§ 7 Compattezza

Geometria I
§7
38
Compattezza
Cfr: Sernesi Vol II, Cap III, §9 [1].
Alcune importanti proprietà di R (dove un sottoinsieme viene detto compatto se è chiuso
e limitato):
(i) L’immagine di un compatto è compatta.
(ii) L’immagine di un intervallo chiuso è un intervallo chiuso (teorema del valore intermedio).
(iii) Una funzione continua ammette massimo e minimo in ogni intervallo chiuso.
(iv) Ogni successione di Cauchy converge.
(v) Se A ⊂ R è compatto, allora ogni successione in A ammette una sottosuccessione
convergente.
Vedremo che queste proprietà derivano da certe proprietà topologiche della retta reale.
Richiamiamo gli assiomi della retta reale R (un campo ordinato con due ulteriori assiomi):
(7.1) Valgono i seguenti assiomi del campo ordinato dei numeri reali:
(i) Assiomi di campo:
(a) ∀x, y, z ∈ R, (x + y) + z = x + (y + z), (xy)z = x(yz).
(b) ∀x, y ∈ R, x + y = y + x, xy = yx.
(c) ∃0 ∈ R : ∀x ∈ Rx + 0 = x; ∃1 ∈ R : ∀x ∈ R, x %= 0 =⇒ 1x = x.
(d) ∀x ∈ R, ∃ unico y ∈ R : x + y = 0. ∀x ∈ R, x %= 0, ∃ unico y ∈ R : xy = 1.
(e) ∀x, y, z ∈ R, x(y + z) = xy + xz.
(ii) Assiomi di campo ordinato: la relazione > induce un ordine8 totale su R in modo tale
che
(a) x > y =⇒ x + z > y + z.
(b) x > y, z > 0 =⇒ xz > yz.
8
Una relazione R su X si dice relazione d’ordine (stretto) se
(a) ∀x ∈ X, ¬(xRx) ( x %< x);
(b) ∀x, y ∈ X, xRy =⇒ ¬(yRx) (x < y =⇒ y %< x);
(c) ∀x, y, z ∈ X, xRy ∧ yRz =⇒ xRz (x < y ∧ y < z =⇒ x < z);
L’ordine è totale se è anche tricotomico, cioè ∀x %= y ∈ X, allora (x < y) ∨ (y < x).
Geometria I
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(iii) Proprietà dell’ordinamento (continuo lineare):
(a) (Completezza di Dedekind) La relazione d’ordine <ha la proprietà dell’estremo superiore (cioè ogni insieme non vuoto superiormente limitato ha l’estremo superiore).
(b) Se x < y, allora esiste un numero z ∈ R tale che x < z < y.
(7.2) Teorema. Esiste una unica retta reale, cioè: Esiste uno e un solo campo (R) che
soddisfa tutti gli assiomi di (7.1 ).
Dimostrazione. In seguito, per esercizio (opzionale).
qed
(7.3) Nota. Σημεῖόν ἐστιν, οὗ μέρος οὐθέν, “un punto è ciò che non ha parti”, Γραμμὴ δὲ
μῆκος ἀπλατές, “una linea è una lunghezza senza larghezza”, Γραμμῆς δὲ πέρατα σημεῖα, e “gli
estremi di una linea sono punti”. Ma cosa è una linea retta? Εὐθεῖα γραμμή ἐστιν, ἥτις ἐξ ἴσου
τοῖς ἐφ΄ ἑαυτῆς σημείοις κεῖται, “una linea retta è una linea che giace ugualmente rispetto ai
punti su di essa”. Elementi di Euclide, pubblicato per la prima volta intorno al III secolo BCE
ad Alessandria.
Αἰτήματα
α΄. ᾿Ηιτήσθω ἀπὸ παντὸς σημείου ἐπὶ πᾶν σημεῖον εὐθεῖαν γραμμὴν ἀγαγεῖν.
β΄. Καὶ πεπερασμένην εὐθεῖαν κατὰ τὸ συνεχὲς ἐπ΄ εὐθείας ἐκβαλεῖν.
γ΄. Καὶ παντὶ κέντρῳ καὶ διαστήματι κύκλον γράφεσθαι.
δ΄. Καὶ πάσας τὰς ὀρθὰς γωνίας ἴσας ἀλλήλαις εἶναι.
ε΄. Καὶ ἐὰν εἰς δύο εὐθείας εὐθεῖα ἐμπίπτουσα τὰς ἐντὸς καὶ ἐπὶ τὰ αὐτὰ μέρη γωνίας δύο
ὀρθῶν ἐλάσσονας ποιῇ, ἐκβαλλομένας τὰς δύο εὐθείας ἐπ῎άπειρον συμπίπτειν, ἐφ΄ ἃ μέρη
εἰσὶν αἱ τῶν δύο ὀρθῶν ἐλάσσονες.
