§ 4 Funzioni continue

Geometria I
§4
27
Funzioni continue
Cfr: Sernesi vol II, cap I, §4 [1].
Le funzioni continue tra spazi topologici si dicono anche mappe. Si può dimostrare,
esattamente come in (2.10) e in (1.10), che vale la seguente proposizione.
(4.1) Sia f una funzione f : X → Y tra spazi topologici. Le quattro proposizioni seguenti
sono equivalenti:
(i) f è continua
(ii) ∀A ⊂ X, f (A) ⊂ f (A).
(iii) per ogni C ⊂ Y chiuso, la sua controimmagine f −1 (C) ⊂ X è chiuso in X.
(iv) Se B è una base per Y , allora per ogni elemento della base B ∈ B la controimmagine
f −1 B è aperto in X.
(4.2) Teorema. La composizione di funzioni continue è continua.
Dimostrazione. Sia f : X → Y una funzione continua e g : Y → Z una funzione continua. La
composizione gf : X → Z è continua se e solo se (gf )−1 (A) è aperto in X ogni volta che A è
aperto in Z. Ora,
(gf )−1 (A) = {x ∈ X : g(f (x)) ∈ A}
= {x ∈ X : f (x) ∈ g −1 (A)}
= f −1 (g −1 (A))
e dunque se A è aperto anche g −1 (A) è aperto in Y (dato che g è continua), e poiché f è
continua f −1 (g −1 (A)) è aperto in X.
qed
(4.3) Teorema. Sia f : X → Y una funzione continua. Se A ⊂ X ha la topologia indotta,
allora la restrizione f |A è continua.
Dimostrazione. Sia B ⊂ Y un aperto. La controimmagine f −1 (B) è aperta in X, dato che f
è continua. La controimmagine di B mediante la funzione ristretta f |A è data dall’insieme
{x ∈ A : f (x) ∈ B},
e quindi da A ∩ f −1 (B). Per definizione di topologia indotta, questo è un aperto di A.
qed
(4.4) Definizione. Una funzione f : X → Y tra spazi topologici è un omeomorfismo se è
biunivoca e sia f che la funzione inversa f −1 sono continue. Si dice allora che X e Y sono
omeomorfi (e si indica con X ≈ Y ).
(4.5) Definizione. Una funzione f : X → Y è
Geometria I
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(i) aperta se l’immagine f (A) di ogni aperto A di X è aperta in Y .
(ii) chiusa se l’immagine f (C) di ogni chiuso C di X è chiusa in Y .
(4.6) Una funzione f : X → Y è un omeomorfismo se e solo se almeno una delle due proprietà
è vera:
(i) f è biunivoca, continua e aperta.
(ii) f è biunivoca, continua e chiusa.
La topologia studia gli spazi a meno di omomorfismo. Infatti, una biiezione non è altro
che un “cambiamento di coordinate” in uno spazio, e l’essere omeomorfismo significa che la
famiglia degli aperti viene conservata.
(4.7) Esempio. Sia X l’insieme delle matrici 2×2 a coefficienti reali. Sia d la metrica munito
della metrica d((ai,j ), (bi,j )) = max(|ai,j − bi,j |). X è omeomorfo a R4 con la metrica euclidea
i,j
!
" 4
"$
d((xi ), (yi )) = # (xi − yi )2
i=1
tramite l’omeomorfismo
%
Dimostrazione: esercizio.
a1,1 a1,2
a2,1 a2,2


a
1,1
&
 a2,1 

)→ 
 a1,2 
a2,2
Geometria I
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(4.8) Esempio. La circonferenza meno un punto è omeomorfa alla retta reale (proiezione
stereografica). La sfera meno un punto è omeomorfa al piano, analogamente. Esercizio: in
coordinate.
z, ζ
N
a
β
P
φ
S
y, η
P̂
x, ξ
(4.9) Esempio. La retta reale è omeomorfa ad un segmento aperto: R ≈ (a, b) per ogni a < b.
