Universit`a degli Studi di Bari

Università degli Studi di Bari
Prova scritta del concorso di ammissione al Dottorato di ricerca in
Matematica (XXIII ciclo), 18/12/07
Traccia no. 1
1)
Per ogni f ∈ L2 (0, 2π) e x ∈ [0, 2π], poniamo
Z 2π
T (f )(x) :=
sin(x − t)f (t)dt.
0
1.
provare che T : L2 → L2 è compatto e trovare gli autovalori ed autovettori.
2.
Fissata g ∈ L2 (0, 2π), determinare le eventuali soluzioni dell‘equazione
λf − T (f ) = g.
2)
Sia f : X → Y un’applicazione tra insiemi non vuoti e sia TY una topologia
sull’insieme Y .
Posto
f −1 (TY ) = {f −1 (V ) | V ∈ TY } ,
si verifichi che :
a)
f −1 (TY ) è una topologia su X;
b)
f : (X, f −1 (TY )) → (Y, TY ) è continua;
c)
f −1 (TY ) è la topologia T meno fine su X tale che f : (X, T ) → (Y, TY ) sia
continua;
d)
Se B è una base di TY , allora
f −1 (B) = {f −1 (B) , ∀B ∈ B }
3)
è una base della topologia f −1 (TY ).
√
√
Sia Q( 2) = {a + b 2|(a, b) ∈ Q × Q} .
√
a) Si verifichi che Q( 2) è un sottocampo del campo R dei numeri reali.
√
b) Si determini il gruppo degli automorfismi del campo Q( 2) .
√
c) Si stabilisca se Q( 2) e
√
√
Q( 3) = {a + b 3|(a, b) ∈ Q × Q} ,
sono isomorfi come spazi vettoriali sul campo Q dei numeri razionali.
d)
4)
√
√
Si stabilisca se Q( 2) e Q( 3) sono campi isomorfi.
Data l’equazione di un oscillatore non lineare,
ẍ = −5x + 2x3 ,
5)
1.
utilizzando la legge di conservazione dell’energia, tracciare il ritratto di fase;
2.
determinare le posizioni di equilibrio, vale a dire le traiettorie che si riducono
ad un punto (0, x̄), e studiarne la stabilità;
3.
determinare il periodo delle piccole oscillazioni intorno ad un punto di equilibrio stabile.
Sia (Ω, F, P) uno spazio di probabilità e {ξk }∞
k=1 una successione di variabili aleatorie 1 dimensionali. Per ogni variabile aleatoria ξ, indichiamo con E (ξ) il valore
medio di ξ e con V (ξ) la varianza di ξ.
P
Dimostrare che se ξ1 , ξ2 , . . . sono indipendenti e se ∞
k=1 V (ξk ) < ∞, allora
)!
(
∞
X
(ξk (ω) − E (ξk )) è convergente
= 1.
P
ω:
k=1
6)
Si denoti con Pn lo spazio vettoriale dei polinomi di grado al più n. Sia g ∈
C (n+1) ([a, b]), allora esiste uno ed un solo polinomio p∗n ∈ Pn tale che
kg − p∗n k∞ = dist(g, Pn ).
Tale polinomio, detto polinomio di migliore approssimazione, gode della seguente
proprietà: esistono almeno (n + 2) punti distinti x1 < . . . < xn+2 tali che
g(xi ) − p∗n (xi ) = (−1)i kg − p∗n k∞ ,
i = 1, . . . , n + 2.
Si dimostri che
1.
p∗n è polinomio di interpolazione della g.
2.
dist(g, Pn ) = Cg (n+1) (ξ), con C costante dipendente dai punti in cui p∗n interpola g, ξ ∈ (x1 , xn+2 ).
3.
dist(g, Pn ) ≥
2(b−a)n+1
1
4n+1
(n+1)!
minx∈[a,b] |g (n+1) (x)|.