Traduzione:
Assiomi:
1. Per ogni coppia di punti è possibile tracciare un segmento che ha i due punti per estremi.
2. Ogni segmento di retta si può prolungare dai due lati.
3. Dati un punto (centro) e un raggio arbitrari, è possibile tracciare la circonferenza con
centro e raggio dati.
4. Tutti gli angoli retti sono uguali tra di loro.
5. Se una linea retta che incontra altre due linee rette ha angoli interni dallo stesso lato minori di due angoli retti, allora le due linee rette si incontreranno (prolungandole
indefinitamente) dalla parte dei due angoli citati.
Geometria I
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(7.4) Definizione. Uno spazio topologico X viene detto di Hausdorff se per ogni x, y ∈ X,
x %= y, esistono due intorni Ux e Uy di x e y rispettivamente tali che
Ux ∩ Uy = ∅.
(7.5) Nota. Ogni spazio metrizzabile è di Hausdorff (vedi esercizio (3.4)).
Abbiamo già accennato alla definizione di successione convergente (in spazi metrici). Definiamo ora la convergenza di successioni in spazi topologici.
(7.6) Definizione. Si dice che una successione {xn } in X converge ad un punto x̄ ∈ X se
per ogni intorno Ux̄ di x̄ esiste un intero n (che dipende da Ux̄ ) tale che
j ≥ n =⇒ xj ∈ Ux̄ .
In tal caso si scrive
lim xn = x̄
n
e si dice che xn converge a x̄.
Se una successione in uno spazio topologico X non è altro che una funzione x : N → X,
allora una sottosuccessione è la composizione x ◦ n : N .→ N → X di x con una funzione
n : N → N monotona (strettamente) crescente (cioè tale che k < k ! =⇒ nk < nk! ).
(7.7) Se xnk è una sottosuccessione di una successione convergente xn (con limite limn xn =
x̄), allora la sottosuccessione converge al medesimo limite limk xnk = x̄.
Dimostrazione. Vedi esercizio (3.6).
qed
(7.8) (Unicità del limite) Sia X uno spazio di Hausdorff e {xn } una successione in X. Se
limn xn = x̄ e limn xn = ȳ, allora x̄ = ȳ.
Dimostrazione. Esercizio (3.7).
qed
(7.9) Definizione. Uno spazio topologico X si dice compatto se ogni ricoprimento aperto
{Ui }i di X (cioè una famiglia di aperti {Ui }i∈J tale che X = ∪i∈J Ui ) ha un sottoricoprimento
finito, cioè esiste un sottoinsieme finito di indici J0 ⊂ J tale che
!
X=
Ui
i∈J0
(7.10) Nota. Uno spazio metrico si dice compatto quando lo spazio topologico associato (con
la topologia metrica) è compatto.
Se Y ⊂ X è un sottospazio di uno spazio topologico X, con la topologia indotta da quella
di X, allora un ricoprimento di Y può essere inteso come una famiglia di aperti {Ui }, con
Ui ⊂ X, tali che
!
Y ⊂
Ui .
i
Le intersezioni Ui ∩ Y sono gli aperti di Y (nella topologia indotta) della definizione (7.9).
Geometria I
41
(7.11) Esempio. Sia X = {x ∈ Q : 0 ≤ x ≤ 1}. L’insieme di tutti gli aperti Vk,n della forma
Vk,n = (
k
k
, ),
n+1 n
con k, n ∈ N, k ≤ n non è un ricoprimento di X. Perché? È un ricoprimento di
Y = {x ∈ Q :
1
2
≤ x ≤ }?
3
3
(7.12) Esempio. L’insieme di tutti gli aperti Vn della forma Vn = (
un ricoprimento aperto di (0, 1) ⊂ R.
1
1
, ), per n ∈ N è
n+2 n
(7.13) Esempio. L’insieme di intervalli aperti

√
√
√
√
2
2
2
2


se n ≥ 1:
{x ∈ Q :
+
<x<
+
}
n
√2
√+ 1
√ 2
√n
Vn =
2
2
2
2


−
<x<
−
,}
se n ≤ −1: {x ∈ Q :
2
|n|
2
|n| + 1
con n ∈ Z ! {0} è un ricoprimento dell’insieme X = {x ∈ Q : 0 < x < 1}.
(7.14) Esempio. Sia Vn l’insieme
√
1 √
1
Vn = {x ∈ Q : x %∈ [ 2 − , 2 + ]},
n
n
definito per ogni intero n ≥ 1. La famiglia {Vn } è un ricoprimento aperto di X = {x ∈ Q :
0 < x < 2}, che non ammette sottoricoprimenti finiti.
(7.15) Se X è compatto e C ⊂ X è un sottoinsieme chiuso, allora C è compatto (con la
topologia indotta).