x
Definiamo f : (−1, 1) → R f (x) =
. La funzione è continua perché composizione di
1 − x2
funzioni continue. Osserviamo poi che f (x) = f (y) se e soltanto se
x(1 − y 2 ) = y(1 − x2 ) ⇐⇒ xy 2 − x2 y + y − x = 0
⇐⇒ xy(y − x) + (y − x) = 0
⇐⇒ (xy + 1)(y − x) = 0,
e quindi se x, y ∈ (−1, 1) e f (x) = f (y), allora x = y, dato che certamente xy + 1 ,= 0
(perché?). Quindi f è iniettiva7 . Mostrare che è suriettiva equivale a mostrare che per ogni
y ∈ R esiste un x ∈ (−1, 1) tale che f (x) = y, cioè che l’equazione
yx2 + x − y = 0
ha una soluzione in x compresa tra −1 e 1. Se y = 0, allora è vero. Se y ,= 0, dato che
∆ = 1 + 4y 2 , delle due soluzioni dell’equazione almeno una deve avere norma minore di 1,
visto che il loro prodotto è uguale a −1,
x
(x − x1 )(x − x2 ) = x2 + − 1.
y
7
La funzione è iniettiva, anche perché è differenziabile e monotona crescente f ! (x) =
x2 + 1
.
(1 − x2 )2
Geometria I
Quindi f è suriettiva. Le due soluzioni sono
−1 + 1 + 4y 2
x1 =
,
2y
30
x2 =
−1 −
1 + 4y 2
.
2y
Per ogni y > 0 si ha −x2 > 1+2y
> 1, e di conseguenza per ogni y < 0 x2 > 1: quindi
2y
necessariamente x1 ∈ (−1, 1). In altre parole, la funzione inversa di f è
1 + 4y 2 − 1
g(y) =
2y
(1 + 4y 2 ) − 1
=
2y( 1 + 4y 2 + 1)
2y
=,
1 + 4y 2 + 1
e anch’essa è continua, dato che è composizione di funzioni continue. Per finire: omeomorfismo
lineare
(a, b) ≈ (−1, 1) ≈ R.
(4.10) Esempio. La funzione f : [0, 2π) ⊂ R → S 1 ⊂ C definita ponendo f (t) = eit ∈ S 1 per
ogni t è continua e biunivoca. Ma non è aperta: f ([0, 1)) non è aperto in S 1 , ma [0, 1) ⊂ [0, 2π)
è aperto in [0, 2π). Quindi non è un omeomorfismo. Vedremo in seguito che non possono
esistere omeomorfismi tra [0, 2π) e S 1 (cioè i due spazi non sono omeomorfi).
(4.11) Esempio. Quali tra i seguenti spazi sono omeomorfi tra di loro?
ABCDEFGHIJKLMNOPQR
STUVWXYZ
(4.12) Esempio (Curva di Peano). Curva continua e suriettiva f : I = [0, 1] → I 2 ⊂ R2 .
Geometria I
§5
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Topologia prodotto
Cfr: Sernesi, Vol II, Cap II, §6 [1].
(5.1) Definizione. Siano X e Y spazi topologici. Il prodotto cartesiano X × Y ammette una
topologia, chiamata topologia prodotto definita a partire dalla base
base = {U × V ⊂ X × Y : U è aperto in X e V è aperto in Y }.
Affinché la definizione sia ben posta dobbiamo verificare che effettivamente l’insieme di
aperti sopra descritto costituisca una base per X × Y : esercizio (2.1).
Le funzione p1 : X × Y → X e p2 : X × Y → Y definite da p1 (x, y) = x e p2 (x, y) = y si
dicono le proiezioni.
(5.2) Se X × Y ha la topologia prodotto, allora X × Y ≈ Y × X (sono omeomorfi), e le
proiezioni p1 : X × Y → X, p2 : X × Y → Y sono continue e aperte.
