotopica tra due spazi topologici X e Y .
Dimostrare che, se g0 e g1 : Y → X sono due inverse omotopiche di f (cioè sono continue e
tali che gi ° f e f °gi siano omotope all’identità di X e Y rispettivamente), allora g0 e g1 sono
omotope.
5.-
Dimostrare che non esistono superfici compatte, connesse, senza bordo omotopicamente
equivalenti al grafo Γ in figura.
Determinare quante e quali sono (a meno di omeomorfismi) le superfici compatte, connesse, con
bordo omotopicamente equivalenti a Γ .
Γ
X
Esercizio 5
Esercizio 6
x0
6.-
Sia X lo spazio topologico descritto in figura.
Definire su X una struttura di CW-complesso e calcolare π1(X, x0), esplicitandone i generatori
sulla figura.
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Crediti
6
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9
GEOMETRIA
1.-
Esonero
4
NO
1 es.
2 es.
Settembre 2011
Sia X un insieme che risulti compatto, rispetto a qualsiasi topologia definibile su di esso.
Provare che X è finito.
2.-
Sia X l’intervallo (0,1), dotato della topologia euclidea T , e si consideri un punto P ∉ X.
Sia T ’ la famiglia dei sottoinsiemi dell’unione Y = X ∪ {P} definita da
A ∈ T ’ ⇔ (1) A ∈ T oppure (2) A = F ∪ {P}, con X \ F compatto in X.
Verificare che T ’ è una topologia su Y.
3.-
Sia X il piano euclideo, G il gruppo generato dalla rotazione di 2π /3 intorno a O, Y = X / G
lo spazio quoziente, π : X → Y la proiezione sul quoziente.
a)
Dimostrare che π è aperta e chiusa.
b)
Dimostrare che Y e X sono omeomorfi.
4.-
Sia Γ il grafo rappresentato in figura.
a)
Determinare il gruppo fondamentale di Γ, esplicitandone i generatori.
b)
Dare un esempio di un aperto di R2 che abbia Γ come retratto di deformazione, giustificando
informalmente la costruzione.
x0
Γ
X
5.-
Sia X la superficie rappresentata in figura.
a)
Riconoscere di che superficie si tratta.
b)
Determinare il gruppo fondamentale π1( X , x0 ), esplicitandone i generatori sulla figura.
6.-
Dimostrare che, per ogni numero naturale k, un bouquet di k sfere S2 è semplicemente
connesso.
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Crediti
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GEOMETRIA
1.-
9
4
Novembre 2011
Siano X = (0,1) e Y = (−1,0) ∪ (0,1), entrambi dotati della topologia indotta dalla topologia
euclidea di R.
Esibire un esempio, o dimostrare l’impossibilità dell’esistenza, di un’applicazione continua
a)
f : X → Y tale che f (X) sia compatto;
b)
g : X → Y tale che g (X) sia NON compatto;
c)
h : Y → X tale che h (Y) sia connesso;
d)
k : Y → X tale che k (Y) sia NON connesso.
2.-
Sia X × Y lo spazio prodotto di due spazi topologici X e Y.
Dimostrare che X × Y è connesso per archi se, e solo se, lo sono X e Y.
3.-
Sia X = Z, dotato della topologia indotta dalla topologia euclidea di R, e sia ∼ la relazione di
equivalenza su X definita da x ∼ y ⇔ x − y è un multiplo di 7.
a)
Dimostrare che la topologia quoziente su Y = X / ∼ è la topologia discreta.
b)
Stabilire se è possibile definire su X una relazione di equivalenza tale che la topologia indotta
sul quoziente NON sia la topologia discreta.
4.-
Sia X lo spazio topologico rappresentato in figura.
a)
Stabilire se X è una superficie, e, in caso affermativo, identificarla.
b)
Stabilire se X è omotopicamente equivalente a V1 (superficie orientabile compatta di genere 1).
X
a
b
b
a
c
c
5.-
Siano A, B, C tre punti di P2 e sia X = P2 \ { B, C }.
Determinare il gruppo fondamentale π1( X , A ).