Dimostrazione. Se {Ui }i∈J è un ricoprimento mediante aperti di C, allora, con un abuso di
notazione, possiamo considerare un ricoprimento di C mediante aperti dato da {C ∩ Ui }i∈J ,
dove Ui sono aperti di X. Dato che C è chiuso X ! C è aperto, e quindi
{X ! C} ∪{ Ui }i∈J
è un ricoprimento aperto di tutto X (dato che C ⊂ ∪i Ui ), e quindi esiste un sottoricoprimento
finito, che sarà della forma
{X ! C} ∪{ Ui }i∈J0
oppure {Ui }i∈J0 . In entrambi i casi, risulta
C⊂
e quindi la tesi.
!
Ui ,
i∈J0
qed
Geometria I
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(7.16) Un sottospazio compatto di uno spazio di Hausforff è chiuso.
Dimostrazione. Sia C ⊂ X sottospazio compatto di uno spazio di Hausdorff X. Dimostriamo
che C è chiuso. Sia x ∈ X ! C. Per ogni c ∈ C, dato che X è di Hausdorff, esistono due
intorni disgiunti Uc e Vc tali che Uc ∩ Vc = ∅, c ∈ Uc , x ∈ Vc . Ora, {Uc }c∈C è un ricoprimento
di C di aperti, quindi esiste un sottoricoprimento finito, cioè
C ⊂ Uc1 ∪ Uc2 ∪ · · · ∪ UcN .
L’intersezione di un numero finito di aperti è aperto, quindi
V = Vc1 ∩ Vc2 ∩ · · · ∩ VcN
è un aperto che contiene x. Dato inoltre che per ogni i = 1 . . . N , l’intersezione Vci ∩ Uci = ∅,
V ∩ C = ∅,
cioè V ⊂ X ! C e quindi X ! C è aperto per l’arbitrarietà di x, cioè C è chiuso.
qed
(7.17) L’immagine di un compatto mediante una funzione continua è compatta.
Dimostrazione. Sia X compatto e f : X → Y una funzione continua. Dobbiamo dimostrare
che f (X) è compatto con la topologia indotta da Y . Ogni ricoprimento aperto {Ui }i di f (X)
in Y induce un ricoprimento aperto
{f −1 (Ui )}i
di X, che ha un sottoricoprimento finito dal momento che X è compatto. La tesi segue dal
fatto che per ogni i
f (f −1 (Ui )) ⊂ Ui ,
e quindi gli {Ui } corrispondenti al sottoricoprimento finito {f −1 Ui } coprono f (X).
qed
(7.18) Corollario. Se X e Y sono due spazi topologici omeomorfi, allora X è compatto se e
solo se Y è compatto.
Dimostrazione. Sia f : X → Y un omeomorfismo. Se X è compatto, allora f (X) = Y è
compatto. Viceversa, se Y è compatto, allora X = f −1 (Y ) è compatto dato che f −1 è continua.
qed
(7.19) Teorema. Una funzione f : X → Y continua e suriettiva tra X compatto e Y Hausdorff è sempre chiusa.
Dimostrazione. Se C ⊂ X è un chiuso di X, allora per (7.15) C è compatto. Ma per (7.17)
f (C) è compatto di Y , ed un compatto di uno spazio di Hausdorff è chiuso per (7.16), quindi
f (C) è chiuso.
qed
(7.20) Corollario. Una funzione continua, suriettiva e chiusa è una mappa quoziente
Geometria I
43
Dimostrazione. Esercizio (2.8).
qed
(7.21) Corollario. Una funzione continua f : X → Y , biunivoca da un compatto X a un
Hausdorff Y è un omeomorfismo.
Dimostrazione. È continua, biunivoca e chiusa, dunque un omeomorfismo.
qed
(7.22) Nota (Opzionale). Uno spazio X è compatto se ogni famiglia di chiusi {Ci } di X con
intersezione vuota ammette una sottofamiglia finita con intersezione vuota (infatti. . . ).
Questo consente di esprimere la compattezza nel seguente modo: diciamo che un famiglia
J di chiusi di uno spazio topologico X ha la FIP (finite intersection property) se
&
∀J0 ⊂ J, |J0 | < ∞ =⇒
Ci %= ∅
i∈J0
(l’intersezione di ogni sottofamiglia finita di chiusi è non vuota). Si può dimostrare che X
è compatto se e solo se ogni famiglia di chiusi con la FIP ha intersezione non vuota (vedi
esercizio (3.8)).
(7.23) Nota. Se B è una base di intorni per la topologia di X, e X è compatto, allora,
in particolare, ogni ricoprimento di X mediante intorni (che sono aperti) di B ammette un
ricoprimento finito. Viceversa, se ogni ricoprimento mediante intorni di B ammette un sottoricoprimento finito, allora X è compatto (cioè ogni ricoprimento di aperti ammette un sottoricoprimento finito, non solo ogni ricoprimento mediante intorni della base). Infatti, se {Ui } è
un generico ricoprimento di X, allora (visto che ogni Ui è aperto) Ui = ∪j Bi,j dove i Bi,j sono
una famiglia di intorni della base B (ogni aperto è unione di intorni aperti della base B). Ma
allora
!