Iterando il procedimento, si può definire la topologia prodotto di un insieme finito di spazi
˙ n⊂
topologici X1 ,X2 ,. . . , Xn , che ha come base la famiglia di sottoinsiemi del tipo U1 ×U2 × ×U
X1 × X2 × · · · × Xn .
(5.3) Proposizione. Una funzione f : X → Y1 × Y2 (che si può scrivere quindi come f (x) =
(f1 (x), f2 (x))) è continua se e solo se le sue due componenti (f1 = p1 ◦ f e f2 = p2 ◦ f ) sono
continue.
Dimostrazione. Se f è continua, allora f1 e f2 sono continue perché composizioni di f con le
funzioni continue p1 e p2 . Viceversa, se f1 e f2 sono continue, allora se V1 × V2 ⊂ Y1 × Y2 è un
Geometria I
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aperto della base per la topologia (prodotto) di Y1 × Y2 , si ha
f −1 (V1 × V2 ) = {x ∈ X : (f1 (x), f2 (x)) ∈ V1 × V2 }
= {x ∈ X : f1 (x) ∈ V1 e f2 (x) ∈ V2 }
= f1−1 (V1 ) ∩ f2−1 (V2 ),
che è aperto perché intersezione di due aperti.
qed
(5.4) Esempio. La topologia di Rn indotta dalla metrica euclidea (topologia metrica) è uguale
alla topologia prodotto.
(5.5) Esempio. I × I è il quadrato (pieno) di R2 . Analogamente, I n è il cubo di dimensione
n.
(5.6) Esempio. Le proiezioni p1 : X × Y → X e p2 : X × Y → Y sono aperte ma possono
non essere chiuse. Per esempio, se X = Y = R,
C = {(x, y) ∈ R2 : xy = 1}
è chiuso, ma
non è chiuso.
p1 (C) = {x ∈ R : x ,= 0} = R ! {0}
(5.7) Nota. Nell’esercizio precedente C è chiuso perché, se si pone f : R2 → R definita da
f (x, y) = xy, si ha che f è continua e
C = f −1 ({1}),
che è chiuso in R2 , dato che {1} è chiuso in R (con la topologia metrica).
(5.8) Nota. In generale non è detto che f : X → Y continua e biunivoca sia un omeomorfismo
(potrebbe non essere una mappa aperta e/o chiusa, cioè l’inversa di f potrebbe non essere
continua). Per gli spazi euclidei però vale il seguente importante teorema (di cui non possiamo
dare la dimostrazione).
(5.9) Teorema (Invarianza del dominio). Se X ⊂ Rn è un aperto e f : X → Rn (lo spazio
Rn è inteso con la topologia metrica) è una funzione continua e iniettiva, allora f è anche una
mappa aperta.
(5.10) Corollario. Se f : Rn → Rn è continua e biunivoca, allora è un omeomorfismo.
Geometria I
§6
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Spazi di identificazione e topologie quoziente
Cfr: Sernesi, Vol II, Cap II, §7 [1].
Abbiamo visto la definizione di funzioni continue, proprietà di composizione e restrizione
di funzioni continue. Vediamo ora come costruire spazi topologici a partire da spazi dati.
Problema: sia ∼ una relazione di equivalenza su uno spazio topologico, e f : X → X/∼ la
proiezione sullo spazio quoziente (lo spazio delle classi di equivalenza).
(6.1) Esempio.
(i) I0∼1 .
(ii) R con x ∼ y ⇐⇒ x − y ∈ Z.
(iii) R2 con x = (x1 , x2 ) ∼ y = (y1 , y2 ) ⇐⇒ x − y ∈ Z2 .
(iv) Striscia di Möbius.
In modo equivalente, data una funzione suriettiva f : X → Y , Y si può vedere come insieme
delle classi di equivalenza date dalla relazione
∀x, y ∈ X, x ∼ y ⇐⇒ f (x) = f (y).
(6.2) Definizione. Se X è uno spazio topologico e f : X → Y una funzione suriettiva,
allora si definisce la topologia quoziente su Y come la topologia i cui aperti sono tutti e soli
i sottoinsiemi A ⊂ Y per cui la controimmagine f −1 (A) ⊂ X è aperto. Lo spazio Y si dice
spazio quoziente di X rispetto alla proiezione f .