Si ricordi che i nodi di Chebychev nell’intervallo [a, b] sono dati dalla seguente
formula
a+b b−a
2k − 1
xk =
+
cos
π , k = 1, . . . , n + 1;
2
2
n+1
e che la norma infinito del polinomo di Chebychev di grado (n + 1) nell’intervallo
[−1, 1] è uguale a 2−n .
Università degli Studi di Bari
Prova scritta del concorso di ammissione al Dottorato di ricerca in
Matematica (XXIII ciclo), 18/12/06
Traccia no. 2
1)
Consideriamo la spazio H01 (−1, 1) munito del prodotto scalare
Z 1
hf, gi :=
f 0 (t)g 0 (t)dt.
−1
Per ogni f ∈ H01 (−1, 1) definiamo L(f ) come
Z 1
f (t)
dt.
L(f ) :=
2
−1 1 − t
Provare che L è continuo e trovare v ∈ H01 (−1, 1) tale che L(f ) = hv, f i per ogni
f ∈ H01 (−1, 1).
2)
Sia E2 il piano euclideo e siano
 0
 x =

y0 =
1
x
2
√
+
√
3
x
2
−
3
y
2
1
y
2
+ 1
−
√
3
le equazioni di una trasformazione affine f di E2 .
3)
a)
Si scriva la definizione di isometria e si verifichi che f è un’isometria.
b)
Si determini l’insieme E dei punti invarianti di f e le rette invarianti globalmente rispetto a f .
c)
Si scrivano le equazioni di f in un nuovo riferimento avente l’asse delle x come
luogo geometrico di punti invarianti rispetto ad f .
Si scrivano le definizioni di sottogruppo normale e di sottogruppo normale massimale di un gruppo G .
Siano H e K sottogruppi normali massimali distinti di G . Si dimostri che
a)
D = H ∩ K è un sottogruppo normale di G .
b)
Il gruppo quoziente H/D è isomorfo al gruppo quoziente G/K ed anche il
gruppo quoziente K/D è isomorfo al gruppo quoziente G/H .
4)
La caduta verticale di un oggetto in un mezzo con bassa resistenza di attrito, come
ad esempio l’aria, è descritta dall’equazione:
ẍ = −g + εF (x, ẋ),
dove g > 0 è l’accelerazione di gravità, F ∈ C ∞ (R2 ) rappresenta l’attrito e 0 <
ε 1.
5)
1.
trovare la soluzione generale in assenza di attrito e classificare i possibili moti
in funzione della velocità iniziale;
2.
determinare l’effetto della resistenza al primo ordine in ε nell’intervallo temporale (0, T );
3.
discutere l’uniformità nel tempo della soluzione trovata.
Sia (Ω, F, P) uno spazio di probabilità e ξ := (ξ1 , . . . , ξn ) una variabile aleatoria n
dimensionale.
Dimostrare che le seguente due affermazioni sono equivalenti:
6)
i)
ξ è distribuita normalmente;
ii)
per ogni (s1 , . . . , sn ) ∈ Rn \ {(0, . . . , 0)} , la v.a.
malmente.
Pn
k=1
sk ξk è distribuita nor-
Si consideri il seguente sistema di equazioni differenziali
d
L = BL − LB,
dt
L(0) = L0 ;
con B ∈ Rn×n matrice costante e L : R+ → Rn×n .
1.
Si dimostri che tr(L(t)) = tr(L0 ) per ogni t ∈ R+ .
2.
Si dimostri che i metodi di Eulero esplicito, Eulero implicito e dei trapezi
conservano la traccia di Ln+1 cioè che: tr(Ln+1 ) = tr(L0 ).
Si ricordi che la traccia soddisfa la seguente proprietà tr(AB) = tr(BA), con A, B ∈
Rn×n .
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Prova scritta del concorso di ammissione al Dottorato di ricerca in
Matematica (XXIII ciclo), 18/12/06
Traccia no. 3
1)
a)
Discutere il problema di Cauchy
tλ
λ3 0
(y (t))4 + y 0 (t) = y(t)(y(t) + 1) cos(
),
4
y(t)
b)
2)
3)
y(1) = y0 ,
λ ∈ R.