!!
!
X=
Ui =
Bi,j =
Bi,j ,
i
i
j
i,j
e quindi {Bi,j }i,j è un ricoprimento di X mediante aperti della base, che ammette l’esistenza
di un sottoricoprimento finito
Dal momento che Ui =
'
X = Bi1 ,j1 ∪ Bi2 ,j2 ∪ · · · ∪ BiN ,jN .
j
Bi,j , per ogni i, j si ha Bi,j ⊂ Ui , e quindi
X = Ui1 ∪ Ui2 ∪ · · · ∪ UiN ,
cioè {Ui }i ammette sottoricoprimento finito. In altre parole, se H è l’insieme dei Bi,j e J
l’insieme degli Ui , allora
' si può definire una funzione g : H → J tale che Bh ⊂ Ug(h) per ogni
h ∈ H. Dato che X ⊂ h∈H0 Bh per un certo sottoinsieme finito H0 ⊂ H, dovrà essere anche
!
!
X⊂
Bh ⊂
Bi ,
h∈H0
i∈g(H0 )
dove g(H0 ) ⊂ J è l’insieme finito di indici cercato.
Geometria I
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(7.24) Teorema (Tychonoff – fin(i)to). Se X e Y sono due spazi topologici compatti, allora
il prodotto cartesiano X × Y (con la topologia prodotto) è compatto.
Dimostrazione. Per la nota (7.23), è sufficiente dimostrare che ogni ricoprimento di X ×
Y dato da aperti della base {U × V } (con U aperto di X e V aperto di Y ) ammette un
sottoricoprimento finito. Passo 1 : supponiamo che Y sia compatto, x0 ∈ X un punto e
N ⊂ X × Y un intorno di {x0 } × Y in X × Y . Allora esiste un intorno W di x0 in X tale
che N ⊃ W × Y (l’intorno W × Y è detto il tubo attorno a {x0 } × Y ). Dato che {x0 } × Y è
compatto (è omeomorfo a Y !) è possibile estrarre sottoricoprimenti finiti da tutti i ricoprimenti
dati dagli elementi della base di intorni (per la topologia prodotto) U × V (quelli che generano
N con la loro unione. . . ). A meno di scartare qualche intorno della base, si può supporre che
U1 × V1 , . . . , Un × Vn
ricoprono {x0 } × Y . Sia W = U1 ∩ U2 ∩ · · · ∩ Un , che è un intorno aperto di x0 con la proprietà
cercata: W × Y ⊂ N .
Passo 2 : Sia {Ui × Vi } un ricoprimento mediante aperti della base Ui × Vi . Dato che {x} × Y
è compatto, è contenuto in un sottoricoprimento finito, e l’unione degli aperti di tale ricoprimento per quanto visto sopra contiene un aperto del tipo Wx ×Y che contiene {x}×Y . Quindi
per ogni x ∈ X si può trovare un aperto Wx di X tale che Wx × Y è contenuto nell’unione di
un numero finito di aperti del ricoprimento. Ma dato che X è compatto, esiste una famiglia
finita di Wi che ricopre X, e quindi il prodotto cartesiano X × Y è uguale all’unione dei tubi
Wxi × Y , ognuno dei quali è coperto dall’unione di un numero finito di aperti del ricoprimento
{Ui × Vi }.
qed
Spazi di funzioni e convergenza puntuale (opzionale)
Nella prossima nota introduciamo alcuni esempi di spazi di funzioni, cioè spazi costituiti da
tutte le funzioni (non necessariamente continue) da un certo insieme A a un certo spazio
topologico X. La topologia che prenderemo in considerazione per questo spazio sarà quella
della convergenza puntuale, cioè la topologia per cui una successione fn di funzioni fn : A → X
converge ad un limite f¯ se e solo se per ogni α ∈ A la successione di punti di X definita da
fn (α) converge a f¯(α). Faremo vedere in seguito nella nota (8.14 ) a pagina 56 che il cubo
di Hilbert (cubo di dimensione infinita, che è uno spazio di questo tipo) è compatto rispetto
alla topologia della convergenza puntuale ma non è vero che ogni successione di suoi punti ha
sottosuccessioni convergenti.
(7.25) Nota. Il teorema appena visto non è il teorema di
(Tychonoff): il vero
teorema stabilisce che il prodotto di una famiglia qualsiasi di compatti è compatto (nella
topologia prodotto); se infatti la famiglia è infinita non si può ripetere il ragionamento sopra
esposto.