(6.3) Se f : X → Y è continua e suriettiva, allora la topologia di Y è contenuta nella topologia
quoziente (cioè ogni aperto di Y è aperto nella topologia quoziente di X).
Dimostrazione. Per definizione di continuità, se f : X → Y è continua e A ⊂ Y è aperto nella
topologia di Y , allora f −1 (A) è aperto in X, e quindi per definizione di topologia quoziente è
aperto nella topologia quoziente.
qed
(6.4) Definizione. Se X è uno spazio topologico e A ⊂ X un sottospazio, si scrive X/A
(quoziente di X su A) per indicare lo spazio ottenuto identificando A ad un punto, che è lo
spazio ottenuto dalla relazione di equivalenza in cui le classi di equivalenza sono tutti i singoli
punti di X ! A e A.
(6.5) Esempio. Il toro: [0, 1] × [0, 1] con le identificazioni (i.e. relazione di equivalenza. . . )
(i) (0, 0) ∼ (1, 0) ∼ (1, 1) ∼ (0, 1).
(ii) (x, 0) ∼ (x, 1) per 0 < x < 1.
(iii) (0, y) ∼ (1, y) per 0 < y < 1.
Geometria I
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È omeomorfo a S 1 × S 1 ?
(6.6) Esempio. Il disco: D1 (0, R2 ) = D2 = {(x, y) ∈ R2 : x2 + y 2 ≤ 1}, quozientato rispetto
alla relazione di equivalenza:
.
x ∈ ∂D2 ∧ y ∈ ∂D2 (x e y stanno sul bordo)
x ∼ y ⇐⇒
x=y
altrimenti
(6.7) Esempio. Il piano proiettivo: D2 quozientato rispetto alla relazione:
.
x = −y
se x ∈ ∂D2 ∧ y ∈ ∂D2
x ∼ y ⇐⇒
x=y
altrimenti
Analogo: S 2 /∼ dove x ∼ y ⇐⇒ x = ±y (antipodale).
−x
(6.8) Esempio. Nastro di Möbius:
x
Geometria I
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(6.9) Esempio. Bottiglia di Klein: somma di due nastri di Möbius, incollati lungo i bordi.
Geometria I
36
Esercizi: foglio 2
(2.1) Verificare che la famiglia di sottoinsiemi U × V , con U aperto in X e V aperto in Y è
una base di intorni nello spazio prodotto (cartesiano) X × Y .
(2.2) Dimostrare che se X × Y ha la topologia prodotto e A ⊂ X, B ⊂ Y sono sottospazi,
allora A × B = A × B, e che A × B è aperto in X × Y se e solo se A è aperto in X e B è
aperto in Y .
*(2.3) Dimostrare che [0, 1) × [0, 1) è omeomorfo a [0, 1] × [0, 1).
(2.4) Dimostrare che se f : X → Y è una funzione, A è un sottospazio di Y con la topologia
indotta tale che f X ⊂ A ⊂ Y , allora la funzione f : X → Y è continua se e solo se lo è la
funzione fA : X → A, dove fA indica la funzione definita da fA (x) = f (x) ∈ A ⊂ X per ogni
x ∈ X.
(2.5) Dimostrare che Q = R (dove Q denota il campo dei razionali) ma che Q non ha punti
interni in R.
(2.6) Dimostrare che il quadrato {(x, y) ∈ R2 : max(|x|, |y|) = 1} è omeomorfo alla circonferenza {(x, y) ∈ R2 : x2 + y 2 = 1}.
(2.7) Dimostrare che la mappa diagonale ∆ : X → X × X definita da x )→ (x, x) è continua.
*(2.8) Dimostrare che una mappa suriettiva, continua e chiusa è una mappa quoziente.
*(2.9) È vero che la mappe di proiezione p1 : X × Y → X è sempre una mappa chiusa?