6.-
Sia S1 = { z ∈ C : |z| = 1 } e siano f , g : S1 → S1 le applicazioni continue definite da
f (z) = z2 ,
Dimostrare che f
NON
g (z) = i z .
è omotopa all’identità, mentre g lo è.
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Crediti
6
8
9
GEOMETRIA
1.-
4
Gennaio 2012
Sia X1 × X2 lo spazio prodotto di due spazi topologici X1 e X2 e sia Ai ⊆ Xi , i = 1, 2.
Dimostrare che A1 × A2 è aperto in X1 × X2 se, e solo se, Ai è aperto in Xi , i = 1, 2.
2.-
Siano G e H i gruppi di omeomorfismi di R2 (dotato della topologia euclidea) rispettivamente
generati dalla simmetria rispetto a una retta fissata e dalla rotazione di un angolo piatto intorno
ad un punto fissato, e siano X = R2 / G e Y = R2 / H i relativi spazi quoziente.
Dimostrare che gli spazi X e Y
3.-
NON
sono omeomorfi.
Sia A un punto di P 2 e sia X = P 2 \ { A }.
Stabilire se
a)
X è connesso;
b)
X è compatto;
c)
X è una superficie.
4.-
Sia X il sottospazio di R 2, dotato della topologia euclidea, rappresentato in figura.
a)
Calcolare il gruppo fondamentale π1( X , A ).
b)
Definire un’applicazione continua f : X → S1 in modo che l’applicazione ∗ indotta tra i gruppi
fondamentali sia surgettiva.
Y
X
A
5.-
Siano X e Y i sottospazi di R2 , dotato della topologia euclidea, rappresentati in figura.
a)
Stabilire se X e Y sono fra loro omeomorfi e/o omotopicamente equivalenti.
b)
Costruire infiniti spazi omotopicamente equivalenti a X, ma a due a due NON omeomorfi.
6.-
Sia Z l’unione per un punto di un toro T e una sfera S.
Dimostrare che, qualunque sia la struttura di CW-complesso data a Z , il punto P comune a T e S
deve essere una 0-cella.
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Crediti
6
8
GEOMETRIA
1.-
9
4
Febbraio 2012
Siano 2,2, 1,1, 1,4 tre punti in e la topologia che ha per base
la famiglia dei sottoinsiemi
, , ∈ ∶ , ,
al variare di e in .
Stabilire quali tra i sottoinsiemi , , , , , sono connessi.
2.-
Sia ∈ ∶ 0 ‖‖ ! 2 , dotato della topologia indotta dalla topologia euclidea, e,
per ogni " ∈ #, siano
$ ∈ ∶ ‖‖ % 1⁄" e '$ ∈ ∶ ‖‖ 2 1⁄" .
a)
Stabilire se $ $∈# è un ricoprimento aperto di e, in caso affermativo, stabilire se è
possibile estrarne un sottoricoprimento finito.
b)
Stabilire se '$ $∈# è un ricoprimento aperto di e, in caso affermativo, stabilire se è
possibile estrarne un sottoricoprimento finito.
3.-
Sia ∈ ∶ 0 ‖‖ ! 2 , dotato della topologia indotta dalla topologia euclidea, e
sia ∈ ∶ ‖‖ 1 .
a)
Dimostrare che lo spazio quoziente ( ⁄ è compatto.
b)
Dimostrare che lo spazio quoziente ( ⁄
4.-
Sia )* + ∈ , ∶ |+| 1 e sia ∶ )* → )* l’applicazione continua definita da
NON
è di Hausdorff.
+ + /0 .
Dimostrare che l’applicazione ∗ indotta tra i gruppi fondamentali
5.-
NON
è surgettiva.
Siano un toro privato di un suo punto e ( una sfera 1 privata di tre suoi punti (a due a
due distinti).
a)
Stabilire se e ( sono fra loro omotopicamente equivalenti.
b)
Dare un esempio di uno spazio topologico 2 omotopicamente equivalente a , ma ad esso
NON
6.-
omeomorfo.
Siano e ( due spazi topologici contraibili.
Dimostrare che lo spazio prodotto 3 ( è contraibile.