La cosa importante, in generale, però è la definizione stessa di topologia prodotto per
una famiglia infinita di spazi. Per semplicità, consideriamo il prodotto di infinite copie dello
Geometria I
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stesso spazio Y , che indichiamo con Y A , con A insieme infinito. La notazione Y A è scelta
per l’analogia con gli interi, dato che Y × Y = Y 2 , Y × Y × Y = Y 3 , etc. Osserviamo che
gli elementi di Y 2 sono le coppie (y1 , y2 ) con yi ∈ Y , e quindi sono le funzioni {1, 2} → Y
dall’insieme con due elementi ad Y (basta porre y1 = f (1) e y2 = f (2)). Gli elementi di Y 3
sono le 3-uple (y1 , y2 , y3 ), cioè le funzioni {1, 2, 3} → Y ; gli elementi di Y n sono le funzioni
{1, 2, 3, . . . , n} → Y . Gli elementi di Y A sono quindi le funzioni, non necessariamente continue,
A → Y (anche l’insieme delle parti 2X dell’insieme X non è altro che l’insieme di tutte le
funzioni X → {0, 1} da X all’insieme con due elementi {0, 1}). Un altro simbolo usato è
(
YA =
Y
α∈A
(con questa notazione potremmo definire il prodotto di infiniti spazi arbitrari, non necessariamente copie dello stesso Y ). Se x ∈ X è un elemento di X, indicheremo anche con
xα = x(α) ∈ Y l’immagine di α in Y (la componente α-esima di x).
Per ogni insieme finito di indici α1 , α2 , . . . , αn ∈ A si possono scegliere n aperti Uα1 , Uα2 ,
. . . , Uαn di Y . La topologia prodotto per X = Y A (detta anche topologia di Tychonoff ) è
quella che ha per base tutti i sottoinsiemi del tipo
{x ∈ X : x(α) ∈ Uα per ogni α ∈ {α1 , α2 , . . . , αn }}
al variare di n ∈ N, degli indici αi e delle n-uple Uαi . Si tratta cioè degli insiemi del tipo
(
Uα
α∈A
dove gli Uα sono tutti uguali a Y , tranne per un numero finito di indici α per cui sono aperti
di Y .
Una successione xn di elementi di X converge a x̄ ∈ X se per ogni intorno U di x̄ esiste
N tale che n ≥ N =⇒ xn ∈ U . Se quindi xn converge a x, in particolare per un α ∈ A
arbitrario fissato accade che per ogni aperto Uα ⊂ Y che contiene x̄(α) l’aperto di X
{x ∈ X : x(α) ∈ Uα }
è un intorno di x̄, e quindi si ha che per n abbastanza grande
xn ∈ {x ∈ X : x(α) ∈ Uα }
e dunque xn (α) ∈ Uα , cioè xn (α) converge a x̄(α). Cioè, se xn converge a x in Y A con
la topologia prodotto, allora per ogni α ∈ A la successione xn (α) converge a x̄(α) in Y .
Viceversa, supponiamo che per ogni α la successione xn (α) converge ad un certo x̄(α) ∈ Y .
Questo definisce un elemento x̄ ∈ X. Mostriamo che allora xn converge a x̄ in X con la
topologia prodotto. Infatti, sia
U = {x ∈ X : x(α) ∈ Uα per ogni α ∈ {α1 , α2 , . . . , αk }}
Geometria I
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un intorno (della base) di x̄, con k ≥ 1 qualsiasi. Dato che per ipotesi xn (α1 ) converge a x̄(α1 ),
esiste N1 tale che n ≥ N1 =⇒ xn (α1 ) ∈ Uα1 . Dato che per ipotesi xn (α2 ) converge a x̄(α2 ),
esiste N2 tale che n ≥ N2 =⇒ xn (α2 ) ∈ Uα2 . Dato che per ipotesi xn (α3 ) converge a x̄(α3 ),
esiste N3 tale che n ≥ N3 =⇒ xn (α3 ) ∈ Uα3 . . . Dato che per ipotesi xn (αk ) converge a x̄(αk ),
esiste Nk tale che n ≥ Nk =⇒ xn (αk ) ∈ Uαk . Ma allora esiste certamente N (il massimo di
tutti gli Ni ) per cui vale che n ≥ N =⇒ xn (αi ) ∈ Uαi per ogni i = 1, . . . , k, cioè
n ≥ N =⇒ xn ∈ U.
Possiamo quindi concludere che xn converge a x̄ in X. Per questa ragione la topologia prodotto
si chiama anche la topologia della convergenza puntuale.
È con questa topologia, che vale il teorema di Tychonoff.
Sul prodotto Y A si può definire anche un’altra topologia (che coincide con quella prodotto
se A è finito): la topologia box. Questa ha per base di aperti la famiglia di tutti i prodotti
(
Uα
α∈A
di aperti Uα ⊂ Y , senza la restrizione di finitezza. Al variare delle famiglie di aperti {Uα } (le
famiglie di aperti di Y sono le funzioni A → 2Y che hanno per immagini degli elementi α di
A gli aperti Uα ∈ 2Y ), gli insiemi
{x ∈ X : x(α) ∈ Uα per ogni α ∈ A}
sono quindi una base per la topologia box. Ogni aperto nella topologia box è pertanto anche
un aperto nella topologia prodotto di Y A , ma in generale può non essere vero il viceversa.