(2.10) Sia p1 : R2 = R × R → R la proiezione sulla prima coordinata. Sia
A = {(x, y) ∈ R2 : x ≥ 0 ∨ y = 0},
e f : A → R la restrizione di p1 a A. La mappa f è aperta/chiusa?
(2.11) Dimostrare che se f : X → Y è una funzione tra insiemi allora la relazione x ∼ y ⇐⇒
f (x) = f (y) è una relazione di equivalenza, e la funzione f induce una funzione biunivoca tra
l’insieme delle classi di equivalenza e f (X) ⊂ Y .
*(2.12) Che spazio si ottiene identificando ad un punto il bordo di un nastro di Möbius?
(2.13) Classificare in modo intuitivo (a meno di omeomorfismo) i seguenti spazi:
(i) Cilindro = {(x, y, z) ∈ R3 : x2 + y 2 = 1 ∧ z 2 ≤ 1}.
(ii) Cono = {(x, y, z) ∈ R3 : z 2 = x2 + y 2 ∧ 0 ≤ z ≤ 1}.
(iii) Toro (≈ S 1 × S 1 ≈ . . . ).
Geometria I
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(iv) Cilindro (vedi sopra) con ognuna delle due circonferenze (date da z = 1 e z = −1) di
bordo identificate ad un punto.
(v) La sfera {(x, y, z) ∈ R3 : x2 + y 2 + z 2 = 1}.
(vi) La sfera (vedi sopra) meno un punto.
(vii) Il piano R2 .
*(2.14) Dimostrare che la somma, il prodotto e la sottrazione sono operazioni continue su R.
(2.15) Dimostrare che i seguenti insiemi sono insiemi chiusi di R2 :
(i) {(x, y) : xy = 1}.
(ii) (x, y) : x2 + y 2 = 1}.
(iii) {(x, y) : x2 + y 2 ≤ 1}.
(iv) {(x, y) : x3 + y 3 = 1} (e in generale, {(x, y) : xn + y n = 1}).
*(2.16) Sia f : X → Y una funzione continua (mappa). Dimostrare che se esiste una funzione
continua g : Y → X (inversa destra) tale che f ◦ g è l’identità di Y , allora f è una mappa
quoziente. Se g = i è l’inclusione di un sottospazio i : Y = A ⊂ X (dove A ha la topologia
indotta da X), allora il fatto che i sia inversa destra di f si legge f ◦ i = 1Y , e cioè ∀x ∈
A, f (x) = x, cioè la restrizione f |A è uguale all’identità 1A . In questo caso la mappa f si dice
retrazione.
*(2.17) Consideriamo in R la relazione di equivalenza x ∼ y ⇐⇒ x − y ∈ Q (se la differenza
è razionale); Qual è la topologia dello spazio quoziente R/∼ ? (Dimostrare che è la topologia
banale.)
(2.18) Dimostrare che la composizione di mappe quoziente è una mappa quoziente.
(2.19) Dimostrare che una funzione quoziente è iniettiva se e solo se è un omeomorfismo.
*(2.20) Siano X e Y due spazi metrici con metriche dX e dY . Dimostrare che la funzione
d : X × Y → R definita da
d ((x1 , y1 ), (x2 , y2 )) = dX (x1 , x2 )2 + dY (y1 , y2 )2
è una metrica sul prodotto X × Y . Dimostrare anche che la topologia indotta da d coincide
con la topologia prodotto.
*(2.21) (Orecchini delle Hawaii) Sia X l’unione delle circonferenze {(x, y) ∈ R2 : (x− n1 )2 +y 2 =
( n1 )2 }, per n = 1, 2, 3 . . . con la topologia indotta da R2 , e sia Y lo spazio ottenuto identificando
tutti gli interi Z ⊂ R ad un punto. Dimostrare che X e Y non sono omeomorfi.
(2.22) Dimostrare che le due funzioni s : R2 → R e p : R2 → R definite da
s(x, y) = x + y, p(x, y) = xy
sono continue.