Fare uno studio qualitativo delle soluzioni dell’equazione differenziale per λ =
0.
Si consideri la curva L di equazioni

 x
y

z
parametriche
= t2 − 2
= t
= t3 − t2
a)
Si scrivano le definizioni di retta tangente, retta normale, retta binormale e di
piano osculatore in un punto della curva L.
b)
Si determinino la retta tangente ed il piano osculatore nel punto P0 (−1, 1, 0)
alla curva L .
c)
Si verifichi che L non è una curva piana.
d)
Si determinino i punti di L in cui la retta tangente è ortogonale al vettore
u=i−j−k .
e)
Si determinino i punti di L in cui il piano osculatore è parallelo all’asse delle
y.
f)
Si scrivano le equazioni parametriche delle superfici S1 , S2 , rispettivamente,
luogo delle rette tangenti e delle rette binormali di L .
Il candidato risponda ai seguenti quesiti.
a)
Si scriva la definizione di dominio di integrità e se ne forniscano esempi.
b)
Si dimostri che
√
D = {r + s 17|(r, s) ∈ Z × Z}
munito delle operazioni di addizione e moltiplicazione definite in R è un
dominio d’integrità.
c)
4)
5)
√
Sia α = a + b 17 ∈ D . Si stabilisca per quali valori di a e di b l’elemento α
risulta invertibile in D e si forniscano esempi di elementi di D invertibili e di
elementi di D non invertibili.
Si consideri il moto unidimensionale di una particella di massa m e di energia
potenziale V ∈ C ∞ (R). Si assuma che V (0) = V 0 (0) = 0 e V 00 (0) > 0.
1.
Mostrare che il moto intorno a x = 0 è periodico, per valori dell’energia E
in un opportuno intorno (0, E0 ), e scrivere l’espressione generale del periodo
T (E);
2.
Assumendo che V (x) = V (−x), come deve essere V perché il periodo T (E) sia
indipendente dall’energia? Si generalizzi al caso di potenziali non simmetrici.
3.
Nel caso generale, si studi il comportamento di T (E) per E ↓ 0.
Sia (Ω, F, P) uno spazio di probabilità e ξ := (ξ1 , . . . , ξn ) una variabile aleatoria n
dimensionale. Per ogni variabile aleatoria ξ, indichiamo con E (ξ) il valore medio
di ξ e con V (ξ) la varianza di ξ.
Dimostrare che se ξ1 , . . . , ξn sono indipendenti e se esiste una costante C > 0 tale
che |ξk | ≤ C (q.o.) per ogni k = 1, . . . , n, allora per ogni ε > 0 risulta
(
)!
m
X
(ε + 2C)2
ω : max (ξk (ω) − E (ξk )) ≥ ε
≥ 1 − Pn
P
.
1≤m≤n k=1 V (ξk )
k=1
6)
Siano A ∈ Rn×n non singolare, u, v ∈ Rn e si definisca B = A + uv T .
A−1 uv T A−1
.
1+v T A−1 u
1.
Verificare che B −1 = A−1 −
Sherman-Morrison.
2.
Si supponga di conoscere un algoritmo veloce per risolvere sistemi lineari aventi A come matrice dei coefficienti. In che modo si può usare la formula di
Sherman-Morrison per calcolare la soluzione di By = c?
3.
Si consideri il caso in cui A è una matrice tridiagonale e B = A + uv T .
L’algoritmo di Thomas permette di calcolare la soluzione di un sistema Ax = b
con ' 8n operazioni.
Si confronti il numero di operazioni richiesto per calcolare la soluzione di
By = c tramite il procedimento nel punto (2) con il numero di operazioni
richiesto per risolvere lo stesso sistema tramite la fattorizzazione LU della
matrice B .
Tale identità è nota come Formula di