Prendiamo infatti A = N e Y = R. Lo spazio X = RN (= Rω ) è lo spazio di tutte
le successioni di punti sulla retta reale R. Si può far vedere che la topologia prodotto è
metrizzabile (cioè indotta da una certa metrica). Osserviamo che se x̄ ∈ X è una successione
limitata in R, allora x̄ è contenuto nell’intorno
{x ∈ X : xα ∈ B# (x̄α ) per ogni α ∈ A}
(7.26)
per " > 0 arbitrario, cioè l’insieme delle successioni limitate di R costituisce un aperto di X
(nella topologia box). Analogamente, se la successione x̄ ∈ X non è limitata in R, allora x̄ è
contenuto nell’intorno
{x ∈ X : xα ∈ B# (x̄α ) per ogni α ∈ A} ,
(7.27)
per " > 0 arbitrario. Allora anche il complementare dell’insieme delle successioni limitate è
un aperto nella topologia box.
D’altro canto, nella topologia prodotto, ogni intorno ha solo un numero finito di vincoli
del tipo x(α) ∈ Uα , per cui ogni intorno di una successione convergente x ∈ RN con la
topologia prodotto contiene certamente successioni non convergenti, e quindi l’insieme delle
successioni convergenti non è un aperto di RN nella topologia della convergenza puntuale
Geometria I
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(topologia prodotto). (Non è un aperto nemmeno l’insieme delle successioni non convergenti,
e quindi l’insieme delle successioni convergenti non è nemmeno un chiuso).
Il cubo di Hilbert = [0, 1]N ⊂ RN è compatto nella topologia prodotto (per il teorema
di Tychonoff), mentre non lo è nella topologia box. Infatti, se [0, 1]N fosse compatto nella
topologia box, allora lo sarebbe anche il sottoinsieme {0, 1}N , che sarebbe un chiuso di un
compatto. Infatti, se x̄ ∈ [0, 1]N è nel complementare di {0, 1}N , cioè esiste un ᾱ ∈ N tale che
x̄ᾱ %∈ {0, 1}, cioè 0 < x̄ᾱ < 1, allora esiste certamente " > 0 per cui B# (x̄ᾱ ) ⊂ (0, 1), e quindi
l’aperto
{x ∈ [0, 1]N : ∀α, x(α) ∈ B# (x̄α )}
è un intorno di x̄ contenuto nel complementare di {0, 1}N . In altre parole, {0, 1}N è un chiuso
di [0, 1]N , e quindi compatto per ipotesi (d’assurdo). Ma basta ora osservare che
(i) {0, 1}N ha infiniti elementi distinti (sono numerabili?).
(ii) Per ogni x̄ ∈ {0, 1}N , se " < 1 allora
{x ∈ {0, 1}N : ∀α, x(α) ∈ B# (x̄α )} = {x̄},
cioè x̄ ha un intorno aperto che contiene solo x̄, tra i punti di {0, 1}N . Quindi la topologia
indotta dalla topologia box su {0, 1}N è la topologia discreta.
I punti stessi di {0, 1}N costituiscono quindi un ricoprimento aperto, che non ammette sottoricoprimento finito: non può essere compatto.
Geometria I
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Esercizi: foglio 3
*(3.1) Sia A ⊂ R un sottoinsieme non vuoto. Un numero m ∈ R è un maggiorante se
∀a ∈ A, a ≤ m (per definizione, un insieme limitato superiormente è un insieme con almeno
un maggiorante). L’insieme di tutti i maggioranti di A è chiuso? È limitato inferiormente
(nota: l’estremo superiore sup A è il minimo dell’insieme dei maggioranti)?
*(3.2) Dimostrare che se A ⊂ R è un sottoinsieme di R (con la metrica euclidea), allora sup A
e inf A appartengono alla chiusura A.
(3.3) Sia C ⊂ [a, b] ⊂ R un sottoinsieme chiuso di [a, b] (chiuso nella topologia indotta su
[a, b] da R). Dimostrare che C è chiuso in R. Dimostrare che la stessa proprietà è falsa per gli
aperti: trovare un sottoinsieme A ⊂ [a, b] ⊂ R aperto nella topologia di [a, b] ma non in quella
di R.
(3.4) Dimostrare che uno spazio X metrizzabile è di Hausdorff.
(3.5) Sia A ⊂ X un sottoinsieme di X spazio topologico. Dimostrare che x ∈ X è un punto
di accumulazione di A se e solo se
x ∈ A ! {x}.
(3.6) Dimostrare che ogni sottosuccessione di una successione convergente converge.
(3.7) Dimostrare l’unicità del limite di successioni in spazi di Hausdorff: Se X è uno spazio
di Hausdorff e {xn } una successione in X, allora limn xn = x̄ e limn xn = ȳ implica x̄ = ȳ.
*(3.8) Diciamo che un famiglia di chiusi di uno spazio topologico X ha la FIP (finite intersection property) se
&
∀J0 ⊂ J, |J0 | < ∞ =⇒
Ci %= ∅
i∈J0
(l’intersezione di ogni sottofamiglia finita di chiusi è non vuota). Diciamo che X ha la FIP se
ogni sua famiglia di chiusi con la FIP ha intersezione non vuota:
&
Ci %= ∅.
i∈J
Dimostrare che X è compatto se e solo se ha la FIP. (Suggerimento: X ! Ci è aperto, e
quindi. . . ).
*(3.9) Dimostrare che l’ultimo assioma della lista di assiomi di R è ridondante (si può dedurre
dai primi 7).
(3.10) È vero che se un insieme X è finito allora è compatto per ogni topologia che si considera? E il viceversa (cioè è vero che se un insieme è compatto rispetto ad ogni possibile
topologia, allora ha un numero finito di punti)?
Geometria I
49
(3.11) Si consideri la famiglia τ di tutti i sottoinsiemi di N = {1, 2, . . . } costitutita dall’insieme vuoto, da N e da tutti i sottoinsiemi del tipo
{1}, {1, 2}, {1, 2, 3}, {1, 2, 3, 4}, {1, 2, 3, 4, 5} . . .
È vero che τ è una topologia? Se sì, allora, rispetto a questa topologia, N è compatto?
(3.12) Determinare se l’intervallo I = {x, ∈ R : 0 ≤ x ≤ 1} meno un punto x0 ∈ I è
compatto, al variare di x0 . (I ! x0 = {x ∈ I : x %= x0 } ).
(3.13) Si consideri il sottoinsieme di R definito da
)
*
p
100
X = x ∈ R : x = , p, q ∈ Z, |pq| ≤ 10
.
q
Determinare quali delle seguenti affermazioni è vera (nella topologia euclidea di R):
(i) X è chiuso;
(ii) X è aperto;
(iii) X è compatto.
(3.14) Sia an la successione di numeri razionali (n ≥ 1) definita come segue:
an =
p
se n = 2p q con q dispari.
q
Se n è dispari risulta quindi an = 0 (dato che l’unico modo di scrivere un numero dispari nella
forma 2p q è con p = 0). Quali sono i suoi punti di accumulazione, cioè i punti di accumulazione
dell’insieme
X = {an : n ∈ N, n ≥ 1}?
Quali sono i punti limite di sottosuccessioni convergenti di an ?
(3.15) Sia X ⊂ R2 l’insieme definito da
X = {(x, y) ∈ R2 : y 2 = x3 − x}.
Quali delle seguenti sono vere?
(i) X è un chiuso di R2 .
(ii) La parte X ∩ {(x, y) ∈ R2 : x ≤ 0} è compatta.
(iii) L’interno di X in R2 è vuoto.
(3.16) Determinare quali dei seguenti spazi sono tra loro omeomorfi (esibendo gli omeomorfismi, altrimenti dimostrando in modo un po’ intuitivo – non rigoroso – quando e se non ne
esistono).
Geometria I
(i) L’intervallo chiuso [0, 1];
(ii) La circonferenza S 1 = {(x, y) ∈ R2 : x2 + y 2 = 1}.
(iii) Il quadrato: Q = {(x, y) ∈ R2 : (x2 − 1)(y 2 − 1) = 0, x2 ≤ 1 ≥ y 2 }.
(iv) L’intervallo aperto (0, 1).
(3.17) Si consideri nello spazio R la relazione: x ∼ y ⇐⇒ sin2 x = sin2 y.
(i) È una relazione di equivalenza?
(ii) Se sì, si dia a X = R/∼ la topologia quoziente. Lo spazio così ottenuto è compatto?
50
Geometria I
§8
51
Compattezza in spazi metrici ed euclidei
Cfr: Sernesi Vol II, Cap III, §9 [1].
(8.1) Teorema. Sia X uno spazio metrico e C ⊂ X un sottoinsieme, con la topologia indotta9 .
Le seguenti proposizioni sono equivalenti:
(i) C è compatto ( Heine-Borel).
(ii) Ogni insieme infinito di punti di C ha un punto di accumulazione in C ( BolzanoWeierstrass).
(iii) Ogni successione in C ammette una sottosuccessione che converge in C (i.e. C è compatto per successioni).
Dimostrazione. Cominciamo a dimostrare che (i) =⇒ (ii), cioè che ¬(ii) =⇒ ¬(i). Se
è vero ¬(ii), esiste un insieme infinito A ⊂ C di punti di C che non ha nessun punto di
accumulazione in C (cioè nessun punto di C è di accumulazione per A, e quindi in particolare
nessun punto di A è di accumulazione per A). Questo significa che ogni a ∈ A non è di
accumulazione, e quindi per ogni a ∈ A esiste un intorno aperto Ua di a tale che Ua ∩ A non
contiene altri punti oltre ad a, cioè
Ua ∩ A = {a}
(8.2)
Si consideri ora il ricoprimento aperto di A:
A⊂
!
Ua .
a∈A
Per la (8.2), il ricoprimento {Ua } di A non ammette nessun sottoricoprimento, e dato che se
A è infinito anche il ricoprimento è infinito, risulta che A non è compatto. Per mostrare che
C non è compatto, basta osservare che A è chiuso in C (dal momento che nessun punto di C
è di accumulazione per A, la chiusura di A in C è uguale a A): se C fosse compatto anche A
dovrebbe essere compatto, per (7.15). Quindi C non è compatto.
Ora mostriamo che (ii) =⇒ (iii). Sia {xi }i∈J una successione di punti di C e A ⊂ C
l’insieme dei punti di {xi }i∈J . Se A è un insieme finito, allora c’è (in modo banale) una
sottosuccessione {xi }i∈J0 con J0 ⊂ J che converge in C: basta prendere una successione
costante. Altrimenti, A è un insieme infinito, e dunque per (ii) esiste un punto x̄ ∈ C che è
di accumulazione per A. Per definizione, questo vuol dire che per ogni " > 0 l’intersezione
B# (x̄) ∩ (A ! {x̄}) %= ∅.
Cioè, per ogni " > 0 esiste y ∈ A, y %= x̄ per cui
9
y ∈ B# (x̄)
Equivalentemente: sia C uno spazio metrico, quindi.
Geometria I
52
(ricordiamo anche che y ∈ A ⇐⇒ y = xn per qualche n). Dato che X è uno spazio metrico,
segue che per ogni " > 0 B# (x̄)∩A ha infiniti punti (vedi anche esercizio (4.2)). Ora, definiamo
la successione {nk } per induzione: si scelga y ∈ B1 (x̄) ∩ A. Allora esiste n1 tale che xn1 = y.
1
Supponiamo di aver definito nk . Definiamo "k+1 =
, ed allora esistono infinite scelte per
k+1
y ∈ B#k+1 (x̄) ∩ A, dunque infinite soluzioni (intere) dell’equazione
xn ∈ B#k+1 (x̄).
Dato che sono infinite, ne esiste una per n > nk , che chiamiamo nk+1 . È facile vedere che la
sottosuccessione {xnk } converge a x̄ ∈ C.
Infine mostriamo che (iii) =⇒ (i). Questa è la parte più difficile della dimostrazione.
Per prima cosa, supponiamo di avere un ricoprimento {Uα } di C costituito esclusivamente da
intorni circolari Uα = Brα (cα ) e mostriamo che
(8.3) esiste δ > 0 per cui per ogni x ∈ C l’intorno Bδ (x) è contenuto in qualche Uα .
Dimostrazione del lemma (8.3 ). Dobbiamo mostrare che per ogni x ∈ C esiste Uα = Brα (cα )
tale che Bδ (x) ⊂ Brα (cα ). Se ciò non fosse vero, dovrebbe essere vero che per ogni δ > 0 esiste
x = x(δ) ∈ C tale che per ogni α Bδ (x) %⊂ Bα . Consideriamo la successione δn = n1 . Allora,
per ogni n ≥ 1 si può definire un elemento xn ∈ C per cui
∀α, Bδn (xn ) %⊂ Uα .
(8.4)
Di nuovo, consideriamo che per ipotesi (iii) è vera, e quindi la successione {xn } ammette una
sottosuccessione {xnk } che converge ad un certo y ∈ C. Dal momento che C è ricoperto dagli
aperti Ui , esiste un aperto Uαy del ricoprimento che contiene y, cioè tale che
lim xnk = y ∈ Uαy .
k
Ma per ipotesi Uαy è aperto, quindi esiste un raggio r > 0 tale che Br (y) ⊂ Uαy , e se k è
grande abbastanza si ha che xnk ∈ Br/2 (y) (dalla convergenza della sottosuccessione) e quindi
per la disuguaglianza triangolare che
Br/2 (xnk ) ⊂ Br (y) ⊂ Uαy .
Dato che per k abbastanza grande δnk < 2r , si può trovare un k per cui
Bδnk (xnk ) ⊂ Br (y) ⊂ Uαy .
Ma questo contraddice la definizione degli {xn } (equazione (8.4)), per cui l’ipotesi è falsa.
Abbiamo mostrato che esiste δ > 0 per cui per ogni x ∈ C l’intorno Bδ (x) è contenuto in
qualche Ui del ricoprimento aperto.
qed
Ora, mostriamo che